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1. 单项式$\frac{4}{3}π r^3$的系数与次数分别是(
A.$\frac{4}{3}, 3$
B.$\frac{4}{3}, 4$
C.$\frac{4}{3}π, 3$
D.$\frac{4}{3}π, 4$
C
)A.$\frac{4}{3}, 3$
B.$\frac{4}{3}, 4$
C.$\frac{4}{3}π, 3$
D.$\frac{4}{3}π, 4$
答案
1. C 解析 单项式$\frac{4}{3}π r^3$的系数与次数分别是$\frac{4}{3}π$和3.
解析
【分析】
解这道题首先要回忆单项式系数和次数的定义，分两步判断：第一步确定系数：单项式的系数是单项式中的数字因数，要注意π是常数，不属于字母，所以数字部分包含π；第二步确定次数：单项式的次数是所有字母的指数和，只计算字母的指数，常数的指数不算。最后将得到的系数和次数对应选项即可。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，本题中π是固定的常数，属于数字部分，因此$\frac{4}{3}π r^3$的系数为$\frac{4}{3}π$；
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，本题中仅含有字母r，r的指数是3，因此该单项式的次数为3。
综上，该单项式的系数是$\frac{4}{3}π$，次数是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将π当作字母计算，既会错把系数算成$\frac{4}{3}$，也可能多加次数，只要牢记π是常数，准确掌握两个定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要回忆单项式系数和次数的定义，分两步判断：第一步确定系数：单项式的系数是单项式中的数字因数，要注意π是常数，不属于字母，所以数字部分包含π；第二步确定次数：单项式的次数是所有字母的指数和，只计算字母的指数，常数的指数不算。最后将得到的系数和次数对应选项即可。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，本题中π是固定的常数，属于数字部分，因此$\frac{4}{3}π r^3$的系数为$\frac{4}{3}π$；
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，本题中仅含有字母r，r的指数是3，因此该单项式的次数为3。
综上，该单项式的系数是$\frac{4}{3}π$，次数是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将π当作字母计算，既会错把系数算成$\frac{4}{3}$，也可能多加次数，只要牢记π是常数，准确掌握两个定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 小明完成的作业情况如图所示，他做对的题目的数量是 (
A.2道
B.3道
C.4道
D.5道
B
)A.2道
B.3道
C.4道
D.5道
答案
2. B 解析 1是单项式，小明判断错误；非负有理数包括零，小明判断正确；绝对值不相等的两个数的和一定不为零，小明判断正确；单项式$-a$的系数为$-1$，次数为1，小明判断错误；将34.945精确到十分位为34.9，小明判断正确. 综上，小明答对3道题.
解析
【分析】
解题时首先要明确核心思路：逐个验证5道判断题的正确结论，再和小明的判断做对比，统计他做对的总数量。第一步先回忆每道题对应的基础知识点，分别是单项式定义、非负有理数分类、相反数与绝对值的关联、单项式系数和次数的定义、近似数四舍五入规则；第二步逐个判断每个命题的正误，和小明的判断对照，做对的就计数加1，最后汇总计数结果匹配选项即可。
【解析】
我们逐个核对各命题的正误，再对应小明的判断统计得分：
1. 根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此1是单项式，小明判断错误，本题不得分；
2. 非负有理数包括正有理数和0，因此“非负有理数包括零”的结论正确，小明判断正确，本题得分；
3. 只有互为相反数的两个数和为0，而互为相反数的两个数绝对值相等，因此绝对值不相等的两个数的和一定不为0，结论正确，小明判断正确，本题得分；
4. 单项式$-a$的数字因数是$-1$，即系数为$-1$，字母$a$的指数为1，即次数为1，结论正确，小明判断错误，本题不得分；
5. 34.945精确到十分位时，看百分位上的数字4，按照四舍五入规则需舍去，因此结果为34.9，结论正确，小明判断正确，本题得分。
综上，小明一共做对3道题。
【答案】
B
【知识点】
单项式的定义，绝对值的性质，近似数的精确
【点评】
本题综合考查多个基础代数概念，解题时需要逐一核对每个命题的正误，要注意理清易混淆的概念，避免因概念记忆偏差导致判断失误。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确核心思路：逐个验证5道判断题的正确结论，再和小明的判断做对比，统计他做对的总数量。第一步先回忆每道题对应的基础知识点，分别是单项式定义、非负有理数分类、相反数与绝对值的关联、单项式系数和次数的定义、近似数四舍五入规则；第二步逐个判断每个命题的正误，和小明的判断对照，做对的就计数加1，最后汇总计数结果匹配选项即可。
