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9. 已知 $ a $，$ b $ 均为非0的有理数，求 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$ 的所有可能值。
答案
解 ①当 $a＞0$，$b＞0$ 时，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{ab}=3$；
②当 $a＞0$，$b＜0$ 时，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{-ab}=-1$；
③当 $a＜0$，$b＞0$ 时，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{-ab}=-1$；
④当 $a＜0$，$b＜0$ 时，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{ab}=-1$.
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$ 的值可能为 3 或$-1$.
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{ab}=3$；
②当 $a＞0$，$b＜0$ 时，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{-ab}=-1$；
③当 $a＜0$，$b＞0$ 时，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{-ab}=-1$；
④当 $a＜0$，$b＜0$ 时，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{ab}=-1$.
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$ 的值可能为 3 或$-1$.
解析
【分析】
要计算含绝对值的分式的值，首先依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。由于a、b均为非0有理数，正负性没有明确给出，因此需要对a、b的正负性进行全面分类讨论，覆盖所有可能的情况，再将每类情况代入原式分别计算，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
我们分以下4种情况讨论：
①当 $a＞0$，$b＞0$ 时，$|a|=a$，$|b|=b$，$ab＞0$即$|ab|=ab$，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{ab}=1+1+1=3$；
②当 $a＞0$，$b＜0$ 时，$|a|=a$，$|b|=-b$，$ab＜0$即$|ab|=-ab$，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{-ab}=1-1-1=-1$；
③当 $a＜0$，$b＞0$ 时，$|a|=-a$，$|b|=b$，$ab＜0$即$|ab|=-ab$，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{-ab}=-1+1-1=-1$；
④当 $a＜0$，$b＜0$ 时，$|a|=-a$，$|b|=-b$，$ab＞0$即$|ab|=ab$，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{ab}=-1-1+1=-1$。
综上即可得到原式的所有可能取值。
【答案】
$3$或$-1$
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察分类讨论思想在含绝对值运算中的应用，解题关键是要完整列举a、b正负性的所有组合，不要出现漏情况的问题，计算时要准确判断绝对值化简后的符号，避免因符号错误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要计算含绝对值的分式的值，首先依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。由于a、b均为非0有理数，正负性没有明确给出，因此需要对a、b的正负性进行全面分类讨论，覆盖所有可能的情况，再将每类情况代入原式分别计算，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
我们分以下4种情况讨论：
①当 $a＞0$，$b＞0$ 时，$|a|=a$，$|b|=b$，$ab＞0$即$|ab|=ab$，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{ab}=1+1+1=3$；
②当 $a＞0$，$b＜0$ 时，$|a|=a$，$|b|=-b$，$ab＜0$即$|ab|=-ab$，
原式$=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{-ab}=1-1-1=-1$；
③当 $a＜0$，$b＞0$ 时，$|a|=-a$，$|b|=b$，$ab＜0$即$|ab|=-ab$，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}+\frac{ab}{-ab}=-1+1-1=-1$；
④当 $a＜0$，$b＜0$ 时，$|a|=-a$，$|b|=-b$，$ab＞0$即$|ab|=ab$，
原式$=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{ab}{ab}=-1-1+1=-1$。
综上即可得到原式的所有可能取值。
【答案】
$3$或$-1$
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察分类讨论思想在含绝对值运算中的应用，解题关键是要完整列举a、b正负性的所有组合，不要出现漏情况的问题，计算时要准确判断绝对值化简后的符号，避免因符号错误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
10. 我们知道，每个自然数都有因数.
