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3.已知$x=-4,x=0,x=4$,其中是方程$\frac{x}{2}=-\frac{x}{4}+3$的解的是
$x=4$
.答案
3.$x=4$
解析
【分析】
要判断给定的数值是不是方程的解，有两种常见思路：一是根据方程解的定义，将每个x的值分别代入方程的左右两边，若两边计算结果相等，则该值是方程的解；二是直接解这个一元一次方程，将得到的解与给出的数值对比即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：代入检验法
① 把$x=-4$代入方程：
左边$=\frac{-4}{2}=-2$，右边$=-\frac{-4}{4}+3=1+3=4$，左边≠右边，所以$x=-4$不是方程的解；
② 把$x=0$代入方程：
左边$=\frac{0}{2}=0$，右边$=-\frac{0}{4}+3=0+3=3$，左边≠右边，所以$x=0$不是方程的解；
③ 把$x=4$代入方程：
左边$=\frac{4}{2}=2$，右边$=-\frac{4}{4}+3=-1+3=2$，左边=右边，所以$x=4$是方程的解。
方法二：直接解方程
$\frac{x}{2}=-\frac{x}{4}+3$
去分母，两边同时乘4，得：$2x=-x+12$
移项，得：$2x+x=12$
合并同类项，得：$3x=12$
系数化为1，得：$x=4$
对比给定的三个值，可知$x=4$是方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查对方程解的概念的理解，以及一元一次方程的基础运算能力，熟练掌握代入检验或解方程的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断给定的数值是不是方程的解，有两种常见思路：一是根据方程解的定义，将每个x的值分别代入方程的左右两边，若两边计算结果相等，则该值是方程的解；二是直接解这个一元一次方程，将得到的解与给出的数值对比即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：代入检验法
① 把$x=-4$代入方程：
左边$=\frac{-4}{2}=-2$，右边$=-\frac{-4}{4}+3=1+3=4$，左边≠右边，所以$x=-4$不是方程的解；
② 把$x=0$代入方程：
左边$=\frac{0}{2}=0$，右边$=-\frac{0}{4}+3=0+3=3$，左边≠右边，所以$x=0$不是方程的解；
③ 把$x=4$代入方程：
左边$=\frac{4}{2}=2$，右边$=-\frac{4}{4}+3=-1+3=2$，左边=右边，所以$x=4$是方程的解。
方法二：直接解方程
$\frac{x}{2}=-\frac{x}{4}+3$
去分母，两边同时乘4，得：$2x=-x+12$
移项，得：$2x+x=12$
合并同类项，得：$3x=12$
系数化为1，得：$x=4$
对比给定的三个值，可知$x=4$是方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查对方程解的概念的理解，以及一元一次方程的基础运算能力，熟练掌握代入检验或解方程的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.检验下列各方程后面括号里的数是不是对应方程的解.
(1)$3y - 1 = 2y + 1(y = 2, y = 4)$;
(2)$3(x + 1) = 2x - 1(x = 2, x = -4)$.
(1)$3y - 1 = 2y + 1(y = 2, y = 4)$;
(2)$3(x + 1) = 2x - 1(x = 2, x = -4)$.
答案
(1)$y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解.$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解.
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
解析
【分析】
检验一个数是不是方程的解的核心方法是代入验证法：首先将待检验的数分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果，若左边计算结果等于右边计算结果，则这个数是对应方程的解；若两边结果不相等，则不是方程的解。我们只需要对每个括号里的数依次按这个步骤验证即可。
【解析】
(1) 检验$y=2$：
将$y=2$代入方程左边：$3×2 -1=6-1=5$
将$y=2$代入方程右边：$2×2 +1=4+1=5$
$\because$左边$=$右边，$\therefore y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解。
检验$y=4$：
将$y=4$代入方程左边：$3×4 -1=12-1=11$
将$y=4$代入方程右边：$2×4 +1=8+1=9$
$\because$左边$≠$右边，$\therefore y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解。
(2) 检验$x=2$：
将$x=2$代入方程左边：$3×(2+1)=3×3=9$
将$x=2$代入方程右边：$2×2 -1=4-1=3$
$\because$左边$≠$右边，$\therefore x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
检验$x=-4$：
将$x=-4$代入方程左边：$3×(-4+1)=3×(-3)=-9$
将$x=-4$代入方程右边：$2×(-4) -1=-8-1=-9$
$\because$左边$=$右边，$\therefore x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
【答案】
(1)$y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解.$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解.
