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2. 已知二次函数$y=ax^2 -2$的图象经过点(1，-3)，那么a的值为
$-1$
.答案
2.$-1$
解析
【分析】
遇到函数图象经过某点的问题时，核心思路是该点的横、纵坐标满足函数的解析式。本题我们只需将已知点的x值、y值代入二次函数表达式，就能得到仅含未知数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2 -2$的图象经过点$(1,-3)$
∴将$x=1$，$y=-3$代入函数解析式，可得：
$-3 = a×1^2 - 2$
整理得：$-3 = a - 2$
移项计算得：$a = -3 + 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查利用函数图象上的点求解解析式中未知参数的方法，牢记函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
遇到函数图象经过某点的问题时，核心思路是该点的横、纵坐标满足函数的解析式。本题我们只需将已知点的x值、y值代入二次函数表达式，就能得到仅含未知数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2 -2$的图象经过点$(1,-3)$
∴将$x=1$，$y=-3$代入函数解析式，可得：
$-3 = a×1^2 - 2$
整理得：$-3 = a - 2$
移项计算得：$a = -3 + 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查利用函数图象上的点求解解析式中未知参数的方法，牢记函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 关于二次函数$y=-3x^2+5$，下列说法中正确的是（
A.图象的开口向上
B.当$x＞-1$时，y随x的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(0,5)$
D.当$x=0$时，y有最小值5
C
）A.图象的开口向上
B.当$x＞-1$时，y随x的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(0,5)$
D.当$x=0$时，y有最小值5
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时结合该类二次函数的基本性质逐个分析选项即可：首先根据$a$的正负判断开口方向，再明确对称轴、顶点坐标，进而判断增减性和最值，逐一排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+k$的基础性质如下：
1. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；
3. 增减性与最值：开口向上时，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，顶点处取最大值。
逐个分析选项：
A选项：函数中$a=-3＜0$，图象开口向下，A错误；
B选项：该函数开口向下，对称轴为$x=0$，仅当$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-1$时$y$不是一直增大，B错误；
C选项：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，$k=5$，因此顶点坐标为$(0,5)$，C正确；
D选项：函数开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值$5$，不是最小值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对$y=ax^2+k$型二次函数基础性质的识记与应用，熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这几个核心知识点，即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时结合该类二次函数的基本性质逐个分析选项即可：首先根据$a$的正负判断开口方向，再明确对称轴、顶点坐标，进而判断增减性和最值，逐一排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+k$的基础性质如下：
1. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；
3. 增减性与最值：开口向上时，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，顶点处取最大值。
逐个分析选项：
A选项：函数中$a=-3＜0$，图象开口向下，A错误；
B选项：该函数开口向下，对称轴为$x=0$，仅当$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-1$时$y$不是一直增大，B错误；
C选项：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，$k=5$，因此顶点坐标为$(0,5)$，C正确；
