登录
9. 对于点 $ P $ 和线段 $ AB $，给出定义：若将线段 $ AB $ 绕点 $ P $ 旋转可以得到 $ \odot O $ 的弦 $ A_1B_1 $（点 $ A_1 $，$ B_1 $ 分别是点 $ A $，$ B $ 的对应点），则称线段 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的以点 $ P $ 为中心的“和谐线段”。如图，在平面直角坐标系中，$ \odot O $ 的半径为 1，点 $ P(-1,1) $，$ A(-2,3) $，$ B(-1,2) $，连接 $ AB $，已知线段 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的以点 $ P $ 为中心的“和谐线段”，则点 $ A_1 $ 的坐标是（
A.$ (0,1) $
B.$ (0,-1) $
C.$ (1,0) $
D.$ (-1,0) $
B
）A.$ (0,1) $
B.$ (0,-1) $
C.$ (1,0) $
D.$ (-1,0) $
答案
9. B
解析
【分析】
解题首先要抓住“和谐线段”的核心本质：线段AB绕P旋转得到弦A₁B₁，符合旋转的性质，即旋转前后对应点到旋转中心P的距离相等（PA=PA₁，PB=PB₁），且旋转后的A₁、B₁都在⊙O上，即到原点O的距离等于半径1。解题思路：第一步先计算PA、PB的长度；第二步筛选四个选项中到P点距离等于PA的候选点；第三步验证对应旋转得到的B₁是否满足在⊙O上的要求，最终确定A₁的坐标。
【解析】
解：根据“和谐线段”的定义，结合旋转的性质可得：$PA=PA_1$，$PB=PB_1$，且$OA_1=OB_1=1$（$\odot O$半径为1）。
1. 计算$PA$、$PB$的长度：
已知$P(-1,1)$，$A(-2,3)$，$B(-1,2)$：
$P$和$B$横坐标相同，故$PB=|2-1|=1$，可得$PB_1=1$；
由勾股定理得$PA=\sqrt{(-2+1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，故$PA_1=\sqrt{5}$。
2. 逐一验证选项：
选项A$(0,1)$：到P的距离为$\sqrt{(0+1)^2+(1-1)^2}=1≠\sqrt{5}$，不符合，排除；
选项B$(0,-1)$：到P的距离为$\sqrt{(0+1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，符合$PA_1=\sqrt{5}$。
进一步验证：点A相对于P的坐标为$(-1,2)$，点$(0,-1)$相对于P的坐标为$(1,-2)$，可知是绕P旋转180°得到；则点B相对于P的坐标$(0,1)$旋转180°得$(0,-1)$，对应$B_1$坐标为$(-1+0,1-1)=(-1,0)$，此时$OB_1=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$，满足在$\odot O$上，符合要求。
选项C$(1,0)$：到P的距离为$\sqrt{5}$，但旋转后得到的$B_1$到原点距离不等于1，不符合要求，排除；
选项D$(-1,0)$：到P的距离为$1≠\sqrt{5}$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是新定义类题型，解题的关键是把新定义转化为已学的旋转性质、点在圆上的判定等知识点，结合计算和验证即可求解，能很好地考察知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要抓住“和谐线段”的核心本质：线段AB绕P旋转得到弦A₁B₁，符合旋转的性质，即旋转前后对应点到旋转中心P的距离相等（PA=PA₁，PB=PB₁），且旋转后的A₁、B₁都在⊙O上，即到原点O的距离等于半径1。解题思路：第一步先计算PA、PB的长度；第二步筛选四个选项中到P点距离等于PA的候选点；第三步验证对应旋转得到的B₁是否满足在⊙O上的要求，最终确定A₁的坐标。
【解析】
解：根据“和谐线段”的定义，结合旋转的性质可得：$PA=PA_1$，$PB=PB_1$，且$OA_1=OB_1=1$（$\odot O$半径为1）。
1. 计算$PA$、$PB$的长度：
已知$P(-1,1)$，$A(-2,3)$，$B(-1,2)$：
$P$和$B$横坐标相同，故$PB=|2-1|=1$，可得$PB_1=1$；
由勾股定理得$PA=\sqrt{(-2+1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，故$PA_1=\sqrt{5}$。
2. 逐一验证选项：
选项A$(0,1)$：到P的距离为$\sqrt{(0+1)^2+(1-1)^2}=1≠\sqrt{5}$，不符合，排除；
选项B$(0,-1)$：到P的距离为$\sqrt{(0+1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，符合$PA_1=\sqrt{5}$。
进一步验证：点A相对于P的坐标为$(-1,2)$，点$(0,-1)$相对于P的坐标为$(1,-2)$，可知是绕P旋转180°得到；则点B相对于P的坐标$(0,1)$旋转180°得$(0,-1)$，对应$B_1$坐标为$(-1+0,1-1)=(-1,0)$，此时$OB_1=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$，满足在$\odot O$上，符合要求。
