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1. 如图，以点P为圆心作圆，若所得的圆与直线l相切，则该圆的半径为 （
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
1题图
2题图
B
）A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
1题图
2题图
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确直线与圆相切的核心特征：圆和直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。接下来我们需要确定点P到直线l的距离：根据点到直线距离的定义，过点P作直线l的垂线，所得垂线段的长度就是点P到l的距离，该长度即为所求圆的半径，最后对应选项找到对应的垂线段即可。
【解析】
解：
∵ 圆与直线l相切时，圆心P到直线l的距离等于圆的半径，
又
∵ 点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，观察图形可得PB是点P到直线l的垂线段，
∴ 该圆的半径为PB。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆相切的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要掌握直线与圆相切的性质以及点到直线距离的定义，就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的直接考查。
【难度系数】
0.9
首先明确直线与圆相切的核心特征：圆和直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。接下来我们需要确定点P到直线l的距离：根据点到直线距离的定义，过点P作直线l的垂线，所得垂线段的长度就是点P到l的距离，该长度即为所求圆的半径，最后对应选项找到对应的垂线段即可。
【解析】
解：
∵ 圆与直线l相切时，圆心P到直线l的距离等于圆的半径，
又
∵ 点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，观察图形可得PB是点P到直线l的垂线段，
∴ 该圆的半径为PB。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆相切的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要掌握直线与圆相切的性质以及点到直线距离的定义，就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的直接考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3. 若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（
A.$8≤ AB≤10$
B.$8＜AB≤10$
C.$4≤ AB≤5$
D.$4＜AB≤5$
A
）A.$8≤ AB≤10$
B.$8＜AB≤10$
C.$4≤ AB≤5$
D.$4＜AB≤5$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先明确弦AB与小圆有公共点等价于直线AB与小圆相切或相交，据此确定弦长的两个边界：①大圆中最长的弦是直径，可得AB的最大值；②当AB与小圆相切时，圆心到AB的距离等于小圆半径，结合垂径定理和勾股定理可求出AB的最小值，最终确定AB的取值范围即可。
【解析】
解：① 当AB为大圆的直径时，弦长最长，此时$AB=2×5=10$；
② 当弦AB与小圆相切时，AB最短（若AB再短，圆心到AB的距离将大于小圆半径，AB与小圆无公共点）：
过圆心O作$OC⊥AB$于点C，此时OC等于小圆半径3，连接OA，OA为大圆半径5。
在$Rt△OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$
由垂径定理可知，$AB=2AC=8$。
因为弦AB与小圆有公共点，包含相切的情况，所以AB的取值范围是$8≤AB≤10$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是准确找到弦长的两个边界值，需注意“弦与圆有公共点”包含相切和相交两种情况，因此取值范围要包含端点值，避免漏写等号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先明确弦AB与小圆有公共点等价于直线AB与小圆相切或相交，据此确定弦长的两个边界：①大圆中最长的弦是直径，可得AB的最大值；②当AB与小圆相切时，圆心到AB的距离等于小圆半径，结合垂径定理和勾股定理可求出AB的最小值，最终确定AB的取值范围即可。
【解析】
解：① 当AB为大圆的直径时，弦长最长，此时$AB=2×5=10$；
② 当弦AB与小圆相切时，AB最短（若AB再短，圆心到AB的距离将大于小圆半径，AB与小圆无公共点）：
过圆心O作$OC⊥AB$于点C，此时OC等于小圆半径3，连接OA，OA为大圆半径5。
在$Rt△OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$
由垂径定理可知，$AB=2AC=8$。
因为弦AB与小圆有公共点，包含相切的情况，所以AB的取值范围是$8≤AB≤10$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是准确找到弦长的两个边界值，需注意“弦与圆有公共点”包含相切和相交两种情况，因此取值范围要包含端点值，避免漏写等号出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心、r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是
$3≤r≤5$
。答案
3.$3≤r≤5$
解析
【分析】
要确定半径r的取值范围，首先明确题目要求是⊙B与边CD（线段）有唯一公共点，需先找到线段CD上的点到圆心B的距离的最值：1. 因为矩形的内角为直角，BC⊥CD，所以B到CD的最短距离就是BC的长度；2. 线段CD上离B最远的点是D点，可通过勾股定理算出BD的长度。再结合圆与线段有唯一公共点的临界情况分析：当半径等于最短距离时，圆与CD相切，有唯一公共点；当半径大于最短距离且小于等于最远距离时，线段CD上仅有一个点在圆上；半径超出最远距离时无公共点，由此即可确定r的范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3
∴ BC⊥CD，CD=AB=4，BD为矩形的对角线
① 求⊙B与CD相切时的半径：
∵ BC⊥CD，点B到直线CD的距离为BC=3
∴ 当r=3时，⊙B与CD边相切于点C，有唯一公共点，符合要求
② 求⊙B经过CD边最远点D时的半径：
由勾股定理得，$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
当r=5时，⊙B过点D，此时线段CD上仅点D在⊙B上，有唯一公共点，符合要求
③ 分析中间情况：
当$3＜r＜5$时，点C到B的距离3＜r（C在圆内），点D到B的距离5＞r（D在圆外），线段CD连接圆内点和圆外点，与⊙B有且仅有一个交点，符合要求
当r＜3时，⊙B与CD边无公共点；当r＞5时，C、D均在圆内，CD边上无点在⊙B上，不符合要求
综上，r的取值范围是$3≤r≤5$
【答案】
$3≤r≤5$
【知识点】
直线与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
解题时要注意题目中是与边CD（线段）有唯一公共点，而非与直线CD有唯一公共点，需要结合图形分析两种临界情况（相切、经过线段另一端点），避免漏算边界值或范围错误。
【难度系数】
0.7
要确定半径r的取值范围，首先明确题目要求是⊙B与边CD（线段）有唯一公共点，需先找到线段CD上的点到圆心B的距离的最值：1. 因为矩形的内角为直角，BC⊥CD，所以B到CD的最短距离就是BC的长度；2. 线段CD上离B最远的点是D点，可通过勾股定理算出BD的长度。再结合圆与线段有唯一公共点的临界情况分析：当半径等于最短距离时，圆与CD相切，有唯一公共点；当半径大于最短距离且小于等于最远距离时，线段CD上仅有一个点在圆上；半径超出最远距离时无公共点，由此即可确定r的范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3