D选项：函数开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值$5$，不是最小值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对$y=ax^2+k$型二次函数基础性质的识记与应用，熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这几个核心知识点，即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
4. 若点$(-\dfrac{1}{2},y_1),(-\dfrac{1}{5},y_2),(1,y_3)$都在二次函数$y=x^2 -5$的图象上，则有（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
D
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
4.D
解析
【分析】
要比较三个点对应的函数值大小，可借助二次函数的性质快速解题：首先明确二次函数$y=x^2-5$的系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，且对称轴为y轴（直线$x=0$）。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值就越大。接下来只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=0$的距离，比较距离大小即可推出$y$值的大小关系，也可直接代入横坐标计算出$y_1、y_2、y_3$的值再比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质解题
$\because$ 二次函数$y=x^2-5$中$a=1＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向上的抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大。
各点到对称轴$x=0$的距离：
$|1-0|=1$，$|-\dfrac{1}{2}-0|=\dfrac{1}{2}$，$|-\dfrac{1}{5}-0|=\dfrac{1}{5}$，
$\because 1＞\dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{5}$，
$\therefore y_3＞y_1＞y_2$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入$y=x^2-5$得：
$y_1=(-\dfrac{1}{2})^2 -5=\dfrac{1}{4}-5=-\dfrac{19}{4}=-4.75$，
$y_2=(-\dfrac{1}{5})^2 -5=\dfrac{1}{25}-5=-\dfrac{124}{25}=-4.96$，
$y_3=1^2 -5=1-5=-4$，
比较大小得：$-4 ＞ -4.75 ＞ -4.96$，即$y_3＞y_1＞y_2$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用抛物线的开口方向、对称轴与函数值的关系快速判断，掌握后者能大幅提升解题效率，需熟练掌握二次函数的图象特征与对应性质。
【难度系数】
0.8
要比较三个点对应的函数值大小，可借助二次函数的性质快速解题：首先明确二次函数$y=x^2-5$的系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，且对称轴为y轴（直线$x=0$）。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值就越大。接下来只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=0$的距离，比较距离大小即可推出$y$值的大小关系，也可直接代入横坐标计算出$y_1、y_2、y_3$的值再比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质解题
$\because$ 二次函数$y=x^2-5$中$a=1＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向上的抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大。
各点到对称轴$x=0$的距离：
$|1-0|=1$，$|-\dfrac{1}{2}-0|=\dfrac{1}{2}$，$|-\dfrac{1}{5}-0|=\dfrac{1}{5}$，
$\because 1＞\dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{5}$，
$\therefore y_3＞y_1＞y_2$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入$y=x^2-5$得：
$y_1=(-\dfrac{1}{2})^2 -5=\dfrac{1}{4}-5=-\dfrac{19}{4}=-4.75$，
$y_2=(-\dfrac{1}{5})^2 -5=\dfrac{1}{25}-5=-\dfrac{124}{25}=-4.96$，
$y_3=1^2 -5=1-5=-4$，
比较大小得：$-4 ＞ -4.75 ＞ -4.96$，即$y_3＞y_1＞y_2$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用抛物线的开口方向、对称轴与函数值的关系快速判断，掌握后者能大幅提升解题效率，需熟练掌握二次函数的图象特征与对应性质。