选项C$(1,0)$：到P的距离为$\sqrt{5}$，但旋转后得到的$B_1$到原点距离不等于1，不符合要求，排除；
选项D$(-1,0)$：到P的距离为$1≠\sqrt{5}$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是新定义类题型，解题的关键是把新定义转化为已学的旋转性质、点在圆上的判定等知识点，结合计算和验证即可求解，能很好地考察知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
10. 若一元二次方程的两个根分别为3和－2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式：
$x^2-x-6=0$
。答案
10. $x^2-x-6=0$
解析
【分析】
要解这道题有两个常规思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知二次项系数为1，先设出对应形式的方程，再通过两根之和、两根之积求出一次项系数和常数项；思路2：利用因式分解法的逆推逻辑，若二次项系数为1的一元二次方程两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，展开后就能得到一般形式。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设该一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1），两根为$x_1=3$、$x_2=-2$。
根据韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$。
代入数值计算：
$b=-(3+(-2))=-1$
$c=3×(-2)=-6$
将$b$、$c$代入所设方程，得$x^2 -x -6=0$。
方法二（因式分解逆用法）：
已知方程两根为3和-2，且二次项系数为1，可直接写出因式分解形式的方程：
$(x-3)(x+2)=0$
展开并整理左边：
$x^2+2x-3x-6=0$
合并同类项后得：$x^2 -x -6=0$。
【答案】
$x^2 -x -6=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查已知两根构造一元二次方程的方法，两种解题思路都是一元二次方程的常规应用，熟练掌握相关知识点后可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解这道题有两个常规思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知二次项系数为1，先设出对应形式的方程，再通过两根之和、两根之积求出一次项系数和常数项；思路2：利用因式分解法的逆推逻辑，若二次项系数为1的一元二次方程两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，展开后就能得到一般形式。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设该一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1），两根为$x_1=3$、$x_2=-2$。
根据韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$。
代入数值计算：
$b=-(3+(-2))=-1$
$c=3×(-2)=-6$
将$b$、$c$代入所设方程，得$x^2 -x -6=0$。
方法二（因式分解逆用法）：
已知方程两根为3和-2，且二次项系数为1，可直接写出因式分解形式的方程：
$(x-3)(x+2)=0$
展开并整理左边：
$x^2+2x-3x-6=0$
合并同类项后得：$x^2 -x -6=0$。
【答案】
$x^2 -x -6=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查已知两根构造一元二次方程的方法，两种解题思路都是一元二次方程的常规应用，熟练掌握相关知识点后可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11. 将抛物线$y=x^2+5$先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为
$y=(x+2)^2+2$
。答案
11. $y=(x+2)^2+2$
解析
【分析】
解决本题需用到二次函数图象的平移规律：二次函数图象平移时，开口方向、开口大小均不变，仅改变顶点位置，遵循“左加右减（针对自变量x，向左平移给x加平移单位，向右平移给x减平移单位），上加下减（针对函数整体，向上平移给解析式加平移单位，向下平移给解析式减平移单位）”的规则，我们只需按照题目给出的平移步骤依次变换原解析式即可。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=x^2+5$：
1. 第一步向左平移2个单位长度，根据“左加右减”规则，将解析式中的$x$替换为$x+2$，可得：$y=(x+2)^2+5$；
2. 第二步向下平移3个单位长度，根据“上加下减”规则，给整体解析式减去3，可得：
