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一、观察所摆图形的个数和小棒根数之间的关系，完成下面各题。
1. 下面谁的想法正确？在相应的括号里画“√”。
2. 照这样摆，摆12个正八边形一共要用多少根小棒？
3. 照这样摆，用155根小棒可以摆出多少个正八边形？
1. 下面谁的想法正确？在相应的括号里画“√”。
2. 照这样摆，摆12个正八边形一共要用多少根小棒？
3. 照这样摆，用155根小棒可以摆出多少个正八边形？
答案
1. 小书√
2. 7n+1=7×12+1=85(根)
3. 7n+1=155 n=(155-1)÷7=22(个)
2. 7n+1=7×12+1=85(根)
3. 7n+1=155 n=(155-1)÷7=22(个)
解析
【分析】
我们先探究摆正八边形的小棒数量规律：摆1个正八边形需要8根小棒，每多摆1个正八边形，就会和前一个共用1条边，所以只需要额外加7根小棒。由此可推出摆n个正八边形的小棒总根数公式为：总根数=7n+1（n为正八边形个数）。
第1题只需判断谁的想法符合上述规律即可；第2题求摆12个正八边形的小棒数，直接把n=12代入公式正向计算即可；第3题已知小棒总根数，把数值代入公式后，通过逆推或者解简易方程就能求出正八边形的个数。
【解析】
1. 推导得出的摆n个正八边形的小棒根数规律为7n+1，和小书的想法一致，因此小书的想法正确。
2. 当正八边形个数n=12时，代入规律公式计算：
7×12+1
=84+1
=85（根）
3. 设155根小棒可以摆出n个正八边形，代入规律公式得：
7n+1=155
7n=155-1
7n=154
n=154÷7=22（个）
【答案】
1. 小书√
2. 85根
3. 22个
【知识点】
图形规律探究，简易方程应用
【点评】
本题结合图形摆放场景出题，既考查学生从具体实例中归纳通用规律的能力，也考查规律的正向代入计算和反向推导求解能力，有助于锻炼逻辑推理思维。
【难度系数】
0.7
我们先探究摆正八边形的小棒数量规律：摆1个正八边形需要8根小棒，每多摆1个正八边形，就会和前一个共用1条边，所以只需要额外加7根小棒。由此可推出摆n个正八边形的小棒总根数公式为：总根数=7n+1（n为正八边形个数）。
第1题只需判断谁的想法符合上述规律即可；第2题求摆12个正八边形的小棒数，直接把n=12代入公式正向计算即可；第3题已知小棒总根数，把数值代入公式后，通过逆推或者解简易方程就能求出正八边形的个数。
【解析】
1. 推导得出的摆n个正八边形的小棒根数规律为7n+1，和小书的想法一致，因此小书的想法正确。
2. 当正八边形个数n=12时，代入规律公式计算：
7×12+1
=84+1
=85（根）
3. 设155根小棒可以摆出n个正八边形，代入规律公式得：
7n+1=155
7n=155-1
7n=154
n=154÷7=22（个）
【答案】
1. 小书√
2. 85根
3. 22个
【知识点】
图形规律探究，简易方程应用
【点评】
本题结合图形摆放场景出题，既考查学生从具体实例中归纳通用规律的能力，也考查规律的正向代入计算和反向推导求解能力，有助于锻炼逻辑推理思维。
【难度系数】
0.7
二、想一想，摆一摆，填一填。
| 第几个图形 | 1 | 2 | 3 | … | | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形个数 | | |
| … | 113 | … | |
| 第几个图形 | 1 | 2 | 3 | … | | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形个数 | | |
| … | 113 | … | |答案
5 8 11 37 3n+2
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路分三步：第一步先统计前3个图形的三角形个数，观察相邻两个数的差，找到数量变化的规律；第二步根据前几个数的规律，推导出第n个图形的三角形个数的通用表达式；第三步将三角形个数113代入通用表达式，求出对应的图形序号即可。
【解析】
1. 填写前3个图形的三角形个数：
观察可得第1个图形三角形个数是5；
第2个图形比第1个多3个，数量为$5+3=8$；
第3个图形比第2个多3个，数量为$8+3=11$。
2. 推导第n个图形的三角形个数规律：
第1个：$5=3×1+2$
第2个：$8=3×2+2$
第3个：$11=3×3+2$
以此类推，第n个图形的三角形个数为$3n+2$。
3. 求三角形个数为113时对应的图形序号：