【难度系数】
0.8
5. 将抛物线 $ y = ax^2 + c $ 向下平移3个单位长度，得到抛物线 $ y = -2x^2 -1 $，则 $ a = $
$-2$
，$ c = $ $2$
。答案
5.$-2\quad 2$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数平移的核心特点：平移仅改变抛物线的位置，不会改变其开口方向和形状大小，因此二次项系数a不会随平移发生变化，由此可先确定a的值。再根据上下平移“上加下减”的规律，即向下平移n个单位，函数解析式的常数项减n，结合平移后给出的解析式列等式，就能求出c的值。
【解析】
1. 求a的值：
抛物线平移过程中开口方向、形状大小不变，因此二次项系数a与平移后抛物线的二次项系数相等，已知平移后抛物线为$y=-2x^2-1$，可得$a=-2$。
2. 求c的值：
根据二次函数上下平移的“上加下减”规律，将抛物线$y=ax^2+c$向下平移3个单位后，得到的解析式为$y=ax^2 + c - 3$。
把$a=-2$和平移后解析式$y=-2x^2-1$代入，可得常数项对应相等：
$c - 3 = -1$
解得$c=2$。
【答案】
$-2$；$2$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次项系数的意义
【点评】
本题属于二次函数平移类基础题，核心考点是平移时二次项系数不变的性质和“上加下减，左加右减”的平移规则，熟练掌握相关规律就能快速准确解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数平移的核心特点：平移仅改变抛物线的位置，不会改变其开口方向和形状大小，因此二次项系数a不会随平移发生变化，由此可先确定a的值。再根据上下平移“上加下减”的规律，即向下平移n个单位，函数解析式的常数项减n，结合平移后给出的解析式列等式，就能求出c的值。
【解析】
1. 求a的值：
抛物线平移过程中开口方向、形状大小不变，因此二次项系数a与平移后抛物线的二次项系数相等，已知平移后抛物线为$y=-2x^2-1$，可得$a=-2$。
2. 求c的值：
根据二次函数上下平移的“上加下减”规律，将抛物线$y=ax^2+c$向下平移3个单位后，得到的解析式为$y=ax^2 + c - 3$。
把$a=-2$和平移后解析式$y=-2x^2-1$代入，可得常数项对应相等：
$c - 3 = -1$
解得$c=2$。
【答案】
$-2$；$2$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次项系数的意义
【点评】
本题属于二次函数平移类基础题，核心考点是平移时二次项系数不变的性质和“上加下减，左加右减”的平移规则，熟练掌握相关规律就能快速准确解答。
【难度系数】
0.8
6. 将抛物线$y=-x^2+4$向下平移2个单位长度，得到的抛物线必经过（
A.点$(-2,4)$
B.点$(-1,1)$
C.点$(0,4)$
D.点$(1,-3)$
B
）A.点$(-2,4)$
B.点$(-1,1)$
C.点$(0,4)$
D.点$(1,-3)$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：第一步先根据抛物线上下平移的规律求出平移后的抛物线解析式，抛物线上下平移时遵循“上加下减”的规律，即向上平移加常数项，向下平移减常数项；第二步判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入解析式，计算出的函数值与点的纵坐标相等，则该点在抛物线上，逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线解析式为$y=-x^2+4$，向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：
$y=-x^2+4-2=-x^2+2$
2. 逐一验证各选项的点是否在抛物线上：
选项A：将$x=-2$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-2)^2+2=-4+2=-2≠4$，故点$(-2,4)$不在平移后的抛物线上；
选项B：将$x=-1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-1)^2+2=-1+2=1$，与点的纵坐标相等，故点$(-1,1)$在平移后的抛物线上；
选项C：将$x=0$代入$y=-x^2+2$，得$y=0+2=2≠4$，故点$(0,4)$不在平移后的抛物线上；
选项D：将$x=1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-1^2+2=-1+2=1≠-3$，故点$(1,-3)$不在平移后的抛物线上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图象的平移规则，代入点坐标验证时要注意符号运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，分两步思考：第一步先根据抛物线上下平移的规律求出平移后的抛物线解析式，抛物线上下平移时遵循“上加下减”的规律，即向上平移加常数项，向下平移减常数项；第二步判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入解析式，计算出的函数值与点的纵坐标相等，则该点在抛物线上，逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线解析式为$y=-x^2+4$，向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：
