登录
知识点一 因式分解的定义
把一个
把一个
多项式
化成几个整式
积的形式，这种变形叫作因式分解。因式分解也可称为分解因式
。答案
知识点一 多项式 几个整式 分解因式
解析
【分析】
这道题属于概念识记类题目，考查因式分解的基础定义。解题时只需回忆教材中对因式分解的标准表述即可：首先明确因式分解的处理对象是多项式，变形后的结果是几个整式的乘积形式，同时因式分解还有另一个常用名称，对应空缺依次填入记忆的内容即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，因式分解也可称为分解因式。因此三个空缺依次对应填入内容即可。
【答案】
多项式；几个整式；分解因式
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对因式分解核心定义要素的记忆考核，掌握基础概念即可快速作答，是学习因式分解相关内容的入门必备题型。
【难度系数】
0.9
这道题属于概念识记类题目，考查因式分解的基础定义。解题时只需回忆教材中对因式分解的标准表述即可：首先明确因式分解的处理对象是多项式，变形后的结果是几个整式的乘积形式，同时因式分解还有另一个常用名称，对应空缺依次填入记忆的内容即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，因式分解也可称为分解因式。因此三个空缺依次对应填入内容即可。
【答案】
多项式；几个整式；分解因式
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对因式分解核心定义要素的记忆考核，掌握基础概念即可快速作答，是学习因式分解相关内容的入门必备题型。
【难度系数】
0.9
知识点二 因式分解与整式乘法的互逆关系
多项式 $\xrightleftharpoons[(\quad)]{(\quad)}$ 整式乘积。
多项式 $\xrightleftharpoons[(\quad)]{(\quad)}$ 整式乘积。
答案
知识点二 因式分解 整式乘法
解析
【分析】
首先明确题目考查的是因式分解与整式乘法的互逆关系，我们可以从两个变形的定义入手思考：第一步回忆什么变形是将多项式转化为整式乘积的形式，第二步回忆什么变形是将整式乘积转化为多项式的形式，对应双向箭头的两个方向填空即可。
【解析】
1. 先明确两个变形的定义：
① 因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，该变形是从多项式指向整式乘积，对应正向箭头的空位。
② 整式乘法：将几个整式相乘，运算后得到一个多项式，该变形是从整式乘积指向多项式，对应反向箭头的空位。
因此两个空从上到下依次为因式分解、整式乘法。
【答案】
知识点二 因式分解 整式乘法
【知识点】
因式分解概念；整式乘法概念；互逆变形关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分因式分解和整式乘法的过程，明确二者的互逆性即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先明确题目考查的是因式分解与整式乘法的互逆关系，我们可以从两个变形的定义入手思考：第一步回忆什么变形是将多项式转化为整式乘积的形式，第二步回忆什么变形是将整式乘积转化为多项式的形式，对应双向箭头的两个方向填空即可。
【解析】
1. 先明确两个变形的定义：
① 因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，该变形是从多项式指向整式乘积，对应正向箭头的空位。
② 整式乘法：将几个整式相乘，运算后得到一个多项式，该变形是从整式乘积指向多项式，对应反向箭头的空位。
因此两个空从上到下依次为因式分解、整式乘法。
【答案】
知识点二 因式分解 整式乘法
【知识点】
因式分解概念；整式乘法概念；互逆变形关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分因式分解和整式乘法的过程，明确二者的互逆性即可快速解答。
【难度系数】
0.9
例1 若$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，则$mn$的值为()
A.1
B.$-1$
C.$-6$
D.$6$
[点拨] 根据多项式乘多项式法则可得$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$，先求出$m,n$的值，再求出$mn$的值。
[解] $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$。
∵$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，
∴$m=1,n=-6$。
∴$mn=1×(-6)=-6$，故选C。
A.1
B.$-1$
C.$-6$
D.$6$
[点拨] 根据多项式乘多项式法则可得$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$，先求出$m,n$的值，再求出$mn$的值。
[解] $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$。
∵$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，
∴$m=1,n=-6$。
∴$mn=1×(-6)=-6$，故选C。
答案
C
解析
【分析】
题目说明$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，根据因式分解与整式乘法是互逆运算，可知该多项式就等于这两个因式的乘积。我们只需要先将两个因式相乘展开，再和$x^2+mx+n$对比对应项的系数，就能求出$m$、$n$的值，最后代入计算$mn$即可。
【解析】
首先计算两个因式的乘积：
$\begin{aligned}(x-2)(x+3)&=x· x + 3· x -2· x -2×3\\&=x^2+3x-2x-6\\&=x^2+x-6\end{aligned}$
因为$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，所以$x^2+mx+n=x^2+x-6$，
对比等式两边对应项的系数可得：$m=1$，$n=-6$，
因此$mn=1×(-6)=-6$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的意义；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时对应项系数相等求出未知参数，掌握整式乘法的运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
题目说明$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，根据因式分解与整式乘法是互逆运算，可知该多项式就等于这两个因式的乘积。我们只需要先将两个因式相乘展开，再和$x^2+mx+n$对比对应项的系数，就能求出$m$、$n$的值，最后代入计算$mn$即可。
【解析】
首先计算两个因式的乘积：
$\begin{aligned}(x-2)(x+3)&=x· x + 3· x -2· x -2×3\\&=x^2+3x-2x-6\\&=x^2+x-6\end{aligned}$