【解析】
我们逐个核对各命题的正误，再对应小明的判断统计得分：
1. 根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此1是单项式，小明判断错误，本题不得分；
2. 非负有理数包括正有理数和0，因此“非负有理数包括零”的结论正确，小明判断正确，本题得分；
3. 只有互为相反数的两个数和为0，而互为相反数的两个数绝对值相等，因此绝对值不相等的两个数的和一定不为0，结论正确，小明判断正确，本题得分；
4. 单项式$-a$的数字因数是$-1$，即系数为$-1$，字母$a$的指数为1，即次数为1，结论正确，小明判断错误，本题不得分；
5. 34.945精确到十分位时，看百分位上的数字4，按照四舍五入规则需舍去，因此结果为34.9，结论正确，小明判断正确，本题得分。
综上，小明一共做对3道题。
【答案】
B
【知识点】
单项式的定义，绝对值的性质，近似数的精确
【点评】
本题综合考查多个基础代数概念，解题时需要逐一核对每个命题的正误，要注意理清易混淆的概念，避免因概念记忆偏差导致判断失误。
【难度系数】
0.75
3. 在代数式$x^2 +5$，$-1$，$-3x +2$，$π$，$\frac{5}{x}$，$x^2 + \frac{1}{x+1}$，$5x$中，整式有(
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
3. C
解析
【分析】
解题前先明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，其中单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。整式的核心特征是分母中不含有字母，因此只需逐个判断给出的代数式是否符合该特征，统计符合条件的个数即可。
【解析】
我们逐个判断每个代数式是否为整式：
1. $x^2 +5$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
2. $-1$：是单独的常数，属于单项式，是整式；
3. $-3x +2$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
4. $π$：是固定常数（不是字母），属于单项式，是整式；
5. $\frac{5}{x}$：分母含有字母$x$，不属于整式；
6. $x^2 + \frac{1}{x+1}$：分母含有字母$x$，不属于整式；
7. $5x$：是数与字母的积，属于单项式，是整式。
综上，整式共有5个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题是整式判定的基础题型，易错点在于容易误将$π$当作字母，或者忽略分母含字母的代数式不属于整式的规则，做题时需逐一排查避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
解题前先明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，其中单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。整式的核心特征是分母中不含有字母，因此只需逐个判断给出的代数式是否符合该特征，统计符合条件的个数即可。
【解析】
我们逐个判断每个代数式是否为整式：
1. $x^2 +5$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
2. $-1$：是单独的常数，属于单项式，是整式；
3. $-3x +2$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
4. $π$：是固定常数（不是字母），属于单项式，是整式；
5. $\frac{5}{x}$：分母含有字母$x$，不属于整式；
6. $x^2 + \frac{1}{x+1}$：分母含有字母$x$，不属于整式；
7. $5x$：是数与字母的积，属于单项式，是整式。
综上，整式共有5个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题是整式判定的基础题型，易错点在于容易误将$π$当作字母，或者忽略分母含字母的代数式不属于整式的规则，做题时需逐一排查避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
4. 下列多项式中，次数为4的是(
A.$ab^3 + b^3$
B.$a^2 + b^2$
C.$a + b^3$
D.$a^2 + ab + b^2 + 1$
A
)A.$ab^3 + b^3$
B.$a^2 + b^2$
C.$a + b^3$
D.$a^2 + ab + b^2 + 1$
答案
4. A 解析 A项中，$ab^3 + b^3$的次数是4，符合题意；B项中，$a^2 + b^2$的次数是2，不符合题意；C项中，$a + b^3$的次数是3，不符合题意；D项中，$a^2 + ab + b^2 + 1$的次数是2，不符合题意.
