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【变式训练1】求下列各数的算术平方根：
(1)81；
(2)0.64；
(3)$\frac{9}{16}$；
(4)$(-2)^2$；
(5)$1\frac{24}{25}$。
(1)81；
(2)0.64；
(3)$\frac{9}{16}$；
(4)$(-2)^2$；
(5)$1\frac{24}{25}$。
答案
解:(1)因为 $9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
(2)因为 $0.8^2=0.64$，所以$\sqrt{0.64}=0.8$。
(3)因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(4)因为 $2^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$。
(5)因为$(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，所以$\sqrt{1\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$。
(2)因为 $0.8^2=0.64$，所以$\sqrt{0.64}=0.8$。
(3)因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(4)因为 $2^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$。
(5)因为$(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，所以$\sqrt{1\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$。
解析
【分析】
解题需先明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果一定是非负数。求解步骤为：①先将所给数化简为最简形式（带分数化假分数、先计算乘方结果）；②找到平方后等于该最简数的非负实数，即为所求算术平方根。
【解析】
(1)因为 $9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
(2)因为 $0.8^2=0.64$，所以$\sqrt{0.64}=0.8$。
(3)因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(4)因为 $2^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$。
(5)因为$(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，所以$\sqrt{1\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1)$9$；(2)$0.8$；(3)$\frac{3}{4}$；(4)$2$；(5)$\frac{7}{5}$
【知识点】
算术平方根的定义，乘方运算，带分数化简
【点评】
本题为基础运算题，核心考查算术平方根的求解，解题时需牢记算术平方根的非负性，遇到带分数、含乘方等非最简形式的数时，要先化简再计算，避免因未化简直接求解出错。
【难度系数】
0.85
解题需先明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果一定是非负数。求解步骤为：①先将所给数化简为最简形式（带分数化假分数、先计算乘方结果）；②找到平方后等于该最简数的非负实数，即为所求算术平方根。
【解析】
(1)因为 $9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
(2)因为 $0.8^2=0.64$，所以$\sqrt{0.64}=0.8$。
(3)因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(4)因为 $2^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$。
(5)因为$(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，所以$\sqrt{1\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1)$9$；(2)$0.8$；(3)$\frac{3}{4}$；(4)$2$；(5)$\frac{7}{5}$
【知识点】
算术平方根的定义，乘方运算，带分数化简
【点评】
本题为基础运算题，核心考查算术平方根的求解，解题时需牢记算术平方根的非负性，遇到带分数、含乘方等非最简形式的数时，要先化简再计算，避免因未化简直接求解出错。
【难度系数】
0.85
例2 物体由静止自由下落时，物体下落的距离$h$(单位:m)与下落时间$t$(单位:s)的关系可用公式$h=4.9t^2$表示。
(1)把这个公式变形成用$h$表示$t$的公式；
(2)一只山羊不慎跌入176.4 m深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？
[点拨] 算术平方根在实际生活中有很多应用，解决问题时应先根据题目要求，对公式进行适当变形，再利用算术平方根的概念解答。
[解] (1)因为$h=4.9t^2$，
所以$t^2=\frac{h}{4.9}$，
即$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$。
(2)将$h=176.4$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$，
得$t=\sqrt{\frac{176.4}{4.9}}=\sqrt{36}$，所以$t=6$，
即它跌落到峡谷底经过了6 s。
(1)把这个公式变形成用$h$表示$t$的公式；
(2)一只山羊不慎跌入176.4 m深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？
[点拨] 算术平方根在实际生活中有很多应用，解决问题时应先根据题目要求，对公式进行适当变形，再利用算术平方根的概念解答。
[解] (1)因为$h=4.9t^2$，
所以$t^2=\frac{h}{4.9}$，
即$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$。
(2)将$h=176.4$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$，
得$t=\sqrt{\frac{176.4}{4.9}}=\sqrt{36}$，所以$t=6$，
即它跌落到峡谷底经过了6 s。
答案
解：
(1) 已知$h=4.9t^2$，
等式两边同时除以4.9，得$t^2=\frac{h}{4.9}$。
因为下落时间$t＞0$，对等式两边取算术平方根，得
$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$。
(2) 将$h=176.4$代入$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$，得
$t=\sqrt{\frac{176.4}{4.9}}=\sqrt{36}=6$。
答：它落到峡谷底经过了6 s。
(1) 已知$h=4.9t^2$，
等式两边同时除以4.9，得$t^2=\frac{h}{4.9}$。
因为下落时间$t＞0$，对等式两边取算术平方根，得
$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$。
(2) 将$h=176.4$代入$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$，得
$t=\sqrt{\frac{176.4}{4.9}}=\sqrt{36}=6$。
答：它落到峡谷底经过了6 s。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）第一问是公式变形，需将t单独放在等式一侧，首先利用等式的性质将t²的系数化为1，再结合下落时间t恒为正数的实际意义，对等式两边取算术平方根即可得到用h表示t的式子；（2）第二问是代入求值，只需将h的数值代入第一问变形得到的公式中，先计算根号内的除法，再求算术平方根即可得到下落时间。
