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8. 阅读与思考：
如图①，我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，截得的线段满足$\frac{AD}{DB}=\frac{FE}{EC}$。这就是如下的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）。
图①
问题原型
(1)如图②，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过点E作EF//AD交边DC于点F，点P，Q分别在矩形的边AD，BC上，连接PQ交EF于点M。求证：PM=QM。
图②
结论应用
如图③，在(1)的基础上，在边BC上取一点R(不与点Q重合)，连接PR交EF于点N。
(2)若MN=4，则QR的长为
(3)如图④，当点Q与点B重合，点R与点C重合时，若BC=10，且△PMN的周长的最小值为12，求AB的长。
图③ 图④
如图①，我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，截得的线段满足$\frac{AD}{DB}=\frac{FE}{EC}$。这就是如下的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）。
图①
问题原型
(1)如图②，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过点E作EF//AD交边DC于点F，点P，Q分别在矩形的边AD，BC上，连接PQ交EF于点M。求证：PM=QM。
图②
结论应用
如图③，在(1)的基础上，在边BC上取一点R(不与点Q重合)，连接PR交EF于点N。
(2)若MN=4，则QR的长为
8
。(3)如图④，当点Q与点B重合，点R与点C重合时，若BC=10，且△PMN的周长的最小值为12，求AB的长。
图③ 图④
答案
8.(1)证明:
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$。
∵$EF// AD$，
∴$AD// EF// BC$，
∴$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴PM=QM。
(2)8
(3)解:如图,作点C关于AD的对称点G,连接PG,BG,DG,则$PB+PC=PB+PG≥ BG$。
当点P在BG上时,PB+PC取最小值。
∵$AD// BC$,D是CG的中点，
∴$\frac{PG}{PB}=\frac{DG}{DC}=1$，
∴PB=PG,即P是BG的中点，
∴DP是$△ GBC$的中位线，
∴$DP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
∴当AP=DP时,PB+PC取最小值。
由(1)得PM=QM,同理可得PN=RN，
∴MN是$△ PQR$的中位线，
∴BC=2MN。
∵BC=10,$△ PMN$周长的最小值为12，
∴PM+PN+MN=12，
∴$△ PBC$的周长为$PB+PC+BC=2(PM+PN+MN)=24$，
∴$PA=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5, PB+PC=24-10=14$，
∴PB=PC=7。
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$，
∴AB的长为$2\sqrt{6}$。
解析
【分析】
(1) 要证明PM=QM，可结合题干给出的平行线分线段成比例基本事实推导：首先由矩形性质得AD//BC，结合EF//AD可得AD、EF、BC三条直线互相平行，再结合E是AB中点即AE=BE，代入比例关系可得PM与QM的比值为1，即可得证。
(2) 类比(1)的结论可得M是PQ中点、N是PR中点，因此MN是△PQR的中位线，根据中位线性质“中位线长等于第三边的一半”，代入MN=4即可求出QR的长。
(3) 要求AB的长，首先△PMN的周长最小，由(1)(2)的结论可知MN是△PBC的中位线，MN长度固定为BC的一半即5，因此周长最小等价于PM+PN最小，即PB+PC最小。利用轴对称的性质，作C关于AD的对称点G，将PB+PC转化为PB+PG，根据两点之间线段最短，当P在BG与AD的交点时和最小，再结合中位线性质、勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 证明:
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$。
∵$EF// AD$，
∴$AD// EF// BC$，
根据平行线分线段成比例可得$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴PM=QM。
(2) 由(1)的推理同理可得：在△PQR中，M为PQ中点，N为PR中点，因此MN是△PQR的中位线，
∴$QR=2MN=2×4=8$。
(3) 解:作点C关于AD的对称点G,连接PG,BG,DG,根据轴对称的性质得$PC=PG$，因此$PB+PC=PB+PG≥ BG$。
当点P在BG上时，PB+PC取最小值。
∵$AD// BC$,D是CG的中点，
根据平行线分线段成比例得$\frac{PG}{PB}=\frac{DG}{DC}=1$，
∴PB=PG，即P是BG的中点，
∴DP是$△GBC$的中位线，
∴$DP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
即当AP=DP时，PB+PC取最小值。
由(1)得PM=QM，同理可得PN=RN，
∴MN是$△PBC$的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$△PMN$周长的最小值为12，
∴$PM+PN+MN=12$，
∴$PM+PN=7$，
∴$PB+PC=2PM+2PN=2(PM+PN)=14$。
又
∵$PA=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5$，且PB=PC，
∴$PB=PC=7$。
在$\mathrm{Rt}△BAP$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$。
【答案】
(1)证明:
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$。
∵$EF// AD$，
∴$AD// EF// BC$，