解析
【分析】
要判断哪个多项式的次数为4，首先需要明确相关定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和；多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。解题时我们只需逐个计算每个选项中多项式的最高次项的次数，即可找到符合要求的答案。
【解析】
我们依次分析每个选项：
A选项：多项式$ab^3 + b^3$包含两项，其中$ab^3$的次数为$1+3=4$，$b^3$的次数为3，最高次项的次数是4，因此该多项式的次数为4，符合题意；
B选项：多项式$a^2 + b^2$包含两项，两项的次数均为2，最高次项的次数是2，因此该多项式的次数为2，不符合题意；
C选项：多项式$a + b^3$包含两项，$a$的次数为1，$b^3$的次数为3，最高次项的次数是3，因此该多项式的次数为3，不符合题意；
D选项：多项式$a^2 + ab + b^2 + 1$包含四项，$a^2$、$ab$、$b^2$的次数均为2，常数项1的次数为0，最高次项的次数是2，因此该多项式的次数为2，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题是整式相关的基础题，解题的关键是准确掌握单项式和多项式次数的定义，计算单项式次数时注意不要遗漏任意一个字母的指数即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式的次数为4，首先需要明确相关定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和；多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。解题时我们只需逐个计算每个选项中多项式的最高次项的次数，即可找到符合要求的答案。
【解析】
我们依次分析每个选项：
A选项：多项式$ab^3 + b^3$包含两项，其中$ab^3$的次数为$1+3=4$，$b^3$的次数为3，最高次项的次数是4，因此该多项式的次数为4，符合题意；
B选项：多项式$a^2 + b^2$包含两项，两项的次数均为2，最高次项的次数是2，因此该多项式的次数为2，不符合题意；
C选项：多项式$a + b^3$包含两项，$a$的次数为1，$b^3$的次数为3，最高次项的次数是3，因此该多项式的次数为3，不符合题意；
D选项：多项式$a^2 + ab + b^2 + 1$包含四项，$a^2$、$ab$、$b^2$的次数均为2，常数项1的次数为0，最高次项的次数是2，因此该多项式的次数为2，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题是整式相关的基础题，解题的关键是准确掌握单项式和多项式次数的定义，计算单项式次数时注意不要遗漏任意一个字母的指数即可。
【难度系数】
0.8
5. 观察下列各式，回答下列问题.
$-ab, -\dfrac{a}{2}, \dfrac{2}{a}, a+b, a^2+a-1.$
(1)单项式：
(2)多项式：
(3)整式有
(4)－ab的系数为
(5)次数最高的多项式为
$-ab, -\dfrac{a}{2}, \dfrac{2}{a}, a+b, a^2+a-1.$
(1)单项式：
$-ab, -\dfrac{a}{2}$
；(2)多项式：
$a+b, a^2+a-1$
；(3)整式有
4
个；(4)－ab的系数为
$-1$
；(5)次数最高的多项式为
$a^2+a-1$
.答案
5. (1)$-ab, -\frac{a}{2}$ (2)$a+b, a^2+a-1$ (3)4 (4)$-1$ (5)$a^2+a-1$
解析
【分析】
解题时首先回忆整式相关的基础概念，按照以下步骤逐一判断即可：
1. 先明确各概念的判断标准：
① 单项式：由数和字母的乘积组成的代数式，单独的数或字母也是单项式，注意分母含有字母的式子不是数与字母的乘积，不属于单项式；
② 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
③ 整式：单项式和多项式统称为整式；
④ 单项式的系数：指单项式中的数字因数；
⑤ 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数。
2. 逐一对题干给出的5个式子进行归类，再对应回答每个小问。
【解析】
首先逐个分析题干给出的5个式子：
1. $-ab$：是$-1$与$a$、$b$的乘积，属于单项式，是整式，它的数字因数为$-1$，即系数为$-1$；
2. $-\dfrac{a}{2}$：是$-\dfrac{1}{2}$与$a$的乘积，属于单项式，是整式；