将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”. 例如：
10 的正因数有 1，2，5，10，它的正奇数因数有 1，5，它的正偶数因数有 2，10. 所以 10 的“完美指标”是$ [(1+5)-(2+10)]÷10=-\dfrac{3}{5}. $我们规定，若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”. 例如，因为 6 的“完美指标”是$ [(1+3)-(2+6)]÷6=-\dfrac{2}{3}$，7 没有正偶数因数，7 的“完美指标”是$ (1+7)÷7=\dfrac{8}{7}$，且$ \left$|$-\dfrac{2}{3}\right$|
将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”. 例如：
10 的正因数有 1，2，5，10，它的正奇数因数有 1，5，它的正偶数因数有 2，10. 所以 10 的“完美指标”是$ [(1+5)-(2+10)]÷10=-\dfrac{3}{5}. $我们规定，若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”. 例如，因为 6 的“完美指标”是$ [(1+3)-(2+6)]÷6=-\dfrac{2}{3}$，7 没有正偶数因数，7 的“完美指标”是$ (1+7)÷7=\dfrac{8}{7}$，且$ \left$|$-\dfrac{2}{3}\right$|
答案
解 18 的正因数有 1，2，3，6，9，18，正奇因数有 1，3，9，正偶因数有 2，6，18，18 的“完美指标”是 $[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\frac{13}{18}$；19 的正因数有 1，19，正奇因数有 1，19，无正偶因数，19 的“完美指标”是$(1+19)÷19=\frac{20}{19}$；20 的正因数有 1，2，4，5，10，20，正奇因数有 1，5，正偶因数有 2，4，10，20，20 的“完美指标”是 $[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-\frac{3}{2}$；21 的正因数有 1，3，7，21，正奇因数有 1，3，7，21，无正偶因数，21 的“完美指标”是$(1+3+7+21)÷21=\frac{32}{21}$. 因为 $\left|-\frac{13}{18}\right|＜\left|\frac{20}{19}\right|＜\left|-\frac{3}{2}\right|＜\left|\frac{32}{21}\right|$，所以 18 是 18，19，20，21 这四个自然数中最“完美”的数.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要准确理解“完美指标”的定义，解题可按3步展开：第一步，分别找出18、19、20、21四个数的所有正因数，再将每个数的正因数分为正奇数因数、正偶数因数两类，分别求和；第二步，按照“完美指标”的运算规则：(所有正奇数因数之和 - 所有正偶数因数之和)÷该自然数，分别计算四个数的完美指标；第三步，计算每个完美指标的绝对值，绝对值越小对应数越“完美”，比较绝对值大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算18的完美指标：
18的正因数有1，2，3，6，9，18，其中正奇因数为1、3、9，和为$1+3+9=13$；正偶因数为2、6、18，和为$2+6+18=26$。
18的完美指标为：$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\frac{13}{18}$，绝对值为$\left|-\frac{13}{18}\right|=\frac{13}{18}$。
2. 计算19的完美指标：
19的正因数有1，19，均为正奇因数，无正偶因数，正奇因数和为$1+19=20$。
19的完美指标为：$(1+19)÷19=\frac{20}{19}$，绝对值为$\left|\frac{20}{19}\right|=\frac{20}{19}$。
3. 计算20的完美指标：
20的正因数有1，2，4，5，10，20，其中正奇因数为1、5，和为$1+5=6$；正偶因数为2、4、10、20，和为$2+4+10+20=36$。
20的完美指标为：$[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-\frac{3}{2}$，绝对值为$\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$。
4. 计算21的完美指标：
21的正因数有1，3，7，21，均为正奇因数，无正偶因数，正奇因数和为$1+3+7+21=32$。
21的完美指标为：$(1+3+7+21)÷21=\frac{32}{21}$，绝对值为$\left|\frac{32}{21}\right|=\frac{32}{21}$。
5. 比较绝对值大小：$\frac{13}{18}＜\frac{20}{19}＜\frac{3}{2}＜\frac{32}{21}$，即$\left|-\frac{13}{18}\right|＜\left|\frac{20}{19}\right|＜\left|-\frac{3}{2}\right|＜\left|\frac{32}{21}\right|$，因此18是四个数中最“完美”的数。
【答案】
18是18、19、20、21这四个自然数中最“完美”的数。
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，绝对值比较大小
【点评】