因为$x-2$和$x+3$是多项式$x^2+mx+n$仅有的两个因式，所以$x^2+mx+n=x^2+x-6$，
对比等式两边对应项的系数可得：$m=1$，$n=-6$，
因此$mn=1×(-6)=-6$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的意义；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时对应项系数相等求出未知参数，掌握整式乘法的运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
|变式训练1| 已知二次三项式 $x^2 -4x +m$ 有一个因式是 $x+3$，求另一个因式及m的值。
答案
解:设另一个因式为 $x+n$,
则 $x^2-4x+m=(x+3)(x+n)$,
$\therefore x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n$。
$\therefore \begin{cases} n+3=-4,\\ m=3n。\end{cases}$
解得 $n=-7,m=-21$。
$\therefore$ 另一个因式为 $x-7,m$ 的值为 $-21$。
则 $x^2-4x+m=(x+3)(x+n)$,
$\therefore x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n$。
$\therefore \begin{cases} n+3=-4,\\ m=3n。\end{cases}$
解得 $n=-7,m=-21$。
$\therefore$ 另一个因式为 $x-7,m$ 的值为 $-21$。
解析
【分析】
已知二次三项式的二次项系数为1，其中一个因式是一次式$x+3$（一次项系数也为1），因此另一个因式也为一次二项式，可设为$x+n$（$n$为常数）。由于因式分解与整式乘法是互逆运算，将两个因式相乘展开后，所得多项式与原二次三项式的对应项系数完全相等，据此列方程组即可求出$n$和$m$的值。
【解析】
解：设另一个因式为$x+n$，
则 $x^2-4x+m=(x+3)(x+n)$，
展开右侧得：$x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n$，
根据多项式相等时对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} n+3=-4\\ m=3n \end{cases}$
解方程组：由$n+3=-4$得$n=-7$，将$n=-7$代入$m=3n$得$m=3×(-7)=-21$。
【答案】
另一个因式为$x-7$，$m$的值为$-21$。
【知识点】
1. 因式分解的意义
2. 多项式乘多项式
3. 待定系数法
【点评】
本题是因式分解相关的基础题型，解题核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系，通过待定系数法结合对应项系数相等建立方程组求解参数，熟练掌握整式乘法运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
已知二次三项式的二次项系数为1，其中一个因式是一次式$x+3$（一次项系数也为1），因此另一个因式也为一次二项式，可设为$x+n$（$n$为常数）。由于因式分解与整式乘法是互逆运算，将两个因式相乘展开后，所得多项式与原二次三项式的对应项系数完全相等，据此列方程组即可求出$n$和$m$的值。
【解析】
解：设另一个因式为$x+n$，
则 $x^2-4x+m=(x+3)(x+n)$，
展开右侧得：$x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n$，
根据多项式相等时对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} n+3=-4\\ m=3n \end{cases}$
解方程组：由$n+3=-4$得$n=-7$，将$n=-7$代入$m=3n$得$m=3×(-7)=-21$。
【答案】
另一个因式为$x-7$，$m$的值为$-21$。
【知识点】
1. 因式分解的意义
2. 多项式乘多项式
3. 待定系数法
【点评】
本题是因式分解相关的基础题型，解题核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系，通过待定系数法结合对应项系数相等建立方程组求解参数，熟练掌握整式乘法运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
例2 若$x^n - y^n$因式分解的结果为$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$，求$n$的值。
[点拨] 因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将因式分解的结果进行乘法运算，得到原多项式。
[解] ∵$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=x^4 - y^4$，
∴$n=4$。
[点拨] 因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将因式分解的结果进行乘法运算，得到原多项式。
[解] ∵$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=x^4 - y^4$，
∴$n=4$。
答案
解：
∵ $(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
$=(x^2 + y^2)·[(x + y)(x - y)]$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=x^4 - y^4$，
又∵ $x^n - y^n = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y) = x^4 - y^4$，
∴ $n=4$。
∵ $(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
$=(x^2 + y^2)·[(x + y)(x - y)]$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=x^4 - y^4$，
又∵ $x^n - y^n = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y) = x^4 - y^4$，
∴ $n=4$。
解析
【分析】
解题时可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系，将因式分解得到的几个整式相乘，还原得到原多项式，再通过对比原多项式的形式确定n的值。思考步骤：首先观察相乘的三个整式中，(x+y)(x-y)符合平方差公式的结构特征，优先计算这两个整式的乘积可以简化运算，再将计算结果与(x²+y²)继续用平方差公式相乘，最终得到化简后的多项式，和$x^n - y^n$对比即可得到n的取值。
【解析】
∵ $(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