$y=-x^2+4-2=-x^2+2$
2. 逐一验证各选项的点是否在抛物线上：
选项A：将$x=-2$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-2)^2+2=-4+2=-2≠4$，故点$(-2,4)$不在平移后的抛物线上；
选项B：将$x=-1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-1)^2+2=-1+2=1$，与点的纵坐标相等，故点$(-1,1)$在平移后的抛物线上；
选项C：将$x=0$代入$y=-x^2+2$，得$y=0+2=2≠4$，故点$(0,4)$不在平移后的抛物线上；
选项D：将$x=1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-1^2+2=-1+2=1≠-3$，故点$(1,-3)$不在平移后的抛物线上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图象的平移规则，代入点坐标验证时要注意符号运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
7. 在同一直角坐标系中,作函数$y=3x^2$,$y=x^2 - 2$,$y=-2x^2 +1$的图象,则它们 (
A.都关于y轴对称
B.开口方向相同
C.都经过原点
D.互相可以通过平移得到
A
)A.都关于y轴对称
B.开口方向相同
C.都经过原点
D.互相可以通过平移得到
答案
7.A
解析
【分析】
本题考查y=ax²+k型二次函数的基础性质，解题时可结合对应性质逐个验证选项：首先回忆该类函数的核心性质：对称轴为y轴、开口方向由二次项系数a的符号决定、x=0时的函数值为常数项k、平移过程中二次项系数a保持不变。通过以上性质逐一排除错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们结合二次函数性质逐个分析选项：
1. 选项A：三个函数均为y=ax²+k的形式，无一次项，因此对称轴均为直线x=0（即y轴），故三个图象都关于y轴对称，A说法正确。
2. 选项B：二次函数开口方向由二次项系数a的符号决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。三个函数的二次项系数分别为3、1、-2，前两个开口向上，第三个开口向下，开口方向不相同，B说法错误。
3. 选项C：将x=0分别代入三个函数，得对应y值为0、-2、1，只有第一个函数图象经过原点，另外两个均不经过原点，C说法错误。
4. 选项D：二次函数平移只会改变顶点位置，不会改变开口方向和大小，即二次项系数a不变。三个函数的a不相等，因此无法通过平移互相得到，D说法错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的开口方向；二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题，需要熟练掌握y=ax²+k型函数的各项基础特征，分析时逐项验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
本题考查y=ax²+k型二次函数的基础性质，解题时可结合对应性质逐个验证选项：首先回忆该类函数的核心性质：对称轴为y轴、开口方向由二次项系数a的符号决定、x=0时的函数值为常数项k、平移过程中二次项系数a保持不变。通过以上性质逐一排除错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们结合二次函数性质逐个分析选项：
1. 选项A：三个函数均为y=ax²+k的形式，无一次项，因此对称轴均为直线x=0（即y轴），故三个图象都关于y轴对称，A说法正确。
2. 选项B：二次函数开口方向由二次项系数a的符号决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。三个函数的二次项系数分别为3、1、-2，前两个开口向上，第三个开口向下，开口方向不相同，B说法错误。
3. 选项C：将x=0分别代入三个函数，得对应y值为0、-2、1，只有第一个函数图象经过原点，另外两个均不经过原点，C说法错误。
4. 选项D：二次函数平移只会改变顶点位置，不会改变开口方向和大小，即二次项系数a不变。三个函数的a不相等，因此无法通过平移互相得到，D说法错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的开口方向；二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题，需要熟练掌握y=ax²+k型函数的各项基础特征，分析时逐项验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
8. 若函数$y=\begin{cases}2x^2 - 3&(x＜3)\\3x&(x≥3)\end{cases}$，则当函数值$y=15$时，自变量$x$的值是（ ）
A.$\pm3$
B.$5$
C.$\pm3$或$5$
D.$5$或$-3$
A.$\pm3$
B.$5$
C.$\pm3$或$5$
D.$5$或$-3$
答案
8.D
解析
【分析】