∴ BC⊥CD，CD=AB=4，BD为矩形的对角线
① 求⊙B与CD相切时的半径：
∵ BC⊥CD，点B到直线CD的距离为BC=3
∴ 当r=3时，⊙B与CD边相切于点C，有唯一公共点，符合要求
② 求⊙B经过CD边最远点D时的半径：
由勾股定理得，$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
当r=5时，⊙B过点D，此时线段CD上仅点D在⊙B上，有唯一公共点，符合要求
③ 分析中间情况：
当$3＜r＜5$时，点C到B的距离3＜r（C在圆内），点D到B的距离5＞r（D在圆外），线段CD连接圆内点和圆外点，与⊙B有且仅有一个交点，符合要求
当r＜3时，⊙B与CD边无公共点；当r＞5时，C、D均在圆内，CD边上无点在⊙B上，不符合要求
综上，r的取值范围是$3≤r≤5$
【答案】
$3≤r≤5$
【知识点】
直线与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
解题时要注意题目中是与边CD（线段）有唯一公共点，而非与直线CD有唯一公共点，需要结合图形分析两种临界情况（相切、经过线段另一端点），避免漏算边界值或范围错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知$∠ O=30°$，C为OB上一点，且$OC=6$，$CD⊥ OA$于点D，以点C为圆心、半径为3的圆与OA的位置关系是
相切
。答案
4.相切
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，只需比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中圆心是点C，直线是OA，已知CD⊥OA，因此首先需要求出CD的长度（即d），再和半径3比较即可得出结论。求CD时可利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质计算。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，
∴CD是圆心C到直线OA的距离，记为d。
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠O=30°，OC=6，
根据含30°角的直角三角形的性质，得：
$CD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵⊙C的半径r=3，
∴d=r，
∴直线OA与⊙C的位置关系是相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判定，解题的核心是准确求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，只要掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，只需比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中圆心是点C，直线是OA，已知CD⊥OA，因此首先需要求出CD的长度（即d），再和半径3比较即可得出结论。求CD时可利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质计算。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，
∴CD是圆心C到直线OA的距离，记为d。
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠O=30°，OC=6，
根据含30°角的直角三角形的性质，得：
$CD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵⊙C的半径r=3，
∴d=r，
∴直线OA与⊙C的位置关系是相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判定，解题的核心是准确求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，只要掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$\odot O$的半径$OC=5\ \mathrm{cm}$，直线$l⊥ OC$，垂足为$H$，且$l$交$\odot O$于$A$，$B$两点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，若将$l$沿$OC$所在直线平移
2或8
$\mathrm{cm}$，则$l$与$\odot O$相切。答案
5.2或8
解析
【分析】
解题时首先结合垂径定理求出圆心到直线的现有距离，再根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，分两种平移方向讨论计算平移长度即可。第一步先连接半径OA，由垂直于弦的直径平分弦，算出弦长的一半；第二步用勾股定理算出OH的长度；第三步分析向上、向下平移两种相切的情况，分别计算平移距离。
【解析】
解：连接OA，
∵ 直线$l⊥OC$，由垂径定理可得：$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
直线$l$与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
① 直线$l$向下平移：平移后直线到$O$的距离为$5\ \mathrm{cm}$，平移距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$，此时直线与$\odot O$相切于点$C$；
② 直线$l$向上平移：平移后直线到$O$的距离为$5\ \mathrm{cm}$，平移距离为$3+5=8\ \mathrm{cm}$，此时直线与$\odot O$上部相切。
综上，平移距离为$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆相切的判定
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的关键是注意分类讨论平移的两种方向，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合垂径定理求出圆心到直线的现有距离，再根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，分两种平移方向讨论计算平移长度即可。第一步先连接半径OA，由垂直于弦的直径平分弦，算出弦长的一半；第二步用勾股定理算出OH的长度；第三步分析向上、向下平移两种相切的情况，分别计算平移距离。
【解析】
解：连接OA，
∵ 直线$l⊥OC$，由垂径定理可得：$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
直线$l$与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
① 直线$l$向下平移：平移后直线到$O$的距离为$5\ \mathrm{cm}$，平移距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$，此时直线与$\odot O$相切于点$C$；
② 直线$l$向上平移：平移后直线到$O$的距离为$5\ \mathrm{cm}$，平移距离为$3+5=8\ \mathrm{cm}$，此时直线与$\odot O$上部相切。
综上，平移距离为$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆相切的判定
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的关键是注意分类讨论平移的两种方向，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在平面直角坐标系中，以A(18，3)为圆心、5个单位长度为半径的⊙A交x轴于B，C两点.
