2. 下面与算式$2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2$的值相等的是()

A.$2^4$
B.$8^2$
C.$2^6$
D.$2^8$

2. A 解析 $2^2+2^2+2^2+2^2=16$，而$2^4=16$.

【分析】
解题时可通过两种思路推导：第一种是先计算出题干中连加算式的结果，再分别计算各选项的数值，对比找到相等的选项；第二种是利用乘法的意义，将4个相同加数$2^2$的和转化为乘法形式，再结合乘方的定义推导结果，两种方法都符合七年级的知识要求，简单易操作。
【解析】
方法一：直接计算对比
先计算题干算式的值：
$2^2=4$，因此$2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2=4+4+4+4=16$。
再依次计算各选项：
A选项：$2^4=2×2×2×2=16$，与题干结果相等；
B选项：$8^2=8×8=64$，与题干结果不符；
C选项：$2^6=2×2×2×2×2×2=64$，与题干结果不符；
D选项：$2^8=256$，与题干结果不符。
方法二：转化为乘方形式推导
4个$2^2$相加可写成乘法：$2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2=4×2^2$，
又因为$4=2^2$，因此$4×2^2=2^2×2^2=2^4$，直接对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于乘方模块的基础题，核心考查对乘方定义的理解和基础计算能力，解题时可根据自己的习惯选择直接计算或者转化推导的方法，是巩固乘方基础的典型练习题。
【难度系数】
0.9

3. 下列计算正确的是 ()

A.$-2^2=4$
B.$(-2\frac{1}{2})^2=4\frac{1}{4}$
C.$(-1)^2=2$
D.$(-\frac{1}{10})^3=-\frac{1}{1000}$

3. D

【分析】
本题考查有理数乘方的基础运算，解题时需先明确乘方的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数；同时注意区分带负号的底数是否加括号（如$-2^2$的底数是2，$(-2)^2$的底数是-2），带分数做乘方运算时要先化成假分数再计算，逐一计算四个选项的结果，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：$-2^2$表示2的平方的相反数，计算得$-2^2=-(2×2)=-4≠4$，故A错误；
B选项：先把带分数$(-2\frac{1}{2})$化为假分数$-\frac{5}{2}$，再计算乘方：$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}≠4\frac{1}{4}$，故B错误；
C选项：$(-1)^2$表示2个-1相乘，计算得$(-1)^2=(-1)×(-1)=1≠2$，故C错误；
D选项：$(-\frac{1}{10})^3$表示3个$-\frac{1}{10}$相乘，负数的奇次幂为负，计算得$(-\frac{1}{10})^3=-(\frac{1}{10}×\frac{1}{10}×\frac{1}{10})=-\frac{1}{1000}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点在于容易混淆带负号的底数是否带括号的运算区别，以及带分数乘方未先化假分数就直接计算，掌握乘方的基本运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.75

4. 下列等式不成立的是()

A.$(-3)^3 = -3^3$
B.$(-1)^{85} = -1$
C.$3^2 = 2^3$
D.$(-3)^2 = -(-3^2)$

4. C 解析 $3^2=9$，而$2^3=8$，9与8不相等.

【分析】
本题考查有理数乘方的运算，解题思路是分别计算每个选项中等式左右两边的结果，再对比结果是否相等，即可找出不成立的等式。计算时要注意：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；底数带括号和不带括号时运算顺序不同，符号可能存在差异。
【解析】
我们逐一计算每个选项：
A选项：左边$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，右边$-3^3=-(3×3×3)=-27$，左右两边相等，等式成立；
B选项：$(-1)$的奇次幂为$-1$，85是奇数，因此$(-1)^{85}=-1$，等式成立；
C选项：左边$3^2=3×3=9$，右边$2^3=2×2×2=8$，$9≠8$，等式不成立；
D选项：左边$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，右边$-(-3^2)=-(-9)=9$，左右两边相等，等式成立。
因此不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，幂的符号判断
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握乘方的定义，注意区分$(-a)^n$和$-a^n$的运算差异，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9

5. 若$m^3=n^2=1$，则$m+n=$()

