登录
学习任务三 一元一次方程
从具体到抽象
问题:仔细观察学习任务一中列出的方程①②,可以发现它们有共同特征:(1)只含有
知识梳理
一元一次方程:一般地,如果方程中只含有
从具体到抽象
问题:仔细观察学习任务一中列出的方程①②,可以发现它们有共同特征:(1)只含有
一个
未知数;(2)含有未知数的式子都是整式
;(3)未知数的次数都是1
.知识梳理
一元一次方程:一般地,如果方程中只含有
一个
未知数(元),且含有未知数的式子都是整式
,未知数的次数都是1
,这样的方程叫作一元一次方程.答案
问题:
(1)一个
(2)整式
(3)1
知识梳理
一个 整式 1
(1)一个
(2)整式
(3)1
知识梳理
一个 整式 1
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的核心特征，解题时紧扣“一元”“一次”“整式”三个关键词思考即可：①“一元”对应未知数的个数，即只有1个未知数；②“整式”是对含未知数式子的要求，排除分母、根号含未知数的非整式形式；③“一次”对应未知数的次数，即未知数的最高次数为1。题目中的问题和知识梳理部分均围绕这三个特征设置，对应填空即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义，其核心判定特征有三点：
1. 未知数数量：仅含有1个未知数，是“一元”的含义；
2. 含未知数的式子类型：全部为整式，即分母、根号内不可出现未知数；
3. 未知数的次数：所有含未知数的项的次数都是1，是“一次”的含义。
因此问题部分三个空依次对应填一个、整式、1；知识梳理部分是一元一次方程的规范定义，和上述三个特征一一对应，依次填入一个、整式、1。
【答案】
问题：(1)一个 (2)整式 (3)1
知识梳理：一个 整式 1
【知识点】
一元一次方程的定义、整式的概念
【点评】
本题属于识记类基础题型，直接考查一元一次方程的基础概念，熟练掌握一元一次方程的三个核心判定特征即可快速得分，是后续学习方程相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程的核心特征，解题时紧扣“一元”“一次”“整式”三个关键词思考即可：①“一元”对应未知数的个数，即只有1个未知数；②“整式”是对含未知数式子的要求，排除分母、根号含未知数的非整式形式；③“一次”对应未知数的次数，即未知数的最高次数为1。题目中的问题和知识梳理部分均围绕这三个特征设置，对应填空即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义，其核心判定特征有三点：
1. 未知数数量：仅含有1个未知数，是“一元”的含义；
2. 含未知数的式子类型：全部为整式，即分母、根号内不可出现未知数；
3. 未知数的次数：所有含未知数的项的次数都是1，是“一次”的含义。
因此问题部分三个空依次对应填一个、整式、1；知识梳理部分是一元一次方程的规范定义，和上述三个特征一一对应，依次填入一个、整式、1。
【答案】
问题：(1)一个 (2)整式 (3)1
知识梳理：一个 整式 1
【知识点】
一元一次方程的定义、整式的概念
【点评】
本题属于识记类基础题型，直接考查一元一次方程的基础概念，熟练掌握一元一次方程的三个核心判定特征即可快速得分，是后续学习方程相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
【例1】下列各式哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①$2x - 2025 = 1$；②$2025 + 4 = 2029$；
③$2y - 9$；④$4m - 5n = 7$；⑤$3x^2 - 2x = 7$；
⑥$x + 1 ＞ 3$；⑦$x + 3 ≠ 6$。
解：
【规律方法】
(1)方程必须满足的两个条件：
①式子中必须含有未知数；
②式子必须是等式。
(2)一元一次方程必须满足的三个条件：
①只含有一个未知数；
②含有未知数的式子都是整式；
③未知数的次数都是1。
①$2x - 2025 = 1$；②$2025 + 4 = 2029$；
③$2y - 9$；④$4m - 5n = 7$；⑤$3x^2 - 2x = 7$；
⑥$x + 1 ＞ 3$；⑦$x + 3 ≠ 6$。
解：
【规律方法】
(1)方程必须满足的两个条件：
①式子中必须含有未知数；
②式子必须是等式。
(2)一元一次方程必须满足的三个条件：
①只含有一个未知数；
②含有未知数的式子都是整式；
③未知数的次数都是1。
答案
根据方程的定义可知,①④⑤是方程.根据一元一次方程的定义可知,①是一元一次方程.