【解析】
(1) 已知公式$h=4.9t^2$，
等式两边同时除以4.9，得$t^2=\frac{h}{4.9}$，
由于下落时间$t＞0$，对等式两边取算术平方根，可得$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$。
(2) 将$h=176.4$代入$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$中，
计算得$t=\sqrt{\frac{176.4}{4.9}}=\sqrt{36}=6$，单位为秒。
【答案】
(1) $t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$；(2) 6 s
【知识点】
公式变形，算术平方根，代入求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查算术平方根的基础应用，解题时需注意结合实际问题确定未知数的取值范围，本题中时间为非负数，因此开方时仅需取算术平方根，解题步骤清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路如下：（1）第一问是公式变形，需将t单独放在等式一侧，首先利用等式的性质将t²的系数化为1，再结合下落时间t恒为正数的实际意义，对等式两边取算术平方根即可得到用h表示t的式子；（2）第二问是代入求值，只需将h的数值代入第一问变形得到的公式中，先计算根号内的除法，再求算术平方根即可得到下落时间。
【解析】
(1) 已知公式$h=4.9t^2$，
等式两边同时除以4.9，得$t^2=\frac{h}{4.9}$，
由于下落时间$t＞0$，对等式两边取算术平方根，可得$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$。
(2) 将$h=176.4$代入$t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$中，
计算得$t=\sqrt{\frac{176.4}{4.9}}=\sqrt{36}=6$，单位为秒。
【答案】
(1) $t=\sqrt{\frac{h}{4.9}}$；(2) 6 s
【知识点】
公式变形，算术平方根，代入求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查算术平方根的基础应用，解题时需注意结合实际问题确定未知数的取值范围，本题中时间为非负数，因此开方时仅需取算术平方根，解题步骤清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.85
| 变式训练 2 | 有一张面积为 $500\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一张面积为 $300\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片，并使长方形的长、宽之比为 $5:3$，小丽能裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计出裁剪方案；若不能，请简要说明理由。（结果不用化简）
答案
解:因为长方形纸片的长、宽之比为 5:3，所以可设长方形纸片的长为 5x cm，宽为 3x cm。
根据题意得 $5x · 3x=300$，
所以 $x^2=20$，
解得 $x=\sqrt{20}$。
所以小丽能裁出符合要求的纸片，此长方形纸片的长为 $5\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$，宽为 $3\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$。
根据题意得 $5x · 3x=300$，
所以 $x^2=20$，
解得 $x=\sqrt{20}$。
所以小丽能裁出符合要求的纸片，此长方形纸片的长为 $5\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$，宽为 $3\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要判断能否裁出符合要求的长方形，需先求出长方形的长、宽，再与原正方形的边长比较，若长方形的长不超过正方形的边长即可裁出。解题时先根据长方形的长宽比设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长和宽，再计算正方形的边长，对比两者大小即可得到结论。
【解析】
解：已知长方形的长、宽之比为$5:3$，设长方形的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式列方程：
$5x·3x=300$
整理得$15x^2=300$，即$x^2=20$。
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{20}$。
因此长方形的长为$5\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$，宽为$3\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$。
原正方形面积为$500\ \mathrm{cm}^2$，可得正方形边长为$\sqrt{500}\ \mathrm{cm}$，计算得$(5\sqrt{20})^2=25×20=500$，即$5\sqrt{20}=\sqrt{500}$，说明长方形的长刚好等于正方形的边长，宽$3\sqrt{20}＜5\sqrt{20}$，满足裁剪要求。
【答案】
小丽能裁出符合要求的纸片，裁出的长方形纸片长为$5\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$，宽为$3\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
算术平方根应用，面积公式应用，比例应用
【点评】
本题结合实际裁剪场景，考查方程思想和算术平方根的实际应用，解题核心是通过设参数求出长方形的长，再与正方形边长对比判断是否可行，注意边长为正数，只需取算术平方根计算即可。
【难度系数】
0.7
要判断能否裁出符合要求的长方形，需先求出长方形的长、宽，再与原正方形的边长比较，若长方形的长不超过正方形的边长即可裁出。解题时先根据长方形的长宽比设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长和宽，再计算正方形的边长，对比两者大小即可得到结论。
【解析】
解：已知长方形的长、宽之比为$5:3$，设长方形的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式列方程：
$5x·3x=300$
整理得$15x^2=300$，即$x^2=20$。
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{20}$。
因此长方形的长为$5\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$，宽为$3\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$。
原正方形面积为$500\ \mathrm{cm}^2$，可得正方形边长为$\sqrt{500}\ \mathrm{cm}$，计算得$(5\sqrt{20})^2=25×20=500$，即$5\sqrt{20}=\sqrt{500}$，说明长方形的长刚好等于正方形的边长，宽$3\sqrt{20}＜5\sqrt{20}$，满足裁剪要求。
【答案】
小丽能裁出符合要求的纸片，裁出的长方形纸片长为$5\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$，宽为$3\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
算术平方根应用，面积公式应用，比例应用
【点评】
本题结合实际裁剪场景，考查方程思想和算术平方根的实际应用，解题核心是通过设参数求出长方形的长，再与正方形边长对比判断是否可行，注意边长为正数，只需取算术平方根计算即可。
【难度系数】
0.7