$=(x^2 + y^2)·[(x + y)(x - y)]$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=x^4 - y^4$，
又
∵ $x^n - y^n = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y) = x^4 - y^4$，
∴ $n=4$。
【答案】
$n=4$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 平方差公式
【点评】
本题侧重对基础运算关系和公式的考查，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用因式分解和整式乘法的互逆关系转化问题，计算时优先合并符合公式特征的整式运算，能有效降低计算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系，将因式分解得到的几个整式相乘，还原得到原多项式，再通过对比原多项式的形式确定n的值。思考步骤：首先观察相乘的三个整式中，(x+y)(x-y)符合平方差公式的结构特征，优先计算这两个整式的乘积可以简化运算，再将计算结果与(x²+y²)继续用平方差公式相乘，最终得到化简后的多项式，和$x^n - y^n$对比即可得到n的取值。
【解析】
∵ $(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
$=(x^2 + y^2)·[(x + y)(x - y)]$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=x^4 - y^4$，
又
∵ $x^n - y^n = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y) = x^4 - y^4$，
∴ $n=4$。
【答案】
$n=4$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 平方差公式
【点评】
本题侧重对基础运算关系和公式的考查，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用因式分解和整式乘法的互逆关系转化问题，计算时优先合并符合公式特征的整式运算，能有效降低计算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 分解因式$x^2 + ax + b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果是$(x-3)(x+2)$；乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x-2)(x-3)$。那么因式$x^2 + ax + b$中$a$，$b$的值分别是多少？
答案
解:$\because$ 分解因式 $x^2+ax+b$,甲看错了 $a$ 的值,分解的结果是 $(x-3)(x+2)$,
且 $(x-3)(x+2)=x^2-x-6$,
$\therefore b=-6$。
$\because$ 乙看错了 $b$ 的值,分解的结果是 $(x-2)(x-3)$,
且 $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$,
$\therefore a=-5$。
且 $(x-3)(x+2)=x^2-x-6$,
$\therefore b=-6$。
$\because$ 乙看错了 $b$ 的值,分解的结果是 $(x-2)(x-3)$,
且 $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$,
$\therefore a=-5$。
解析
【分析】
解题时要利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系思考：甲仅看错$a$的值，说明他分解得到的结果展开后，常数项$b$是正确的；乙仅看错$b$的值，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数$a$是正确的。我们只需分别将两人的分解结果按整式乘法展开，提取对应的正确系数即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
$\because$ 分解因式 $x^2+ax+b$时，甲看错了 $a$ 的值，分解的结果是 $(x-3)(x+2)$，
将$(x-3)(x+2)$展开得：$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$，
$\therefore$ 甲没有看错常数项，即 $b=-6$；
$\because$ 乙看错了 $b$ 的值，分解的结果是 $(x-2)(x-3)$，
将$(x-2)(x-3)$展开得：$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，
$\therefore$ 乙没有看错一次项系数，即 $a=-5$。
【答案】
$a=-5$，$b=-6$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式对应系数相等
【点评】
本题重点考查对因式分解和整式乘法关系的应用，核心是明确“看错某一系数时另一系数为正确值”这一隐含条件，是因式分解部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时要利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系思考：甲仅看错$a$的值，说明他分解得到的结果展开后，常数项$b$是正确的；乙仅看错$b$的值，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数$a$是正确的。我们只需分别将两人的分解结果按整式乘法展开，提取对应的正确系数即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
$\because$ 分解因式 $x^2+ax+b$时，甲看错了 $a$ 的值，分解的结果是 $(x-3)(x+2)$，
将$(x-3)(x+2)$展开得：$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$，
$\therefore$ 甲没有看错常数项，即 $b=-6$；
$\because$ 乙看错了 $b$ 的值，分解的结果是 $(x-2)(x-3)$，
将$(x-2)(x-3)$展开得：$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，
$\therefore$ 乙没有看错一次项系数，即 $a=-5$。
【答案】
$a=-5$，$b=-6$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式对应系数相等
【点评】
本题重点考查对因式分解和整式乘法关系的应用，核心是明确“看错某一系数时另一系数为正确值”这一隐含条件，是因式分解部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