A.0
B.1
C.2或0
D.$-1$或1

5. C 解析 依题得 $m=1$，$n=1$ 或$-1$，所以 $m+n=2$ 或 0.

【分析】
解题时先根据乘方的性质分别求出m、n的可能取值，再分情况计算m+n的结果即可。首先思考立方等于1的数有哪些：由于奇次幂的符号和底数一致，只有1的立方为1，可确定m的值；再思考平方等于1的数有哪些：互为相反数的两个数偶次幂相等，因此平方为1的数有1和-1两个，得到n的两种取值，最后分别代入求和就能得到所有可能的结果。
【解析】
解：第一步，求m的取值：
已知$m^3=1$，根据乘方的性质，只有1的立方等于1，因此$m=1$。
第二步，求n的取值：
已知$n^2=1$，因为$1^2=1$，$(-1)^2=1$，因此$n=1$或$n=-1$。
第三步，分情况计算$m+n$的值：
①当$n=1$时，$m+n=1+1=2$；
②当$n=-1$时，$m+n=1+(-1)=0$。
综上，$m+n$的值为2或0，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.乘方的运算 2.有理数加法 3.分类讨论
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题关键是牢记平方运算的结果具有非负性，且正数的平方对应两个互为相反数的底数，避免漏算n=-1的情况导致错选。
【难度系数】
0.8

6. 用计算器计算：$(-13)^5 =$ ；$(-15)^6 =$ 。

6. $-371\ 293$ $11\ 390\ 625$

【分析】
解题时先回忆乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。首先判断两个乘方的指数奇偶性，确定结果的符号，再计算对应正数的乘方即可，也可以直接按照计算器的乘方操作步骤输入算式得到结果。第一步处理$(-13)^5$：指数5是奇数，结果为负，只需计算13的5次方后添加负号；第二步处理$(-15)^6$：指数6是偶数，结果为正，直接计算15的6次方即可。
【解析】
1. 计算$(-13)^5$：
根据乘方符号法则，负数的奇数次幂为负数，因此结果符号为负。
计算$13^5=13×13×13×13×13=371293$，因此$(-13)^5=-371293$。用计算器验证操作：依次输入“(”、“-”、“13”、“)”、“^”、“5”、“=”，可得结果为$-371293$。
2. 计算$(-15)^6$：
根据乘方符号法则，负数的偶数次幂为正数，因此结果符号为正。
计算$15^6=15×15×15×15×15×15=11390625$。用计算器验证操作：依次输入“(”、“-”、“15”、“)”、“^”、“6”、“=”，可得结果为$11390625$。
【答案】
$-371293$；$11390625$
【知识点】
乘方的符号法则；计算器的使用
【点评】
本题是乘方运算的基础题，解题时先判断结果符号再计算绝对值的乘方，能有效降低符号出错的概率，也能更高效地借助计算器得到正确结果。
【难度系数】
0.9

7. 计算$(-1)^{67}+(-1)^{28}=$.

7. 0 解析 $(-1)^{67}+(-1)^{28}=-1+1=0$.

【分析】
解题思路：首先回忆负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。特殊值-1的乘方有固定规律：当指数为奇数时，$(-1)$的n次幂等于$-1$；当指数为偶数时，$(-1)$的n次幂等于$1$。接下来先判断两个乘方的指数奇偶性：67是奇数，28是偶数，分别算出两个乘方的结果后相加求和即可。
【解析】
根据-1的乘方运算规律计算：
1. 指数67为奇数，因此$(-1)^{67}=-1$；
2. 指数28为偶数，因此$(-1)^{28}=1$；
将两个结果相加可得：$(-1)^{67}+(-1)^{28}=-1+1=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 乘方的符号法则
2. 有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对-1的乘方规律的掌握情况，解题核心是准确判断指数的奇偶性以确定乘方结果，运算量小，是乘方部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.9

8. 一种新运算的规则如下：$a*b = b^a$，如$3*2 = 2^3 = 8$。则$3*(-\frac{1}{3}) =$。

8. $-\dfrac{1}{27}$ 解析 $3 * (-\dfrac{1}{3}) =(-\dfrac{1}{3})^3=-\dfrac{1}{27}$.