解析
【分析】
解题时需分两步判断：第一步先根据方程的定义筛选出所有方程，方程需要同时满足两个条件：①是含有等号的等式；②式子中含有未知数，两个条件缺一不可。第二步再从筛选出的方程里，根据一元一次方程的三个判定条件（只含1个未知数、未知数的次数为1、等号两边都是整式），逐一判断选出一元一次方程。判断时要逐个分析给出的7个式子，避免遗漏判定条件。
【解析】
1. 先判断哪些是方程：
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析：
①是等式，且含有未知数x，属于方程；
②是等式，但不含未知数，不属于方程；
③是代数式，没有等号，不是等式，不属于方程；
④是等式，含有未知数m、n，属于方程；
⑤是等式，含有未知数x，属于方程；
⑥是不等式，不是等式，不属于方程；
⑦是不等式，不是等式，不属于方程；
因此①④⑤是方程。
2. 再判断一元一次方程：
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程为一元一次方程，对上述3个方程逐一分析：
①只含有1个未知数x，x的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程；
④含有m、n两个未知数，不符合一元一次方程要求；
⑤中x的最高次数为2，不符合一元一次方程要求；
因此①是一元一次方程。
【答案】
根据方程的定义可知,①④⑤是方程.根据一元一次方程的定义可知,①是一元一次方程.
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确牢记两类式子的判定条件，判断时要逐一对照条件验证，尤其要注意区分等式、不等式、代数式的差异，以及未知数的个数和次数要求，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
解题时需分两步判断：第一步先根据方程的定义筛选出所有方程，方程需要同时满足两个条件：①是含有等号的等式；②式子中含有未知数，两个条件缺一不可。第二步再从筛选出的方程里，根据一元一次方程的三个判定条件（只含1个未知数、未知数的次数为1、等号两边都是整式），逐一判断选出一元一次方程。判断时要逐个分析给出的7个式子，避免遗漏判定条件。
【解析】
1. 先判断哪些是方程：
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析：
①是等式，且含有未知数x，属于方程；
②是等式，但不含未知数，不属于方程；
③是代数式，没有等号，不是等式，不属于方程；
④是等式，含有未知数m、n，属于方程；
⑤是等式，含有未知数x，属于方程；
⑥是不等式，不是等式，不属于方程；
⑦是不等式，不是等式，不属于方程；
因此①④⑤是方程。
2. 再判断一元一次方程：
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程为一元一次方程，对上述3个方程逐一分析：
①只含有1个未知数x，x的次数为1，等号两边都是整式，属于一元一次方程；
④含有m、n两个未知数，不符合一元一次方程要求；
⑤中x的最高次数为2，不符合一元一次方程要求；
因此①是一元一次方程。
【答案】
根据方程的定义可知,①④⑤是方程.根据一元一次方程的定义可知,①是一元一次方程.
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确牢记两类式子的判定条件，判断时要逐一对照条件验证，尤其要注意区分等式、不等式、代数式的差异，以及未知数的个数和次数要求，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
1.下列方程是一元一次方程的是(
A.$x+5=y+4$
B.$\frac{2}{x-1}=2$
C.$x^2 -x=2$
D.$x=0$
D
)A.$x+5=y+4$
B.$\frac{2}{x-1}=2$
C.$x^2 -x=2$
D.$x=0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③方程两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时只需逐一对照这三个条件，排除不符合的选项，就能找到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程为一元一次方程。
选项A：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项B：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
选项C：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项D：只含有未知数x，x的次数是1，且两边都是整式，符合一元一次方程的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的考查，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定要点，注意区分整式方程和分式方程，避免因忽略分母含未知数的情况出错。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③方程两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时只需逐一对照这三个条件，排除不符合的选项，就能找到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程为一元一次方程。
选项A：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项B：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
选项C：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项D：只含有未知数x，x的次数是1，且两边都是整式，符合一元一次方程的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的考查，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定要点，注意区分整式方程和分式方程，避免因忽略分母含未知数的情况出错。
【难度系数】
0.9
2.已知$(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程，求$m$的值.
答案
解:$m=2$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要牢记一元一次方程的判定要求：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0（否则方程不含未知数，不符合一元一次方程的要求）。我们根据这几个要求列出关于m的关系式，先求解次数对应的等式，再结合系数不为0的条件排除不符合的解，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵$(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1：
$|m|-1=1$
解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
2. 含未知数项的系数不为0：
$m+2≠0$
解得$m≠-2$
综合两个条件，可得$m=2$
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题，解题时要注意题干的隐藏条件，即一次项系数不能为0，避免忽略该条件出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要牢记一元一次方程的判定要求：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0（否则方程不含未知数，不符合一元一次方程的要求）。我们根据这几个要求列出关于m的关系式，先求解次数对应的等式，再结合系数不为0的条件排除不符合的解，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵$(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1：
$|m|-1=1$
解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
2. 含未知数项的系数不为0：
$m+2≠0$
解得$m≠-2$
综合两个条件，可得$m=2$
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题，解题时要注意题干的隐藏条件，即一次项系数不能为0，避免忽略该条件出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
【例2】请你判断下列给出的x的值中，哪些是方程$2x+1=7-x$的解.
(1)$x=1$; (2)$x=2$; (3)$x=-2$.