$y=(x+2)^2+5-3$
化简后得$y=(x+2)^2+2$。
【答案】
$y=(x+2)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规则
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数图象的平移规律，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的规则，解题时注意区分左右平移对应自变量的加减方向，避免混淆即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解决本题需用到二次函数图象的平移规律：二次函数图象平移时，开口方向、开口大小均不变，仅改变顶点位置，遵循“左加右减（针对自变量x，向左平移给x加平移单位，向右平移给x减平移单位），上加下减（针对函数整体，向上平移给解析式加平移单位，向下平移给解析式减平移单位）”的规则，我们只需按照题目给出的平移步骤依次变换原解析式即可。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=x^2+5$：
1. 第一步向左平移2个单位长度，根据“左加右减”规则，将解析式中的$x$替换为$x+2$，可得：$y=(x+2)^2+5$；
2. 第二步向下平移3个单位长度，根据“上加下减”规则，给整体解析式减去3，可得：
$y=(x+2)^2+5-3$
化简后得$y=(x+2)^2+2$。
【答案】
$y=(x+2)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规则
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数图象的平移规律，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的规则，解题时注意区分左右平移对应自变量的加减方向，避免混淆即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
12. 某种商品进价为 30 元/件，在某段时间内，若以 x 元/件的价格出售，则可卖出$(100-x)$件，当出售价格是
65
元/件时，才能使利润最大。答案
12. 65
解析
【分析】
要解决利润最大的问题，首先明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。首先计算单件利润为（售价-进价）即(x-30)元，已知销售量为(100-x)件，据此可以列出总利润关于售价x的函数关系式，观察可知该函数是二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，顶点处即为最大值点，求出顶点的横坐标即为利润最大时的售价。
【解析】
设总利润为y元，根据题意可得：
单件利润为$(x-30)$元，销售数量为$(100-x)$件，
因此总利润：
$y=(x-30)(100-x)$
展开整理得：
$y=-x^2+130x-3000$
该函数为二次函数，其中$a=-1＜0$，因此函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=130$得：
$x=-\frac{130}{2×(-1)}=65$
即当售价为65元/件时，利润最大。
【答案】
65
【知识点】
二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题关键是根据利润的等量关系正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要解决利润最大的问题，首先明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。首先计算单件利润为（售价-进价）即(x-30)元，已知销售量为(100-x)件，据此可以列出总利润关于售价x的函数关系式，观察可知该函数是二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，顶点处即为最大值点，求出顶点的横坐标即为利润最大时的售价。
【解析】
设总利润为y元，根据题意可得：
单件利润为$(x-30)$元，销售数量为$(100-x)$件，
因此总利润：
$y=(x-30)(100-x)$
展开整理得：
$y=-x^2+130x-3000$
该函数为二次函数，其中$a=-1＜0$，因此函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=130$得：
$x=-\frac{130}{2×(-1)}=65$
即当售价为65元/件时，利润最大。
【答案】
65
【知识点】
二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题关键是根据利润的等量关系正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
13. 定义新运算“*”，规定：$a*b=\begin{cases}a, & a≥ b, \\ b, & a ＜ b.\end{cases}$ 如$1*2=2$，$(-\sqrt{5})*\sqrt{2}=\sqrt{2}$。若$x^2 + x -1=0$的两个实数根为$x_1, x_2$，则$x_1 * x_2 =$ ______ .