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
【知识点】
方程的解的检验；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，考查检验方程解的常规方法，按照“代入求值→比较左右两边结果→判断是否为解”的步骤操作即可，解题时注意计算要准确，尤其是负数运算不要出错。
【难度系数】
0.9
检验一个数是不是方程的解的核心方法是代入验证法：首先将待检验的数分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果，若左边计算结果等于右边计算结果，则这个数是对应方程的解；若两边结果不相等，则不是方程的解。我们只需要对每个括号里的数依次按这个步骤验证即可。
【解析】
(1) 检验$y=2$：
将$y=2$代入方程左边：$3×2 -1=6-1=5$
将$y=2$代入方程右边：$2×2 +1=4+1=5$
$\because$左边$=$右边，$\therefore y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解。
检验$y=4$：
将$y=4$代入方程左边：$3×4 -1=12-1=11$
将$y=4$代入方程右边：$2×4 +1=8+1=9$
$\because$左边$≠$右边，$\therefore y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解。
(2) 检验$x=2$：
将$x=2$代入方程左边：$3×(2+1)=3×3=9$
将$x=2$代入方程右边：$2×2 -1=4-1=3$
$\because$左边$≠$右边，$\therefore x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
检验$x=-4$：
将$x=-4$代入方程左边：$3×(-4+1)=3×(-3)=-9$
将$x=-4$代入方程右边：$2×(-4) -1=-8-1=-9$
$\because$左边$=$右边，$\therefore x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解。
【答案】
(1)$y=2$是方程$3y-1=2y+1$的解.$y=4$不是方程$3y-1=2y+1$的解.
(2)$x=2$不是方程$3(x+1)=2x-1$的解.$x=-4$是方程$3(x+1)=2x-1$的解.
【知识点】
方程的解的检验；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，考查检验方程解的常规方法，按照“代入求值→比较左右两边结果→判断是否为解”的步骤操作即可，解题时注意计算要准确，尤其是负数运算不要出错。
【难度系数】
0.9
【例3】把一些小礼物分给几名小朋友,如果每人分5个,那么还剩2个;如果每人分6个,那么还缺3个.一共有几名小朋友?设一共有x名小朋友,请列出方程.(只列出方程,不解方程)
解:
|一题多变|
(改变结论)条件不变,求一共有多少个小礼物.设一共有y个小礼物,请列出方程.(只列出方程,不解方程)
【规律方法】
列方程解决实际问题的步骤
(1)设:设未知数要恰当,分直接设和间接设,直接设就是问什么设什么,间接设就是设中间量.
(2)找:找出能反映题意的相等关系.
(3)列:列方程,把问题中的相关的量用式子表示出来,并根据相等关系列出方程.
解:
|一题多变|
(改变结论)条件不变,求一共有多少个小礼物.设一共有y个小礼物,请列出方程.(只列出方程,不解方程)
【规律方法】
列方程解决实际问题的步骤
(1)设:设未知数要恰当,分直接设和间接设,直接设就是问什么设什么,间接设就是设中间量.
(2)找:找出能反映题意的相等关系.
(3)列:列方程,把问题中的相关的量用式子表示出来,并根据相等关系列出方程.
答案
【例3】解:因为小朋友的人数为x,所以小礼物的总个数是$5x+2$或$6x-3$.根据“两种情况下小礼物的数量相等”,得$5x+2=6x-3$.
一题多变解:因为一共有y个小礼物,所以小朋友的人数为$\frac{y-2}{5}$或$\frac{y+3}{6}$.根据“两种情况下小朋友的人数相等”,得$\frac{y-2}{5}=\frac{y+3}{6}$.
一题多变解:因为一共有y个小礼物,所以小朋友的人数为$\frac{y-2}{5}$或$\frac{y+3}{6}$.根据“两种情况下小朋友的人数相等”,得$\frac{y-2}{5}=\frac{y+3}{6}$.