本题是分段函数求自变量值的问题，解题需分两种情况讨论：①先考虑x＜3的情况，代入对应的函数表达式列方程求解，再检验解是否满足x＜3的范围，不符合的舍去；②再考虑x≥3的情况，代入对应的函数表达式列方程求解，同样检验解是否满足x≥3的范围，最后汇总所有符合条件的x值即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当$x＜3$时，函数表达式为$y=2x^2-3$，令$y=15$得：
$2x^2-3=15$
移项得：$2x^2=18$
化简得：$x^2=9$
解得：$x_1=3$，$x_2=-3$
$\because x＜3$，$\therefore x=3$不符合范围，舍去，保留$x=-3$。
2. 当$x≥3$时，函数表达式为$y=3x$，令$y=15$得：
$3x=15$
解得：$x=5$
$\because 5≥3$，符合范围，保留$x=5$。
综上，自变量x的值为$-3$或$5$。
【答案】
D
【知识点】
分段函数求值、解一元二次方程、自变量取值范围验证
【点评】
本题解题核心是对分段函数的分段区间分类讨论，求出方程的解后一定要验证是否符合对应区间的取值要求，避免因忽略范围出现多选错误。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数求自变量值的问题，解题需分两种情况讨论：①先考虑x＜3的情况，代入对应的函数表达式列方程求解，再检验解是否满足x＜3的范围，不符合的舍去；②再考虑x≥3的情况，代入对应的函数表达式列方程求解，同样检验解是否满足x≥3的范围，最后汇总所有符合条件的x值即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当$x＜3$时，函数表达式为$y=2x^2-3$，令$y=15$得：
$2x^2-3=15$
移项得：$2x^2=18$
化简得：$x^2=9$
解得：$x_1=3$，$x_2=-3$
$\because x＜3$，$\therefore x=3$不符合范围，舍去，保留$x=-3$。
2. 当$x≥3$时，函数表达式为$y=3x$，令$y=15$得：
$3x=15$
解得：$x=5$
$\because 5≥3$，符合范围，保留$x=5$。
综上，自变量x的值为$-3$或$5$。
【答案】
D
【知识点】
分段函数求值、解一元二次方程、自变量取值范围验证
【点评】
本题解题核心是对分段函数的分段区间分类讨论，求出方程的解后一定要验证是否符合对应区间的取值要求，避免因忽略范围出现多选错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图，抛物线$y=ax^2+1$与过点$(0,-3)$且平行于x轴的直线相交于点A,B，与y轴交于点C，若$∠ ACB$为直角，则$a=$
$-\dfrac{1}{4}$
。答案
9.$-\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先结合抛物线解析式确定点C的坐标，再根据题意得到直线AB的解析式；接着利用抛物线关于y轴对称的性质，结合∠ACB=90°可判断△ACB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形“斜边上的高等于斜边的一半”的性质，计算得到AB的长度，进而得到点B的坐标；最后将点B坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
1. 求点C坐标：对于抛物线$y=ax^2+1$，当$x=0$时，$y=1$，因此点C的坐标为$(0,1)$。
2. 确定直线AB的解析式：过点$(0,-3)$且平行于x轴的直线纵坐标恒为$-3$，即直线AB的解析式为$y=-3$，故A、B两点的纵坐标均为$-3$。
3. 分析△ACB的形状：抛物线$y=ax^2+1$的对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称，即$AC=BC$。又$∠ ACB=90°$，因此$△ ACB$为等腰直角三角形。
4. 计算点B的坐标：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，则点D坐标为$(0,-3)$，$CD$的长度为$1 - (-3) = 4$。根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半，因此$AB=2CD=8$。结合对称性，点B的横坐标为$\frac{8}{2}=4$，即点B坐标为$(4,-3)$。
5. 代入求a：将$B(4,-3)$代入$y=ax^2+1$，得：
$-3 = a × 4^2 + 1$
$16a = -4$
解得$a=-\frac{1}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
二次函数的对称性；等腰直角三角形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题的核心是利用二次函数的对称性和等腰直角三角形的性质求出交点坐标，再代入解析式计算参数，考查了学生数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合抛物线解析式确定点C的坐标，再根据题意得到直线AB的解析式；接着利用抛物线关于y轴对称的性质，结合∠ACB=90°可判断△ACB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形“斜边上的高等于斜边的一半”的性质，计算得到AB的长度，进而得到点B的坐标；最后将点B坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