本题属于新定义类常规题型，核心是准确理解题目给出的运算规则，解题时需仔细枚举每个数的正因数，避免遗漏或算错因数和，再结合有理数运算和绝对值的性质比较大小即可得到结果，侧重考察审题能力和基础运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要准确理解“完美指标”的定义，解题可按3步展开：第一步，分别找出18、19、20、21四个数的所有正因数，再将每个数的正因数分为正奇数因数、正偶数因数两类，分别求和；第二步，按照“完美指标”的运算规则：(所有正奇数因数之和 - 所有正偶数因数之和)÷该自然数，分别计算四个数的完美指标；第三步，计算每个完美指标的绝对值，绝对值越小对应数越“完美”，比较绝对值大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算18的完美指标：
18的正因数有1，2，3，6，9，18，其中正奇因数为1、3、9，和为$1+3+9=13$；正偶因数为2、6、18，和为$2+6+18=26$。
18的完美指标为：$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\frac{13}{18}$，绝对值为$\left|-\frac{13}{18}\right|=\frac{13}{18}$。
2. 计算19的完美指标：
19的正因数有1，19，均为正奇因数，无正偶因数，正奇因数和为$1+19=20$。
19的完美指标为：$(1+19)÷19=\frac{20}{19}$，绝对值为$\left|\frac{20}{19}\right|=\frac{20}{19}$。
3. 计算20的完美指标：
20的正因数有1，2，4，5，10，20，其中正奇因数为1、5，和为$1+5=6$；正偶因数为2、4、10、20，和为$2+4+10+20=36$。
20的完美指标为：$[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-\frac{3}{2}$，绝对值为$\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$。
4. 计算21的完美指标：
21的正因数有1，3，7，21，均为正奇因数，无正偶因数，正奇因数和为$1+3+7+21=32$。
21的完美指标为：$(1+3+7+21)÷21=\frac{32}{21}$，绝对值为$\left|\frac{32}{21}\right|=\frac{32}{21}$。
5. 比较绝对值大小：$\frac{13}{18}＜\frac{20}{19}＜\frac{3}{2}＜\frac{32}{21}$，即$\left|-\frac{13}{18}\right|＜\left|\frac{20}{19}\right|＜\left|-\frac{3}{2}\right|＜\left|\frac{32}{21}\right|$，因此18是四个数中最“完美”的数。
【答案】
18是18、19、20、21这四个自然数中最“完美”的数。
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，绝对值比较大小
【点评】
本题属于新定义类常规题型，核心是准确理解题目给出的运算规则，解题时需仔细枚举每个数的正因数，避免遗漏或算错因数和，再结合有理数运算和绝对值的性质比较大小即可得到结果，侧重考察审题能力和基础运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
1. $(-2)^{10}$所表示的意义是 (
A.$-2$乘10
B.2个10相乘
C.10个$(-2)$相加
D.10个$(-2)$相乘
D
)A.$-2$乘10
B.2个10相乘
C.10个$(-2)$相加
D.10个$(-2)$相乘
答案
1. D 解析 乘方是求 $n$ 个相同乘数的积的运算.
解析
【分析】
解题时首先回忆乘方的基本定义，明确$a^n$（$n$是正整数）的含义是$n$个$a$相乘，其中$a$是底数，$n$是指数。接下来先确定题目中$(-2)^{10}$的底数是$-2$，指数是10，再逐一匹配选项，排除不符合乘方意义的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义：求$n$个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$（$n$为正整数）表示$n$个$a$相乘。
对于$(-2)^{10}$，底数为$-2$，指数为10，因此它表示10个$(-2)$相乘。
对选项逐一分析：
A选项：$-2$乘10是$-2×10$，表示10个$-2$相加，不符合乘方意义，排除；
B选项：2个10相乘是$10^2$，底数和指数均与题干不符，排除；
C选项：10个$(-2)$相加是$10×(-2)$，属于加法运算的简便写法，不是乘方，排除；
D选项符合乘方的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要明确乘方、乘法、加法的意义差异，牢记乘方中底数和指数对应的含义，避免概念混淆即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆乘方的基本定义，明确$a^n$（$n$是正整数）的含义是$n$个$a$相乘，其中$a$是底数，$n$是指数。接下来先确定题目中$(-2)^{10}$的底数是$-2$，指数是10，再逐一匹配选项，排除不符合乘方意义的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义：求$n$个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$（$n$为正整数）表示$n$个$a$相乘。
对于$(-2)^{10}$，底数为$-2$，指数为10，因此它表示10个$(-2)$相乘。
对选项逐一分析：
A选项：$-2$乘10是$-2×10$，表示10个$-2$相加，不符合乘方意义，排除；
B选项：2个10相乘是$10^2$，底数和指数均与题干不符，排除；
C选项：10个$(-2)$相加是$10×(-2)$，属于加法运算的简便写法，不是乘方，排除；
D选项符合乘方的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要明确乘方、乘法、加法的意义差异，牢记乘方中底数和指数对应的含义，避免概念混淆即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
