9. 在平面直角坐标系中作出下列各点：
$A(-3,2),B(0,-4),C(5,-3),D(0,3),$
并求四边形$ABCD$的面积。

9. 解:如图所示。

因为$A(-3,2),C(5,-3)$，
所以点 A 到 BD 的距离为 3，点 C 到 BD 的距离为 5。
因为$B(0,-4),D(0,3)$，
所以$BD=7$，
所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△CBD}=\frac{1}{2}×BD×3+\frac{1}{2}×BD×5=\frac{1}{2}×(3+5)×7=28$。

【分析】
首先观察四个点的坐标特征，发现B、D两点都在y轴上，因此可以将不规则的四边形ABCD分割为△ABD和△CBD两个共底的三角形。接下来只需先计算公共底BD的长度，再分别求出点A、点C到BD（即y轴）的距离作为两个三角形对应底边上的高，最后分别计算两个三角形的面积相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
首先在平面直角坐标系中标出$A(-3,2),B(0,-4),C(5,-3),D(0,3)$四个点，如图所示：
1. 计算BD的长度：因为B、D都在y轴上，纵坐标分别为-4和3，因此$BD=|3-(-4)|=7$。
2. 求两个三角形的高：BD在y轴上，点A到y轴的距离为A点横坐标的绝对值，即$|-3|=3$，为△ABD中BD边上的高；点C到y轴的距离为C点横坐标的绝对值，即$|5|=5$，为△CBD中BD边上的高。
3. 计算总面积：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△CBD}$
$=\frac{1}{2}×BD×3+\frac{1}{2}×BD×5$
$=\frac{1}{2}×7×(3+5)$
$=28$
【答案】
，四边形ABCD的面积为28。
【知识点】
坐标与图形性质，割补法求面积，三角形面积计算
【点评】
本题利用分割法将不规则四边形转化为两个同底的三角形求解，大幅简化了计算过程，解题核心是抓住在坐标轴上的线段作为公共底，结合坐标的几何意义快速求高，是坐标系内求解多边形面积的典型常用方法。
【难度系数】
0.7

10.如图,已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别是$A(1,0),B(-2,3),C(-3,0)$。
(1)求$△ ABC$的面积;
(2)若点$A,C$的位置不变,则当点$P$在$y$轴上什么位置时,$S_{△ ACP}=2S_{△ ABC}$?

10. 解:(1)因为$A(1,0),B(-2,3),C(-3,0)$，
所以$AC=1-(-3)=1+3=4$，
点 B 到 AC 的距离为 3，
所以$△ABC$的面积$=\frac{1}{2}×4×3=6$。
(2)设点 P 的坐标为$(0,m)$。
因为$S_{△ACP}=2S_{△ABC}$，
所以$\frac{1}{2}×4×|m|=2×6$，
解得$m=±6$，
所以当点 P 的坐标为$(0,6)$或$(0,-6)$时，$S_{△ACP}=2S_{△ABC}$。

【分析】
(1) 首先观察点A、C的坐标特征，二者都在x轴上，因此AC的长度可通过两点横坐标的差直接计算；点B到AC所在的x轴的距离就是点B纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式就能求出△ABC的面积。
(2) 点A、C位置不变则AC长度不变，点P在y轴上时，它到AC（x轴）的距离等于点P纵坐标的绝对值，根据“△ACP面积是△ABC面积的2倍”的等量关系列方程，注意绝对值有正负两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 已知$A(1,0)$，$C(-3,0)$，两点均在x轴上
$\therefore AC = 1 - (-3) = 4$
点$B(-2,3)$到x轴（AC所在直线）的距离为3
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × \mathrm{点B到AC的距离} = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$
(2) 设点P的坐标为$(0,m)$
AC长度仍为4，点P到x轴的距离为$|m|$
由题意得$S_{△ ACP}=2S_{△ ABC}=2 × 6=12$
代入面积公式得：$\frac{1}{2} × 4 × |m| = 12$
化简得$2|m|=12$，即$|m|=6$
解得$m=6$或$m=-6$
即点P的坐标为$(0,6)$或$(0,-6)$
【答案】
(1) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(2) 当点P坐标为$\boldsymbol{(0,6)}$或$\boldsymbol{(0,-6)}$时，$S_{△ ACP}=2S_{△ ABC}$。
【知识点】
坐标与图形性质；三角形面积计算；绝对值运算
【点评】
本题的解题关键是明确x轴上两点的距离计算方法，以及点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，求解第二问时要注意绝对值的双解性，避免遗漏纵坐标为负的情况。
【难度系数】
0.7

1.关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标，纵坐标；反过来，横坐标、纵坐标的两个点关于x轴对称。

1. 相同 互为相反数 相同 互为相反数

【分析】
我们可以结合平面直角坐标系的对称特点思考：关于x轴对称的含义是沿x轴折叠后两个点能够重合。折叠时点的水平位置（对应横坐标）不会变化，而竖直位置（对应纵坐标）会上下翻转，到x轴的距离不变、符号相反，也就是互为相反数。反过来推导，只要两个点满足横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征，就符合关于x轴对称的要求。
【解析】
在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，沿x轴折叠后两点重合，此时两点的水平位置一致，因此横坐标相同；两点在竖直方向上分别位于x轴两侧，到x轴的距离相等，因此纵坐标互为相反数。反过来，若两个点横坐标相同、纵坐标互为相反数，说明沿x轴折叠后两点能够重合，即这两个点关于x轴对称。
【答案】
相同 互为相反数 相同 互为相反数
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对关于x轴对称的坐标规律的理解与识记，掌握该规律是解决坐标系中对称变换相关问题的基础。
【难度系数】
0.9