3. $\dfrac{2}{a}$：分母含有字母$a$，不是数与字母的乘积，既不属于单项式也不属于多项式，不是整式；
4. $a+b$：是单项式$a$和$b$的和，属于多项式，是整式，最高次项的次数为1；
5. $a^2+a-1$：是单项式$a^2$、$a$、$-1$的和，属于多项式，是整式，最高次项的次数为2。
据此回答各小问：
(1) 单项式为$-ab, -\dfrac{a}{2}$；
(2) 多项式为$a+b, a^2+a-1$；
(3) 整式包含2个单项式和2个多项式，共4个；
(4) $-ab$的系数为$-1$；
(5) 两个多项式中$a^2+a-1$的次数更高，所以次数最高的多项式为$a^2+a-1$。
【答案】
(1)$-ab, -\frac{a}{2}$ (2)$a+b, a^2+a-1$ (3)4 (4)$-1$ (5)$a^2+a-1$
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对整式相关概念的辨析能力，只有准确区分单项式、多项式、整式，掌握系数和多项式次数的判断方法，才能快速准确解题，是整式章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆整式相关的基础概念，按照以下步骤逐一判断即可：
1. 先明确各概念的判断标准：
① 单项式：由数和字母的乘积组成的代数式，单独的数或字母也是单项式，注意分母含有字母的式子不是数与字母的乘积，不属于单项式；
② 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
③ 整式：单项式和多项式统称为整式；
④ 单项式的系数：指单项式中的数字因数；
⑤ 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数。
2. 逐一对题干给出的5个式子进行归类，再对应回答每个小问。
【解析】
首先逐个分析题干给出的5个式子：
1. $-ab$：是$-1$与$a$、$b$的乘积，属于单项式，是整式，它的数字因数为$-1$，即系数为$-1$；
2. $-\dfrac{a}{2}$：是$-\dfrac{1}{2}$与$a$的乘积，属于单项式，是整式；
3. $\dfrac{2}{a}$：分母含有字母$a$，不是数与字母的乘积，既不属于单项式也不属于多项式，不是整式；
4. $a+b$：是单项式$a$和$b$的和，属于多项式，是整式，最高次项的次数为1；
5. $a^2+a-1$：是单项式$a^2$、$a$、$-1$的和，属于多项式，是整式，最高次项的次数为2。
据此回答各小问：
(1) 单项式为$-ab, -\dfrac{a}{2}$；
(2) 多项式为$a+b, a^2+a-1$；
(3) 整式包含2个单项式和2个多项式，共4个；
(4) $-ab$的系数为$-1$；
(5) 两个多项式中$a^2+a-1$的次数更高，所以次数最高的多项式为$a^2+a-1$。
【答案】
(1)$-ab, -\frac{a}{2}$ (2)$a+b, a^2+a-1$ (3)4 (4)$-1$ (5)$a^2+a-1$
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对整式相关概念的辨析能力，只有准确区分单项式、多项式、整式，掌握系数和多项式次数的判断方法，才能快速准确解题，是整式章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 如果关于x，y的多项式$4x^2y^{|m|} - y^2 + 1$共有3项，且次数是3，那么常数$m=$
1或$-1$
.答案
6. 1或$-1$
解析
【分析】
拿到这道题我们可以分两步思考：第一步先确认项数是否符合要求，观察给出的多项式，$4x^2y^{|m|}$、$-y^2$、$1$这三个单项式的系数都不为0，已经满足“共3项”的条件；第二步根据多项式次数的定义列等式计算$m$的值，多项式的次数是最高次项的次数，剩余两项中$-y^2$的次数是2、常数项1的次数是0，所以最高次项一定是$4x^2y^{|m|}$，而单项式的次数是所有字母的指数和，因此这一项的次数为$2+|m|$，结合次数是3的条件列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解。
【解析】
解：首先判断多项式的项数：
多项式$4x^2y^{|m|} - y^2 + 1$包含$4x^2y^{|m|}$、$-y^2$、$1$共3个单项式，满足题中“共有3项”的要求。
再根据多项式次数的定义分析：