【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解题目给出的运算规则，本题的运算规则为$a*b = b^a$，运算时需注意两个数的对应位置：$*$前面的数对应规则里的$a$，$*$后面的数对应规则里的$b$。本题求$3*(-\frac{1}{3})$，只需将$a$替换为3、$b$替换为$-\frac{1}{3}$，转化为学过的乘方运算$(-\frac{1}{3})^3$，再按照乘方的计算方法算出结果即可，计算时注意负数的奇次幂符号为负。
【解析】
根据新运算规则$a*b = b^a$可得：
$3*(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3$
计算乘方：
$(-\frac{1}{3})^3=\frac{(-1)^3}{3^3}=\frac{-1}{27}=-\frac{1}{27}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是准确把握新运算的对应规则，不要混淆两个参与运算的数的位置，计算乘方时要注意正确判断负数幂的符号。
【难度系数】
0.8

9. 若$x^2 = 4$，$y^3 = 27$，则x^y =

9. 8或$-8$ 解析 依题得 $x=2$ 或$-2$，$y=3$，所以 $x^y=2^3=8$ 或 $x^y=(-2)^3=-8$.

【分析】
要计算$x^y$的值，需先求出$x$、$y$的取值：①根据平方运算的特征，正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此平方等于4的数有两个，即$x=2$或$x=-2$；②根据立方运算的特征，正数的立方是正数，负数的立方是负数，因此立方等于27的数只有3，即$y=3$；最后将$x$的两种取值分别与$y=3$代入$x^y$，按乘方运算法则计算即可，注意不要遗漏$x=-2$的情况。
【解析】
解：$\because x^2=4$
$\therefore x=2$或$x=-2$
$\because y^3=27$
$\therefore y=3$
当$x=2$时，$x^y=2^3=8$
当$x=-2$时，$x^y=(-2)^3=-8$
综上，$x^y$的值为8或$-8$。
【答案】
8或$-8$
【知识点】
有理数乘方运算、平方根的性质、立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查乘方的逆运算及乘方的计算，解题的关键是牢记正数的平方根有两个且互为相反数，正数的立方根仅有一个，避免漏解。
【难度系数】
0.8

10. 已知$|x - 1| + (y + 2)^2 = 0$，则$(x + y)^5$的值为。

10. $-1$ 解析 依题得 $x=1$，$y=-2$，所以$(x+y)^5=(1-2)^5=-1$.

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和有理数的偶次平方都是非负数，两个非负数相加和为0时，每一个非负数都必须等于0。据此我们可以先分别列关于x、y的一元一次方程，求出x、y的值，再代入所求的乘方式子计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和偶次平方都具有非负性，即$|x - 1| ≥ 0$，$(y + 2)^2 ≥ 0$
又
∵ $|x - 1| + (y + 2)^2 = 0$
∴ 可得$x - 1 = 0$，$y + 2 = 0$
解得：$x = 1$，$y = -2$
将$x = 1$，$y = -2$代入$(x + y)^5$得：
原式$=(1 + (-2))^5 = (-1)^5 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查非负数的性质应用，解题关键是明确多个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，再代入按乘方法则计算即可。
【难度系数】
0.8

11. 计算：
(1)$(\dfrac{3}{2})^4$； (2)$(-2.5)^3$；
(3)$(-6)^4$.

11. 解 (1)$(\dfrac{3}{2})^4=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{81}{16}$.
(2)$(-2.5)^3=(-2.5)×(-2.5)×(-2.5)=-15.625$.
(3)$(-6)^4=(-6)×(-6)×(-6)×(-6)=1296$.