解析
【分析】
解答这两个列方程问题的核心是找到题目中的不变量作为等量关系：
例3设小朋友人数为x，此时小礼物的总数量是固定不变的，我们可以分别用两种分礼物的方式表示出总礼物数，让两个式子相等就能列出方程。
一题多变设小礼物总数量为y，此时小朋友的人数是固定不变的，我们可以分别用两种分礼物的方式表示出小朋友的人数，让两个式子相等就能列出方程。
【解析】
【例3】解：已知共有x名小朋友，
按第一种分法：每人分5个剩2个，礼物总个数可表示为$5x+2$；
按第二种分法：每人分6个缺3个，礼物总个数可表示为$6x-3$；
由于两种分法的礼物总个数相等，因此列方程。
一题多变解：已知共有y个小礼物，
按第一种分法：每人分5个剩2个，小朋友人数可表示为$\frac{y-2}{5}$；
按第二种分法：每人分6个缺3个，小朋友人数可表示为$\frac{y+3}{6}$；
由于两种分法的小朋友人数相等，因此列方程。
【答案】
例3：$\boxed{5x+2=6x-3}$；一题多变：$\boxed{\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{y+3}{6}}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，关键是找准题目中的不变量作为列方程的依据，同时要掌握直接设元和间接设元时对应数量的表示方法，理清数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解答这两个列方程问题的核心是找到题目中的不变量作为等量关系：
例3设小朋友人数为x，此时小礼物的总数量是固定不变的，我们可以分别用两种分礼物的方式表示出总礼物数，让两个式子相等就能列出方程。
一题多变设小礼物总数量为y，此时小朋友的人数是固定不变的，我们可以分别用两种分礼物的方式表示出小朋友的人数，让两个式子相等就能列出方程。
【解析】
【例3】解：已知共有x名小朋友，
按第一种分法：每人分5个剩2个，礼物总个数可表示为$5x+2$；
按第二种分法：每人分6个缺3个，礼物总个数可表示为$6x-3$；
由于两种分法的礼物总个数相等，因此列方程。
一题多变解：已知共有y个小礼物，
按第一种分法：每人分5个剩2个，小朋友人数可表示为$\frac{y-2}{5}$；
按第二种分法：每人分6个缺3个，小朋友人数可表示为$\frac{y+3}{6}$；
由于两种分法的小朋友人数相等，因此列方程。
【答案】
例3：$\boxed{5x+2=6x-3}$；一题多变：$\boxed{\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{y+3}{6}}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，关键是找准题目中的不变量作为列方程的依据，同时要掌握直接设元和间接设元时对应数量的表示方法，理清数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5.(传统文化)古代名著《孙子算经》中有一问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问:人与车各几何?大意为如果每三人共乘一辆车,那么有两辆空车;如果每两人共乘一辆车,那么有九人需要步行.问:人和车的数量各是多少?设车的数量为x辆,则根据题意,可列出方程为 (
A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x+2)=2x+9$
C.$3(x-2)=2x-9$
D.$3(x-2)=2x+9$
D
)A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x+2)=2x+9$
C.$3(x-2)=2x-9$
D.$3(x-2)=2x+9$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查根据实际问题列一元一次方程，解题核心是抓住总人数不变这一等量关系。我们需要分别用含车的数量x的式子表示出两种乘车方案下的总人数，再令两个式子相等即可得到方程。首先分析第一种乘车方案：每3人共乘一辆车，有2辆空车，说明实际参与载人的车数量是总车数减去空车数，即(x-2)辆，总人数=每车人数×载人车辆数，也就是3(x-2)。再分析第二种乘车方案：每2人共乘一辆车，有9人步行，说明总人数=坐车人数+步行人数，坐车人数是2x，加上步行的9人，总人数为2x+9。由于总人数固定，两个式子相等即可列出方程。
【解析】
解：设车的数量为x辆。
1. 计算第一种乘车方案的总人数：已知有2辆空车，实际载人的车有(x-2)辆，每车坐3人，因此总人数为$\boldsymbol{3(x-2)}$人。
2. 计算第二种乘车方案的总人数：每车坐2人，坐车人数为2x人，加上步行的9人，因此总人数为$\boldsymbol{2x+9}$人。