∴$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴PM=QM。
(2)$\boxed{8}$
(3)解:如图,作点C关于AD的对称点G,连接PG,BG,DG,则$PB+PC=PB+PG≥ BG$。
当点P在BG上时,PB+PC取最小值。
∵$AD// BC$,D是CG的中点，
∴$\frac{PG}{PB}=\frac{DG}{DC}=1$，
∴PB=PG,即P是BG的中点，
∴DP是$△ GBC$的中位线，
∴$DP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
∴当AP=DP时,PB+PC取最小值。
由(1)得PM=QM,同理可得PN=RN，
∴MN是$△ PQR$的中位线，
∴BC=2MN。
∵BC=10,$△ PMN$周长的最小值为12，
∴PM+PN+MN=12，
∴$△ PBC$的周长为$PB+PC+BC=2(PM+PN+MN)=24$，
∴$PA=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5, PB+PC=24-10=14$，
∴PB=PC=7。
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$，
∴AB的长为$2\sqrt{6}$。
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形中位线定理、轴对称最短路径
【点评】
本题以矩形为背景，从基础的平行线分线段成比例证明入手，逐步延伸到中位线的应用和线段最值问题，考查了对几何基本性质的掌握程度，以及转化思想在最值问题中的应用，综合性较强，需要具备较好的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明PM=QM，可结合题干给出的平行线分线段成比例基本事实推导：首先由矩形性质得AD//BC，结合EF//AD可得AD、EF、BC三条直线互相平行，再结合E是AB中点即AE=BE，代入比例关系可得PM与QM的比值为1，即可得证。
(2) 类比(1)的结论可得M是PQ中点、N是PR中点，因此MN是△PQR的中位线，根据中位线性质“中位线长等于第三边的一半”，代入MN=4即可求出QR的长。
(3) 要求AB的长，首先△PMN的周长最小，由(1)(2)的结论可知MN是△PBC的中位线，MN长度固定为BC的一半即5，因此周长最小等价于PM+PN最小，即PB+PC最小。利用轴对称的性质，作C关于AD的对称点G，将PB+PC转化为PB+PG，根据两点之间线段最短，当P在BG与AD的交点时和最小，再结合中位线性质、勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 证明:
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$。
∵$EF// AD$，
∴$AD// EF// BC$，
根据平行线分线段成比例可得$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴PM=QM。
(2) 由(1)的推理同理可得：在△PQR中，M为PQ中点，N为PR中点，因此MN是△PQR的中位线，
∴$QR=2MN=2×4=8$。
(3) 解:作点C关于AD的对称点G,连接PG,BG,DG,根据轴对称的性质得$PC=PG$，因此$PB+PC=PB+PG≥ BG$。
当点P在BG上时，PB+PC取最小值。
∵$AD// BC$,D是CG的中点，
根据平行线分线段成比例得$\frac{PG}{PB}=\frac{DG}{DC}=1$，
∴PB=PG，即P是BG的中点，
∴DP是$△GBC$的中位线，
∴$DP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
即当AP=DP时，PB+PC取最小值。
由(1)得PM=QM，同理可得PN=RN，
∴MN是$△PBC$的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}BC=5$。
∵$△PMN$周长的最小值为12，
∴$PM+PN+MN=12$，
∴$PM+PN=7$，
∴$PB+PC=2PM+2PN=2(PM+PN)=14$。
又
∵$PA=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5$，且PB=PC，
∴$PB=PC=7$。
在$\mathrm{Rt}△BAP$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$。
【答案】
(1)证明:
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$。
∵$EF// AD$，
∴$AD// EF// BC$，
∴$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴PM=QM。
(2)$\boxed{8}$
(3)解:如图,作点C关于AD的对称点G,连接PG,BG,DG,则$PB+PC=PB+PG≥ BG$。
当点P在BG上时,PB+PC取最小值。
∵$AD// BC$,D是CG的中点，
∴$\frac{PG}{PB}=\frac{DG}{DC}=1$，
∴PB=PG,即P是BG的中点，
∴DP是$△ GBC$的中位线，
∴$DP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
∴当AP=DP时,PB+PC取最小值。
由(1)得PM=QM,同理可得PN=RN，
∴MN是$△ PQR$的中位线，
∴BC=2MN。
∵BC=10,$△ PMN$周长的最小值为12，
∴PM+PN+MN=12，
∴$△ PBC$的周长为$PB+PC+BC=2(PM+PN+MN)=24$，
∴$PA=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5, PB+PC=24-10=14$，
∴PB=PC=7。
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$，
∴AB的长为$2\sqrt{6}$。
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形中位线定理、轴对称最短路径
【点评】
本题以矩形为背景，从基础的平行线分线段成比例证明入手，逐步延伸到中位线的应用和线段最值问题，考查了对几何基本性质的掌握程度，以及转化思想在最值问题中的应用，综合性较强，需要具备较好的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