【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题思路如下：首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，解题时第一步根据指数确定相同因数的个数，第二步先判断结果符号：正数的任何次幂均为正数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，第三步计算对应因数乘积的绝对值，结合符号得到最终结果。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$(\dfrac{3}{2})^4$表示4个$\dfrac{3}{2}$相乘，即：
$(\dfrac{3}{2})^4=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{81}{16}$
(2) $(-2.5)^3$表示3个$-2.5$相乘，指数3是奇数，结果为负，即：
$(-2.5)^3=(-2.5)×(-2.5)×(-2.5)=-15.625$
(3) $(-6)^4$表示4个$-6$相乘，指数4是偶数，结果为正，即：
$(-6)^4=(-6)×(-6)×(-6)×(-6)=1296$
【答案】
(1)$\dfrac{81}{16}$；(2)$-15.625$；(3)$1296$
【知识点】
乘方的定义、有理数乘方运算、乘方符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，主要考查对乘方意义的理解和运算时的符号判断能力，计算时需注意准确区分负数奇次幂和偶次幂的符号，避免出现符号错误，同时要保证乘法计算的准确性。
【难度系数】
0.85

12. 计算：
(1)$-3^2 - (-3)^2 - 3×(-2)$；
(2)$-1 - (1+\frac{1}{2})×\frac{1}{3}÷(-4)^2$。

12. 解 (1)原式$=-9-9+6=-18+6=-12$.
(2)原式$=-1-\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{3}÷16=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{16}=-1-\dfrac{1}{32}=-\dfrac{33}{32}$.

【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。解题时需特别注意乘方的符号规则：①$-a^n$表示$a$的$n$次方的相反数，②$(-a)^n$表示$n$个$-a$相乘，二者不要混淆。
第(1)问：先分别计算两个乘方项$-3^2$和$(-3)^2$，再计算乘法项$3×(-2)$，最后按从左到右的顺序计算加减即可。
第(2)问：先计算小括号内的加法，再计算乘方项$(-4)^2$，接下来按从左到右的顺序计算乘除，最后计算减法即可。
【解析】
(1) 按照运算顺序先算乘方：
$-3^2=-9$，$(-3)^2=9$，
再算乘法：$3×(-2)=-6$，
代入原式计算加减：
原式$=-9 - 9 - (-6) = -9 -9 +6 = -18 +6 = -12$。
(2) 先算小括号内的加法：$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
再算乘方：$(-4)^2=16$，
接下来按从左到右算乘除：$\frac{3}{2}×\frac{1}{3}÷16 = \frac{1}{2}×\frac{1}{16}=\frac{1}{32}$，
最后算减法：
原式$=-1 - \frac{1}{32} = -\frac{32}{32} - \frac{1}{32} = -\frac{33}{32}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{33}{32}}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；有理数符号处理
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心易错点是区分带负号的不同乘方形式的运算结果，运算过程中要时刻注意符号的判断，严格按照运算顺序计算，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8

13. 在一次数学课上，张老师对大家说：“你任意想一个非零有理数，然后按下列步骤操作，运算出最后结果.”
操作步骤如下：
第一步，计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步，把第一步得到的数乘以25；
第三步，把第二步得到的数除以你想的这个数.
若嘟嘟同学心里想的数是－1，请你计算出最后结果.

13. 解 $[(-1+1)^2-(-1-1)^2]×25÷(-1)=[0^2-(-2)^2]×25÷(-1)=(0-4)×25÷(-1)=(-4)×25÷(-1)=(-100)÷(-1)=100$.

【分析】
本题属于按指定运算规则计算的题型，解题时先明确三步操作的运算逻辑，将所想的数-1代入操作步骤，按照有理数运算优先级：有括号先算括号内，再算乘方，之后算乘除，最后算加减的顺序逐步计算即可，计算过程中重点注意负数相关运算的符号处理。
【解析】
解：将嘟嘟心里想的数-1按操作步骤列综合算式计算：
$\begin{aligned}&[(-1+1)^2-(-1-1)^2]×25÷(-1)\\=&[0^2-(-2)^2]×25÷(-1)\\=&(0-4)×25÷(-1)\\=&(-4)×25÷(-1)\\=&(-100)÷(-1)\\=&100\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{100}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，四则运算顺序
【点评】
本题是基础运算考查题，只要严格按照题目给出的操作步骤列式，遵循有理数运算规则计算即可得分，出错点多为符号判断错误或运算顺序混淆，计算时细心核对就能避免失误。
【难度系数】
0.9