11. 如图①,在△ABC中,AE是△ABC的角平分线(∠C＞∠B),F为AE上一点,且FD⊥BC于点D.
(1)试推导∠EFD与∠B,∠C的数量关系;
(2)如图②,当点F在AE的延长线上时,其他条件都不变,判断你在(1)中推导的结论是否成立,并说明理由.

(1)$\because \quad AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore \quad ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$.
$\therefore \quad ∠ FED = ∠ BAE + ∠ B = 90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C+∠ B=90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$.
$\because \quad FD ⊥ BC$,
$\therefore \quad ∠ FDE=90°$.
$\therefore \quad ∠ EFD+∠ FED=90°$.
$\therefore \quad ∠ EFD = 90° - ∠ FED = 90°-(90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)=\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
(2)成立.
理由:$\because \quad AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore \quad ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$.
$\therefore \quad ∠ AEC = ∠ BAE + ∠ B = 90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C+∠ B=90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$,
即$∠ DEF=90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$.
$\because \quad FD ⊥ BC$,
$\therefore \quad ∠ FDE=90°$.
$\therefore \quad ∠ EFD+∠ DEF=90°$.
$\therefore \quad ∠ EFD=90°-∠ DEF=90°-(90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)=\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.

【分析】
(1) 要推导∠EFD与∠B、∠C的数量关系，首先由FD⊥BC可知△FED是直角三角形，∠EFD与∠FED互余，因此只需将∠FED用∠B、∠C表示即可。∠FED是△ABE的外角，根据外角性质等于∠B+∠BAE；又AE是∠BAC的角平分线，∠BAE是∠BAC的一半，结合三角形内角和定理可将∠BAC用∠B、∠C表示，逐层代入即可得到三者的数量关系。
(2) 点F在AE延长线上时，推导思路与(1)一致：此时∠DEF与∠AEC是对顶角，二者相等，而∠AEC仍是△ABE的外角，后续推导步骤和(1)完全相同，即可判断原结论是否成立。
【解析】
(1) $\because$ AE平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAE = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}(180°-∠B-∠C)=90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$.
$\therefore ∠FED = ∠BAE + ∠B = 90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C+∠B=90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$.
$\because FD ⊥ BC$,
$\therefore ∠FDE=90°$.
$\therefore ∠EFD+∠FED=90°$.
$\therefore ∠EFD = 90° - ∠FED = 90°-(90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C)=\frac{1}{2}∠C-\frac{1}{2}∠B=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$.
(2) 结论成立，理由如下：
$\because$ AE平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAE = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}(180°-∠B-∠C)=90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$.
$\therefore ∠AEC = ∠BAE + ∠B = 90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C+∠B=90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$,
即$∠DEF=90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$.
$\because FD ⊥ BC$,
$\therefore ∠FDE=90°$.
$\therefore ∠EFD+∠DEF=90°$.
$\therefore ∠EFD=90°-∠DEF=90°-(90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C)=\frac{1}{2}∠C-\frac{1}{2}∠B=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠EFD=\frac{1}{2}(∠C-∠B)}$
(2) 结论仍然成立，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度推导的典型题型，核心是通过外角性质、内角和定理将未知角逐步转化为用已知角表示，两小问推导思路一致，仅第二问需要借助对顶角相等的性质过渡，掌握角度等量代换的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

12. 如图①，$△ AOB$和$△ COD$是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$. 这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字形”图.
(1)请你证明上述结论；
(2)利用这个结论，完成下列填空：
如图②，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ ；
如图③，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ ；
如图④，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 =$ ；
如图⑤，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 7 =$ .

(1)$\because \quad ∠ AOB+∠ A+∠ B=180°$,
$\therefore \quad ∠ AOB=180°-∠ A-∠ B$.
$\because \quad ∠ AOB=∠ COD$,
$\therefore \quad ∠ COD=180°-∠ A-∠ B$.
$\because \quad ∠ COD+∠ C+∠ D=180°$,
$\therefore \quad 180°-∠ A-∠ B+∠ C+∠ D=180°$.
$\therefore \quad ∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.
(2)$180°\quad 180°\quad 360°\quad 540°$

【分析】
(1) 要证明“8字形”的角度结论，可利用三角形内角和为180°，分别表示出两个三角形中除对顶角外的两角之和，再结合对顶角相等的性质推导即可。
(2) 求解多角和的问题时，通过作辅助线构造“8字形”模型，将分散的角转化到同一个三角形或多边形中，再结合三角形、多边形内角和公式计算总和即可。
【解析】
(1) 证明：
在$△ AOB$中，根据三角形内角和定理得$∠ AOB+∠ A+∠ B=180°$，
$\therefore ∠ AOB=180°-∠ A-∠ B$，
$\because ∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore ∠ COD=180°-∠ A-∠ B$，
在$△ COD$中，根据三角形内角和定理得$∠ COD+∠ C+∠ D=180°$，
将$∠ COD=180°-∠ A-∠ B$代入得：$180°-∠ A-∠ B+∠ C+∠ D=180°$，
整理可得$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$，结论得证。
(2) ① 图②：连接$CD$，由“8字形”结论可得$∠ A+∠ B=∠ ACD+∠ BDC$，则原式可转化为$∠ DCE+∠ CDE+∠ E$，恰好是$△ CDE$的内角和，为$180°$；
② 图③：同理构造“8字形”转化角度后，所有角可凑成1个三角形的内角和，为$180°$；
③ 图④：构造“8字形”转化角度后，所有角可凑成1个四边形的内角和，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$；
④ 图⑤：构造“8字形”转化角度后，所有角可凑成1个五边形的内角和，五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $180°$；$180°$；$360°$；$540°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题围绕“8字形”这一常见几何模型设置问题，既考查了模型的推导逻辑，又考查了模型的迁移应用能力。解题核心是通过构造辅助线将分散的角度集中，结合已学的内角和公式快速求解，熟练掌握基础几何模型能有效降低复杂几何题的解题难度。
【难度系数】
0.7