（1）将⊙A向左平移
（2）求出点B，C的坐标.
（1）将⊙A向左平移
13
个单位长度后与y轴首次相切，得到⊙A₁，此时点A₁的坐标为(5，3)
；（2）求出点B，C的坐标.
答案
6. 解（1）13 (5，3)
（2）如图，连接AC，过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$BC=2DC$. 由$A(18, 3)$可得 $AD = 3$. 因为半径 $AC = 5$，所以在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=4$.
所以点B的坐标是(14，0)，点C的坐标是(22，0).
解析
【分析】
（1）解决第一小问需先明确圆与y轴相切的条件：圆心到y轴的距离等于半径。已知⊙A半径为5，要向左平移后首次与y轴相切，则平移后圆心的横坐标应为5（到y轴距离等于半径），用原圆心横坐标减去5即可得到平移距离，平移后圆心纵坐标不变，即可得到A₁的坐标。
（2）求⊙A与x轴交点B、C的坐标，可过圆心A作x轴的垂线，根据垂径定理，垂足是弦BC的中点，再结合勾股定理求出弦长的一半，即可根据垂足的横坐标推导B、C的坐标。
【解析】
（1）圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径5，因此平移后圆心A₁的横坐标为5（向左平移首次相切，横坐标为正）。
原圆心A的横坐标为18，所以向左平移的距离为：$18 - 5 = 13$（个单位），平移过程中纵坐标不变，因此A₁的坐标为$(5，3)$。
（2）如图，连接AC，过点A作$AD⊥ BC$于点D，根据垂径定理可得$BC=2DC$。
由$A(18, 3)$可知，AD的长度等于A点的纵坐标，即$AD = 3$。
已知⊙A的半径$AC = 5$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
点D的横坐标与A点横坐标相同为18，因此：
C点横坐标为$18+4=22$，纵坐标为0，即$C(22，0)$；
B点横坐标为$18-4=14$，纵坐标为0，即$B(14，0)$。
【答案】
（1）13；$(5，3)$
（2）$B(14，0)$，$C(22，0)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握直线与圆相切的判定条件、垂径定理的应用，学会构造直角三角形利用勾股定理求解线段长度，是圆相关知识的基础常考题。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一小问需先明确圆与y轴相切的条件：圆心到y轴的距离等于半径。已知⊙A半径为5，要向左平移后首次与y轴相切，则平移后圆心的横坐标应为5（到y轴距离等于半径），用原圆心横坐标减去5即可得到平移距离，平移后圆心纵坐标不变，即可得到A₁的坐标。
（2）求⊙A与x轴交点B、C的坐标，可过圆心A作x轴的垂线，根据垂径定理，垂足是弦BC的中点，再结合勾股定理求出弦长的一半，即可根据垂足的横坐标推导B、C的坐标。
【解析】
（1）圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径5，因此平移后圆心A₁的横坐标为5（向左平移首次相切，横坐标为正）。
原圆心A的横坐标为18，所以向左平移的距离为：$18 - 5 = 13$（个单位），平移过程中纵坐标不变，因此A₁的坐标为$(5，3)$。
（2）如图，连接AC，过点A作$AD⊥ BC$于点D，根据垂径定理可得$BC=2DC$。
由$A(18, 3)$可知，AD的长度等于A点的纵坐标，即$AD = 3$。
已知⊙A的半径$AC = 5$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
点D的横坐标与A点横坐标相同为18，因此：
C点横坐标为$18+4=22$，纵坐标为0，即$C(22，0)$；
B点横坐标为$18-4=14$，纵坐标为0，即$B(14，0)$。
【答案】
（1）13；$(5，3)$
（2）$B(14，0)$，$C(22，0)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握直线与圆相切的判定条件、垂径定理的应用，学会构造直角三角形利用勾股定理求解线段长度，是圆相关知识的基础常考题。
【难度系数】
0.8