令$3n+2=113$，
解方程得：$3n=113-2=111$，$n=111÷3=37$。
【答案】
5；8；11；37；$3n+2$
【知识点】
图形规律探究；用字母表示数；简易方程应用
【点评】
本题侧重考查规律归纳与应用能力，需要从已知数据中找到固定的变化差值，进而总结通用公式，再结合方程求解对应数值，是规律类问题的常考题型，掌握该方法可迁移解决同类数列或图形规律问题。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题思路分三步：第一步先统计前3个图形的三角形个数，观察相邻两个数的差，找到数量变化的规律；第二步根据前几个数的规律，推导出第n个图形的三角形个数的通用表达式；第三步将三角形个数113代入通用表达式，求出对应的图形序号即可。
【解析】
1. 填写前3个图形的三角形个数：
观察可得第1个图形三角形个数是5；
第2个图形比第1个多3个，数量为$5+3=8$；
第3个图形比第2个多3个，数量为$8+3=11$。
2. 推导第n个图形的三角形个数规律：
第1个：$5=3×1+2$
第2个：$8=3×2+2$
第3个：$11=3×3+2$
以此类推，第n个图形的三角形个数为$3n+2$。
3. 求三角形个数为113时对应的图形序号：
令$3n+2=113$，
解方程得：$3n=113-2=111$，$n=111÷3=37$。
【答案】
5；8；11；37；$3n+2$
【知识点】
图形规律探究；用字母表示数；简易方程应用
【点评】
本题侧重考查规律归纳与应用能力，需要从已知数据中找到固定的变化差值，进而总结通用公式，再结合方程求解对应数值，是规律类问题的常考题型，掌握该方法可迁移解决同类数列或图形规律问题。
【难度系数】
0.7
三、【思维拓展】同一平面内，2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点。想一想，5条直线最多有几个交点？按规律完成下表。
直线条数 2 3 4 5 …
交点个数 1 3
… 45
直线条数 2 3 4 5 …
交点个数 1 3
… 45答案
10 10
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且没有三条及以上直线交于同一点。我们先从已知的直线条数和对应交点数找规律：每新增1条直线，要让交点最多，这条新直线就要和之前所有的直线都相交，新增的交点数等于之前的直线条数。所以n条直线的最多交点数，就是从1开始连续加到(n-1)的和。我们用这个规律就可以分别算出5条直线的最多交点数，以及交点数为45时对应的直线条数。
【解析】
首先观察已知数据推导规律：
2条直线最多交点：$1=1$
3条直线最多交点：$1+2=3$
4条直线最多交点：$1+2+3=6$
可得规律：$n$条直线最多有$1+2+3+\dots+(n-1)$个交点。
1. 计算5条直线的最多交点数：
$1+2+3+4=10$（个）
2. 计算交点数为45时的直线条数：
因为$1+2+3+\dots+9=45$，相加的最后一个数是9，说明直线条数是$9+1=10$条。
【答案】
10；10
【知识点】
直线相交规律；找规律计算；等差数列求和
【点评】
本题需要先理解最多交点的成立条件，再通过已知数据归纳出通用规律，最后运用规律求解未知量，能有效锻炼归纳推理能力和规律应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且没有三条及以上直线交于同一点。我们先从已知的直线条数和对应交点数找规律：每新增1条直线，要让交点最多，这条新直线就要和之前所有的直线都相交，新增的交点数等于之前的直线条数。所以n条直线的最多交点数，就是从1开始连续加到(n-1)的和。我们用这个规律就可以分别算出5条直线的最多交点数，以及交点数为45时对应的直线条数。
【解析】
首先观察已知数据推导规律：
2条直线最多交点：$1=1$
3条直线最多交点：$1+2=3$
4条直线最多交点：$1+2+3=6$
可得规律：$n$条直线最多有$1+2+3+\dots+(n-1)$个交点。
1. 计算5条直线的最多交点数：
$1+2+3+4=10$（个）
2. 计算交点数为45时的直线条数：
因为$1+2+3+\dots+9=45$，相加的最后一个数是9，说明直线条数是$9+1=10$条。
【答案】
10；10
【知识点】
直线相交规律；找规律计算；等差数列求和
【点评】
本题需要先理解最多交点的成立条件，再通过已知数据归纳出通用规律，最后运用规律求解未知量，能有效锻炼归纳推理能力和规律应用能力。
【难度系数】
0.7