解:
(1)$x=1$; (2)$x=2$; (3)$x=-2$.
解:
答案
(1)$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解.
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解.
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解.
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
解析
【分析】
要判断给定的x的值是否为方程的解，首先要明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题思路为：分别把三个x的值代入方程的左边和右边，计算出两边的结果后比较大小，若左右两边结果相等，则该x是方程的解，否则不是。
【解析】
判断一个值是否为方程的解的方法：将未知数的值分别代入方程的左、右两边，若左边计算结果等于右边计算结果，则该值是方程的解，反之则不是。
(1) 将$x=1$代入方程：
左边$=2×1 + 1 = 3$，右边$=7 - 1 = 6$
∵ 左边≠右边
∴ $x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解。
(2) 将$x=2$代入方程：
左边$=2×2 +1 =5$，右边$=7 -2 =5$
∵ 左边=右边
∴ $x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(3) 将$x=-2$代入方程：
左边$=2×(-2)+1=-3$，右边$=7 - (-2)=9$
∵ 左边≠右边
∴ $x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解。
【答案】
(1)$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解.
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解.
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
【知识点】
方程的解的定义；代入检验法
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的判断方法，熟练掌握代入检验的操作步骤即可正确作答，该方法也是后续解方程时检验结果正确性的核心方法。
【难度系数】
0.9
要判断给定的x的值是否为方程的解，首先要明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题思路为：分别把三个x的值代入方程的左边和右边，计算出两边的结果后比较大小，若左右两边结果相等，则该x是方程的解，否则不是。
【解析】
判断一个值是否为方程的解的方法：将未知数的值分别代入方程的左、右两边，若左边计算结果等于右边计算结果，则该值是方程的解，反之则不是。
(1) 将$x=1$代入方程：
左边$=2×1 + 1 = 3$，右边$=7 - 1 = 6$
∵ 左边≠右边
∴ $x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解。
(2) 将$x=2$代入方程：
左边$=2×2 +1 =5$，右边$=7 -2 =5$
∵ 左边=右边
∴ $x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(3) 将$x=-2$代入方程：
左边$=2×(-2)+1=-3$，右边$=7 - (-2)=9$
∵ 左边≠右边
∴ $x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解。
【答案】
(1)$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解.
(2)$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解.
(3)$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解.
【知识点】
方程的解的定义；代入检验法
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的判断方法，熟练掌握代入检验的操作步骤即可正确作答，该方法也是后续解方程时检验结果正确性的核心方法。
【难度系数】
0.9
(改变条件)把例2中的方程改为$5x - 4 = 2x + 2$，则所给$x$的值哪些是方程$5x - 4 = 2x + 2$的解？
答案
(1)$x=1$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
(2)$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解.
(3)$x=-2$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
(2)$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解.
(3)$x=-2$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
解析
【分析】判断一个数是否为方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时遵循三步思路：①将待验证的x的值分别代入方程的左边和右边；②分别计算出左右两边代数式的结果；③比较两边的结果是否相等，若相等则该值是方程的解，反之则不是。
【解析】我们分别对三个x的值进行验证：
(1) 当x=1时：
左边$=5×1 - 4 = 1$，
右边$=2×1 + 2 = 4$，
因为左边≠右边，所以x=1不是方程的解。
(2) 当x=2时：
左边$=5×2 - 4 = 6$，
右边$=2×2 + 2 = 6$，
因为左边=右边，所以x=2是方程的解。
(3) 当x=-2时：
左边$=5×(-2) - 4 = -14$，
右边$=2×(-2) + 2 = -2$，
因为左边≠右边，所以x=-2不是方程的解。
【答案】
(1)$x=1$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
(2)$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解.
(3)$x=-2$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题属于方程解判断的基础题型，核心方法是代入验证法，该方法也是后续解完方程后检验结果正确性的常用方法，需熟练掌握操作步骤。
【难度系数】
0.9
【解析】我们分别对三个x的值进行验证：
(1) 当x=1时：
左边$=5×1 - 4 = 1$，
右边$=2×1 + 2 = 4$，
因为左边≠右边，所以x=1不是方程的解。
(2) 当x=2时：
左边$=5×2 - 4 = 6$，
右边$=2×2 + 2 = 6$，
因为左边=右边，所以x=2是方程的解。
(3) 当x=-2时：
左边$=5×(-2) - 4 = -14$，
右边$=2×(-2) + 2 = -2$，
因为左边≠右边，所以x=-2不是方程的解。
【答案】
(1)$x=1$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
(2)$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解.
(3)$x=-2$不是方程$5x-4=2x+2$的解.
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题属于方程解判断的基础题型，核心方法是代入验证法，该方法也是后续解完方程后检验结果正确性的常用方法，需熟练掌握操作步骤。
【难度系数】
0.9