1. 求点C坐标：对于抛物线$y=ax^2+1$，当$x=0$时，$y=1$，因此点C的坐标为$(0,1)$。
2. 确定直线AB的解析式：过点$(0,-3)$且平行于x轴的直线纵坐标恒为$-3$，即直线AB的解析式为$y=-3$，故A、B两点的纵坐标均为$-3$。
3. 分析△ACB的形状：抛物线$y=ax^2+1$的对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称，即$AC=BC$。又$∠ ACB=90°$，因此$△ ACB$为等腰直角三角形。
4. 计算点B的坐标：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，则点D坐标为$(0,-3)$，$CD$的长度为$1 - (-3) = 4$。根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半，因此$AB=2CD=8$。结合对称性，点B的横坐标为$\frac{8}{2}=4$，即点B坐标为$(4,-3)$。
5. 代入求a：将$B(4,-3)$代入$y=ax^2+1$，得：
$-3 = a × 4^2 + 1$
$16a = -4$
解得$a=-\frac{1}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
二次函数的对称性；等腰直角三角形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题的核心是利用二次函数的对称性和等腰直角三角形的性质求出交点坐标，再代入解析式计算参数，考查了学生数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，抛物线$y=ax^2+c(a＜0)$交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，$BA⊥OG$于点A，$BC⊥OD$于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则$△ ABG$与$△ BCD$的面积之和为
$4$
.答案
10.$4$
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象性质：该抛物线的对称轴是y轴，因此y轴左右两侧的图象完全对称，对应位置的图形面积相等。已知四边形ODEF的面积为10，利用对称性可知它关于y轴对称的四边形ODBG面积也为10。再观察四边形ODBG的组成：它由四边形OABC、$△ ABG$、$△ BCD$三部分构成，已知四边形OABC面积为6，因此两个三角形的面积和可通过两个已知面积作差求得。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，
∴ 抛物线关于y轴对称，可得与四边形ODEF对称的四边形ODBG的面积$S_{四边形ODBG}=S_{四边形ODEF}=10$。
观察图形可知：$S_{四边形ODBG}=S_{四边形OABC}+S_{△ ABG}+S_{△ BCD}$，
已知$S_{四边形OABC}=6$，
∴ $S_{△ ABG}+S_{△ BCD}=10-6=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的对称性，面积和差计算
【点评】
本题解题关键是利用二次函数的对称性得到对称图形的面积相等，再通过拆分图形面积，将所求面积和转化为已知面积的差，避免了复杂的坐标计算，属于技巧性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象性质：该抛物线的对称轴是y轴，因此y轴左右两侧的图象完全对称，对应位置的图形面积相等。已知四边形ODEF的面积为10，利用对称性可知它关于y轴对称的四边形ODBG面积也为10。再观察四边形ODBG的组成：它由四边形OABC、$△ ABG$、$△ BCD$三部分构成，已知四边形OABC面积为6，因此两个三角形的面积和可通过两个已知面积作差求得。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，
∴ 抛物线关于y轴对称，可得与四边形ODEF对称的四边形ODBG的面积$S_{四边形ODBG}=S_{四边形ODEF}=10$。
观察图形可知：$S_{四边形ODBG}=S_{四边形OABC}+S_{△ ABG}+S_{△ BCD}$，
已知$S_{四边形OABC}=6$，
∴ $S_{△ ABG}+S_{△ BCD}=10-6=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的对称性，面积和差计算
【点评】
本题解题关键是利用二次函数的对称性得到对称图形的面积相等，再通过拆分图形面积，将所求面积和转化为已知面积的差，避免了复杂的坐标计算，属于技巧性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
11. 求下列二次函数$y=ax^2+c$的解析式:
(1)经过点$(1,-1),(2,5)$.
(2)与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口大小相同,方向相反,且顶点坐标是$(0,-1)$.
(3)当$x$的值由0增加到2时,函数值由-1减小到-5.
(1)经过点$(1,-1),(2,5)$.
(2)与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口大小相同,方向相反,且顶点坐标是$(0,-1)$.
(3)当$x$的值由0增加到2时,函数值由-1减小到-5.