3. 两种方案的总人数相等，因此可列方程：$3(x-2)=2x+9$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 找等量关系列方程
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了列方程的核心能力，也引导学生了解古代数学成就。解题时只要抓住总人数不变的核心等量关系，准确翻译两种乘车场景的数量关系即可正确作答，注意不要混淆空车对应的加减运算。
【难度系数】
0.7
本题考查根据实际问题列一元一次方程，解题核心是抓住总人数不变这一等量关系。我们需要分别用含车的数量x的式子表示出两种乘车方案下的总人数，再令两个式子相等即可得到方程。首先分析第一种乘车方案：每3人共乘一辆车，有2辆空车，说明实际参与载人的车数量是总车数减去空车数，即(x-2)辆，总人数=每车人数×载人车辆数，也就是3(x-2)。再分析第二种乘车方案：每2人共乘一辆车，有9人步行，说明总人数=坐车人数+步行人数，坐车人数是2x，加上步行的9人，总人数为2x+9。由于总人数固定，两个式子相等即可列出方程。
【解析】
解：设车的数量为x辆。
1. 计算第一种乘车方案的总人数：已知有2辆空车，实际载人的车有(x-2)辆，每车坐3人，因此总人数为$\boldsymbol{3(x-2)}$人。
2. 计算第二种乘车方案的总人数：每车坐2人，坐车人数为2x人，加上步行的9人，因此总人数为$\boldsymbol{2x+9}$人。
3. 两种方案的总人数相等，因此可列方程：$3(x-2)=2x+9$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 找等量关系列方程
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了列方程的核心能力，也引导学生了解古代数学成就。解题时只要抓住总人数不变的核心等量关系，准确翻译两种乘车场景的数量关系即可正确作答，注意不要混淆空车对应的加减运算。
【难度系数】
0.7
6.“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打八折销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
答案
解:设该电器的成本价为x元.根据成本价$×(1+30\%)×80\%=$售价,可列出方程$(1+30\%)x×80\%=2080$.
解析
【分析】
要解决这类列方程的问题，首先要明确各数量之间的推导关系：第一步先设所求的成本价为未知数x；接下来推导标价：成本价提高30%后标价，说明标价是成本价的(1+30%)倍；再推导售价：打八折销售就是按标价的80%出售，最终售价已知为2080元，顺着“成本价→标价→售价”的逻辑找到等量关系，就能列出方程。
【解析】
解：设该电器的成本价为x元。
1. 计算提高30%后的标价：标价为成本价的(1+30%)，即$\boldsymbol{(1+30\%)x}$元；
2. 计算打八折后的售价：售价为标价的80%，即$(1+30\%)x×80\%$元；
3. 结合已知售价为2080元，根据“成本价×(1+30%)×80%=售价”的等量关系，可列方程。
【答案】
设该电器的成本价为$x$元，所列方程为$\boldsymbol{(1+30\%)x×80\%=2080}$。
【知识点】
一元一次方程应用，销售打折问题，等量关系建立
【点评】
本题是销售类列方程的基础题型，核心是理清成本价、标价、售价三者的换算逻辑，找准等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
要解决这类列方程的问题，首先要明确各数量之间的推导关系：第一步先设所求的成本价为未知数x；接下来推导标价：成本价提高30%后标价，说明标价是成本价的(1+30%)倍；再推导售价：打八折销售就是按标价的80%出售，最终售价已知为2080元，顺着“成本价→标价→售价”的逻辑找到等量关系，就能列出方程。
【解析】
解：设该电器的成本价为x元。
1. 计算提高30%后的标价：标价为成本价的(1+30%)，即$\boldsymbol{(1+30\%)x}$元；
2. 计算打八折后的售价：售价为标价的80%，即$(1+30\%)x×80\%$元；
3. 结合已知售价为2080元，根据“成本价×(1+30%)×80%=售价”的等量关系，可列方程。
【答案】
设该电器的成本价为$x$元，所列方程为$\boldsymbol{(1+30\%)x×80\%=2080}$。
【知识点】
一元一次方程应用，销售打折问题，等量关系建立
【点评】
本题是销售类列方程的基础题型，核心是理清成本价、标价、售价三者的换算逻辑，找准等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
