10.如图,已知点C,请按要求分别在下面的正方形网格中设计$△ ABC$,使$∠ C=90°$, $AC=BC$。
(1)AB的长为无理数,AC,BC的长均为有理数;
(2)AB的长为有理数,AC,BC的长均为无理数;
(3)三边的长均为无理数。

(1)如图(1)所示(答案不唯一)。
(2)如图(2)所示(答案不唯一)。
(3)如图(3)所示(答案不唯一)。

【分析】
我们先设每个小正方形的边长为1，要构造满足要求的等腰Rt△ABC，核心是保证∠C=90°且AC=BC，再结合三类边长要求设计即可：
1. 第一问要求AC、BC为有理数，AB为无理数：可直接取AC、BC为水平/竖直的整数长度（整数属于有理数），此时等腰直角三角形的斜边AB为边长乘√2，自然是无理数；
2. 第二问要求AB为有理数，AC、BC为无理数：利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，取AB为整数长度（有理数），让AC、BC为斜线段，长度为无理数即可；
3. 第三问要求三边均为无理数：选取两条从C出发、互相垂直且长度相等的斜线段作为AC、BC，保证AC、BC、AB的长度都不是整数即可。
【解析】
我们按以下方法作图（画法不唯一）：
(1) 过点C作水平向左的线段CB，取CB长为3，过点C作竖直向上的线段CA，取CA长为3，连接AB。此时AC=BC=3（有理数），AB=√(3²+3²)=3√2（无理数），∠C=90°，符合要求。
(2) 作水平线段AB，取AB长为4，找到AB的中点，过中点作竖直向下长度为2的线段到点C，连接AC、BC。此时AB=4（有理数），AC=BC=√(2²+2²)=2√2（无理数），∠C=90°，符合要求。
(3) 从C点出发，向左走3格、向上走1格确定点A，向右走1格、向上走3格确定点B，连接AC、BC、AB。此时AC=BC=√(3²+1²)=√10（无理数），AB=√(4²+2²)=2√5（无理数），∠C=90°，符合要求。
【答案】
(1)如图(1)所示(答案不唯一)。
(2)如图(2)所示(答案不唯一)。
(3)如图(3)所示(答案不唯一)。
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；无理数的概念
【点评】
本题属于网格开放性作图题，核心考查对勾股定理、等腰直角三角形性质的灵活运用，需要结合有理数和无理数的定义设计边长，能有效锻炼动手操作能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7

知识点一 算术平方根的定义
一般地，如果一个 x 的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，读作“根号a”。
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即$\sqrt{0}=0$。

正数；$x^2=a$

【分析】
本题考查算术平方根的基础定义，解题时需回忆算术平方根的核心要素：首先算术平方根特指非负的那个平方根，所以前提是这个数x为正数（排除负数的情况）；其次对应等量关系为这个正数的平方等于a，对应表达式是x²=a，结合定义内容直接填空即可。
【解析】
根据算术平方根的标准定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就叫作a的算术平方根。因此第一个空填“正数”，第二个空填$x^2=a$。
【答案】
正数；$x^2=a$
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题型，主要考查对核心定义的记忆掌握程度，熟记基础概念就能快速正确作答。
【难度系数】
0.9

当$a ≥ 0$时，$\sqrt{a^2} =$ ，$(\sqrt{a})^2 =$ ；
当$a ＜ 0$时，$\sqrt{a^2} =$ 。

a；a；$-a$

【分析】
解题前先回忆算术平方根的核心特点：算术平方根的结果一定是非负数（大于等于0）。我们分两种情况推导：
① 当a≥0时：先看$\sqrt{a^2}$，它是$a^2$的算术平方根，此时a本身就是非负数，所以开方结果就是a；再看$(\sqrt{a})^2$，要让$\sqrt{a}$有意义，必须满足a≥0，对算术平方根再平方，结果就是原来的被开方数a。
② 当a＜0时：$\sqrt{a^2}$的结果必须是非负的，但a是负数，所以结果应该是a的相反数，也就是$-a$。
【解析】
我们根据算术平方根的非负性分情况计算：
1. 当$a≥0$时：
$\sqrt{a^2}$表示求$a^2$的算术平方根，因为a是非负数，所以$\sqrt{a^2}=a$；
$\sqrt{a}$有意义的前提是$a≥0$，对$\sqrt{a}$进行平方运算，得到$(\sqrt{a})^2=a$；
2. 当$a＜0$时：
$\sqrt{a^2}$的结果必须是非负数，而a此时是负数，所以$\sqrt{a^2}$等于a的相反数，即$\sqrt{a^2}=-a$。
【答案】
a；a；$-a$
【知识点】
算术平方根的非负性；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的相关性质，解题时要注意$\sqrt{a^2}$的化简需要结合a的正负性判断结果，避免和$(\sqrt{a})^2$的化简混淆。
【难度系数】
0.8

例1 求下列各数的算术平方根：
(1)$400$；(2)$4$；(3)$\frac{36}{49}$；(4)$\sqrt{256}$。
[点拨] 因为求一个非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算求这些数的算术平方根。
[解] (1)因为$20^2=400$，
所以$400$的算术平方根是$20$，
即$\sqrt{400}=20$。
(2)因为$2^2=4$，
所以$4$的算术平方根是$2$，
即$\sqrt{4}=2$。
(3)因为$(\frac{6}{7})^2=\frac{36}{49}$，
所以$\frac{36}{49}$的算术平方根是$\frac{6}{7}$，
即$\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{6}{7}$。
(4)因为$4^2=16=\sqrt{256}$，
所以$\sqrt{256}$的算术平方根是$4$。

解：
(1) 因为$20^2=400$，
所以400的算术平方根是20，
即$\sqrt{400}=20$。
(2) 因为$2^2=4$，
所以4的算术平方根是2，
即$\sqrt{4}=2$。
(3) 因为$(\frac{6}{7})^2=\frac{36}{49}$，
所以$\frac{36}{49}$的算术平方根是$\frac{6}{7}$，
即$\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{6}{7}$。
(4) 先计算得$\sqrt{256}=16$，又因为$4^2=16$，
所以$\sqrt{256}$的算术平方根是4。

【分析】
解题需依据算术平方根的定义：若正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x就是a的算术平方根。由于求算术平方根的运算与平方运算是互逆运算，因此我们可以通过寻找平方等于对应数的非负整数或分数，得到该数的算术平方根。注意第(4)小题需要先计算$\sqrt{256}$的结果为16，再求16的算术平方根，不可直接对256求算术平方根。
【解析】
(1) 因为$20^2=400$，所以400的算术平方根是20，即$\sqrt{400}=20$。
(2) 因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2，即$\sqrt{4}=2$。
(3) 因为$(\frac{6}{7})^2=\frac{36}{49}$，所以$\frac{36}{49}$的算术平方根是$\frac{6}{7}$，即$\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{6}{7}$。
(4) 先计算得$\sqrt{256}=16$，又因为$4^2=16$，所以$\sqrt{256}$的算术平方根是4。
【答案】
(1)$20$；(2)$2$；(3)$\frac{6}{7}$；(4)$4$
【知识点】
算术平方根的概念；平方与开平方互逆
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，核心是理解算术平方根的非负性，掌握平方和开平方的互逆运算关系即可解题。第(4)小题设置了小陷阱，需注意先化简内层的根号再求算术平方根，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.8