答案
11. (1)$y=2x^2-3$
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x^2-1$
(3)$y=-x^2-1$
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x^2-1$
(3)$y=-x^2-1$
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+c$解析式的求解，核心方法是待定系数法，由于解析式仅含$a$、$c$两个未知参数，只需找到2个对应条件即可求解：
(1)已知两点在函数图象上，两点坐标均满足函数解析式，代入即可得到关于$a$、$c$的二元一次方程组，解方程组得参数值；
(2)二次函数的开口大小和方向由$a$决定：开口大小相同则$|a|$相等，方向相反则$a$互为相反数，可直接确定$a$的值；$y=ax^2+c$的顶点为$(0,c)$，结合给出的顶点坐标即可确定$c$的值；
(3)根据$x$和对应函数值的变化，可得到两组$x$、$y$的对应值，代入解析式即可求解参数。
【解析】
(1)将点$(1,-1)$、$(2,5)$代入$y=ax^2+c$，得：
$\begin{cases} a + c = -1&① \\ 4a + c = 5&② \end{cases}$
用②$-$①得：$3a=6$，解得$a=2$，
将$a=2$代入①得：$2 + c = -1$，解得$c=-3$，
$\therefore$ 解析式为$y=2x^2-3$。
(2)$\because$ 所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^2$开口大小相同、方向相反，
$\therefore a=-\frac{1}{2}$，
又$\because$ 顶点坐标为$(0,-1)$，对于$y=ax^2+c$，顶点纵坐标即为$c$，
$\therefore c=-1$，
$\therefore$ 解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-1$。
(3)由题意可知：当$x=0$时，$y=-1$；当$x=2$时，$y=-5$，
将两组值代入$y=ax^2+c$得：
$\begin{cases} c=-1 \\ 4a + c = -5 \end{cases}$
将$c=-1$代入第二个方程得：$4a -1 = -5$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 解析式为$y=-x^2-1$。
【答案】
(1)$y=2x^2-3$
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x^2-1$
(3)$y=-x^2-1$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象性质
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，重点考查对二次函数$y=ax^2+c$中参数$a$、$c$对应性质的理解，以及待定系数法的应用，计算量小，只要准确提取题目条件即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+c$解析式的求解，核心方法是待定系数法，由于解析式仅含$a$、$c$两个未知参数，只需找到2个对应条件即可求解：
(1)已知两点在函数图象上，两点坐标均满足函数解析式，代入即可得到关于$a$、$c$的二元一次方程组，解方程组得参数值；
(2)二次函数的开口大小和方向由$a$决定：开口大小相同则$|a|$相等，方向相反则$a$互为相反数，可直接确定$a$的值；$y=ax^2+c$的顶点为$(0,c)$，结合给出的顶点坐标即可确定$c$的值；
(3)根据$x$和对应函数值的变化，可得到两组$x$、$y$的对应值，代入解析式即可求解参数。
【解析】
(1)将点$(1,-1)$、$(2,5)$代入$y=ax^2+c$，得：
$\begin{cases} a + c = -1&① \\ 4a + c = 5&② \end{cases}$
用②$-$①得：$3a=6$，解得$a=2$，
将$a=2$代入①得：$2 + c = -1$，解得$c=-3$，
$\therefore$ 解析式为$y=2x^2-3$。
(2)$\because$ 所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^2$开口大小相同、方向相反，
$\therefore a=-\frac{1}{2}$，
又$\because$ 顶点坐标为$(0,-1)$，对于$y=ax^2+c$，顶点纵坐标即为$c$，
$\therefore c=-1$，
$\therefore$ 解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-1$。
(3)由题意可知：当$x=0$时，$y=-1$；当$x=2$时，$y=-5$，
将两组值代入$y=ax^2+c$得：
$\begin{cases} c=-1 \\ 4a + c = -5 \end{cases}$
将$c=-1$代入第二个方程得：$4a -1 = -5$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 解析式为$y=-x^2-1$。
【答案】
(1)$y=2x^2-3$
(2)$y=-\dfrac{1}{2}x^2-1$
(3)$y=-x^2-1$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象性质
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，重点考查对二次函数$y=ax^2+c$中参数$a$、$c$对应性质的理解，以及待定系数法的应用，计算量小，只要准确提取题目条件即可正确求解。
【难度系数】
0.8