答案
13. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先读懂新运算“*”的规则，该运算的本质是取两个数中较大的数作为运算结果；第二步求解一元二次方程$x^2 + x -1=0$的两个实数根；第三步比较两个根的大小，按照新运算规则取较大的根即为最终结果。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 + x -1=0$：
这里$a=1$，$b=1$，$c=-1$，先计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得两个根为：
$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
2. 比较两个根的大小：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}＜0$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
3. 根据新运算规则，取较大的数作为结果，因此$x_1*x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
1. 定义新运算
2. 一元二次方程求根公式
3. 实数大小比较
【点评】
本题结合新定义运算和一元二次方程知识考查应用能力，解题的核心是准确理解新运算的含义，只要正确求出方程的根、比较出大小即可得到答案。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先读懂新运算“*”的规则，该运算的本质是取两个数中较大的数作为运算结果；第二步求解一元二次方程$x^2 + x -1=0$的两个实数根；第三步比较两个根的大小，按照新运算规则取较大的根即为最终结果。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 + x -1=0$：
这里$a=1$，$b=1$，$c=-1$，先计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得两个根为：
$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
2. 比较两个根的大小：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}＜0$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
3. 根据新运算规则，取较大的数作为结果，因此$x_1*x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
1. 定义新运算
2. 一元二次方程求根公式
3. 实数大小比较
【点评】
本题结合新定义运算和一元二次方程知识考查应用能力，解题的核心是准确理解新运算的含义，只要正确求出方程的根、比较出大小即可得到答案。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0, x＞0)$的图象上，分别以点A，B为圆心，1为半径作圆，当$\odot A$与x轴相切、$\odot B$与y轴相切时，连接AB. 若$AB=3\sqrt{2}$，则k的值为
4
.答案
14. 4
解析
【分析】
解题思路可分三步：①根据圆与坐标轴相切的性质，圆心到切线的距离等于半径，可得点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1；②结合A、B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，可分别用k表示出A、B两点的坐标；③已知AB的长度，利用两点间距离公式列关于k的方程，结合$k＞0$的条件求解即可。
【解析】
∵$\odot A$与x轴相切，半径为1，
∴点A的纵坐标等于半径1，
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
将$y=1$代入解析式得：$1=\frac{k}{x}$，解得$x=k$，即$A(k,1)$；
∵$\odot B$与y轴相切，半径为1，
∴点B的横坐标等于半径1，
又
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
将$x=1$代入解析式得：$y=\frac{k}{1}=k$，即$B(1,k)$；
根据两点间距离公式，$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$，代入$AB=3\sqrt{2}$得：
$\sqrt{(k-1)^2+(1-k)^2}=3\sqrt{2}$
化简左边：$\sqrt{2(k-1)^2}=\sqrt{2}|k-1|$，
结合$k＞0$和图象可知$k＞1$，故$|k-1|=k-1$，
则等式变为：$\sqrt{2}(k-1)=3\sqrt{2}$，
两边同时除以$\sqrt{2}$得：$k-1=3$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，切线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是小综合类题目，将反比例函数与圆的性质结合考查，解题的突破口是利用切线的性质确定圆心坐标的特征，再结合函数解析式表示出两点坐标，最后通过距离公式列方程求解，解题时需注意结合取值范围对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：①根据圆与坐标轴相切的性质，圆心到切线的距离等于半径，可得点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1；②结合A、B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，可分别用k表示出A、B两点的坐标；③已知AB的长度，利用两点间距离公式列关于k的方程，结合$k＞0$的条件求解即可。
【解析】
∵$\odot A$与x轴相切，半径为1，
∴点A的纵坐标等于半径1，
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
将$y=1$代入解析式得：$1=\frac{k}{x}$，解得$x=k$，即$A(k,1)$；
∵$\odot B$与y轴相切，半径为1，
∴点B的横坐标等于半径1，
又
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
将$x=1$代入解析式得：$y=\frac{k}{1}=k$，即$B(1,k)$；
根据两点间距离公式，$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$，代入$AB=3\sqrt{2}$得：
$\sqrt{(k-1)^2+(1-k)^2}=3\sqrt{2}$
化简左边：$\sqrt{2(k-1)^2}=\sqrt{2}|k-1|$，
结合$k＞0$和图象可知$k＞1$，故$|k-1|=k-1$，
则等式变为：$\sqrt{2}(k-1)=3\sqrt{2}$，
两边同时除以$\sqrt{2}$得：$k-1=3$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，切线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是小综合类题目，将反比例函数与圆的性质结合考查，解题的突破口是利用切线的性质确定圆心坐标的特征，再结合函数解析式表示出两点坐标，最后通过距离公式列方程求解，解题时需注意结合取值范围对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.7