多项式的次数为最高次项的次数，其中$-y^2$的次数是2，常数项1的次数是0，因此最高次项为$4x^2y^{|m|}$。
单项式的次数为所有字母的指数和，因此$4x^2y^{|m|}$的次数为$2 + |m|$，由题可知多项式次数为3，可得：
$2 + |m| = 3$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
【答案】
1或$-1$
【知识点】
多项式的项与次数，单项式次数计算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确掌握多项式、单项式次数的定义，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以分两步思考：第一步先确认项数是否符合要求，观察给出的多项式，$4x^2y^{|m|}$、$-y^2$、$1$这三个单项式的系数都不为0，已经满足“共3项”的条件；第二步根据多项式次数的定义列等式计算$m$的值，多项式的次数是最高次项的次数，剩余两项中$-y^2$的次数是2、常数项1的次数是0，所以最高次项一定是$4x^2y^{|m|}$，而单项式的次数是所有字母的指数和，因此这一项的次数为$2+|m|$，结合次数是3的条件列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解。
【解析】
解：首先判断多项式的项数：
多项式$4x^2y^{|m|} - y^2 + 1$包含$4x^2y^{|m|}$、$-y^2$、$1$共3个单项式，满足题中“共有3项”的要求。
再根据多项式次数的定义分析：
多项式的次数为最高次项的次数，其中$-y^2$的次数是2，常数项1的次数是0，因此最高次项为$4x^2y^{|m|}$。
单项式的次数为所有字母的指数和，因此$4x^2y^{|m|}$的次数为$2 + |m|$，由题可知多项式次数为3，可得：
$2 + |m| = 3$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
【答案】
1或$-1$
【知识点】
多项式的项与次数，单项式次数计算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确掌握多项式、单项式次数的定义，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
7. 当$x=-9$，$y=-2$时，求单项式$-\frac{2}{3}xy^3$的值.
答案
7. $-48$
解析
【分析】
本题是求单项式的值的基础题型，解题思路为：首先将已知的x、y的取值代入给定的单项式中，再按照有理数的运算顺序计算，先计算乘方运算，再依次计算乘法运算，计算过程中要重点关注负数运算的符号规则，避免符号计算错误。
【解析】
解：当$x=-9$，$y=-2$时，将数值代入单项式$-\frac{2}{3}xy^3$：
$\begin{aligned}-\frac{2}{3}xy^3&=-\frac{2}{3}×(-9)×(-2)^3\\&=-\frac{2}{3}×(-9)×(-8)\\&=6×(-8)\\&=-48\end{aligned}$
【答案】
$-48$
【知识点】
代数式求值、有理数乘方运算、有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代数式代入求值的规范步骤，运算时需严格遵守先乘方后乘除的运算顺序，熟练掌握负数的符号运算规则是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.9
本题是求单项式的值的基础题型，解题思路为：首先将已知的x、y的取值代入给定的单项式中，再按照有理数的运算顺序计算，先计算乘方运算，再依次计算乘法运算，计算过程中要重点关注负数运算的符号规则，避免符号计算错误。
【解析】
解：当$x=-9$，$y=-2$时，将数值代入单项式$-\frac{2}{3}xy^3$：
$\begin{aligned}-\frac{2}{3}xy^3&=-\frac{2}{3}×(-9)×(-2)^3\\&=-\frac{2}{3}×(-9)×(-8)\\&=6×(-8)\\&=-48\end{aligned}$
【答案】
$-48$
【知识点】
代数式求值、有理数乘方运算、有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代数式代入求值的规范步骤，运算时需严格遵守先乘方后乘除的运算顺序，熟练掌握负数的符号运算规则是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.9
