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1. 从一艘船上测得海岸上高为 42 m 的灯塔顶部的仰角是 $45°$，则船离灯塔的水平距离为（
A.$42\sqrt{3}$ m
B.$14\sqrt{3}$ m
C.21 m
D.42 m
D
）A.$42\sqrt{3}$ m
B.$14\sqrt{3}$ m
C.21 m
D.42 m
答案
1.D
解析
【分析】
这是解直角三角形在实际问题中的应用类题目，解题时先明确仰角的定义：仰角是视线在水平线以上时，视线与水平线的夹角。结合题意可知，灯塔垂直于海岸水平面，因此船的位置、灯塔底部、灯塔顶部三点构成直角三角形，其中灯塔高度是该直角三角形中仰角对应的对边，船到灯塔的水平距离是仰角对应的邻边，我们可以利用正切三角函数的定义建立等量关系求解。
【解析】
设船离灯塔的水平距离为$x$ m。
由题意得，在直角三角形中，$\tan\mathrm{仰角}=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{\mathrm{灯塔高度}}{\mathrm{水平距离}}$，代入已知条件可得：
$\tan45°=\frac{42}{x}$
因为特殊角的三角函数值中$\tan45°=1$，代入上式得：
$1=\frac{42}{x}$
解得$x=42$，即船离灯塔的水平距离为42 m。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；仰角的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于仰角相关的基础应用题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边角关系问题，掌握仰角概念和特殊角三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这是解直角三角形在实际问题中的应用类题目，解题时先明确仰角的定义：仰角是视线在水平线以上时，视线与水平线的夹角。结合题意可知，灯塔垂直于海岸水平面，因此船的位置、灯塔底部、灯塔顶部三点构成直角三角形，其中灯塔高度是该直角三角形中仰角对应的对边，船到灯塔的水平距离是仰角对应的邻边，我们可以利用正切三角函数的定义建立等量关系求解。
【解析】
设船离灯塔的水平距离为$x$ m。
由题意得，在直角三角形中，$\tan\mathrm{仰角}=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{\mathrm{灯塔高度}}{\mathrm{水平距离}}$，代入已知条件可得：
$\tan45°=\frac{42}{x}$
因为特殊角的三角函数值中$\tan45°=1$，代入上式得：
$1=\frac{42}{x}$
解得$x=42$，即船离灯塔的水平距离为42 m。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；仰角的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于仰角相关的基础应用题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边角关系问题，掌握仰角概念和特殊角三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. [教材P142练习第1题改编]如图,某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C,此时飞机高度$AC=1200$ m,从飞机上看地面控制点B的俯角为$α=30°$,则A处到控制点B的距离为 (
A.1200 m
B.$1200\sqrt{2}$ m
C.$1200\sqrt{3}$ m
D.2400 m
D
)A.1200 m
B.$1200\sqrt{2}$ m
C.$1200\sqrt{3}$ m
D.2400 m
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先明确俯角的概念：俯角是视线与水平线的夹角。由图可知AD、BC均为水平线，可得AD//BC，利用平行线内错角相等可将俯角α转化为Rt△ABC的内角∠B；再观察Rt△ABC的边角关系：已知∠C为直角，AC是∠B的对边，AB是斜边，选择正弦函数即可建立已知量和未知量的关系，代入计算即可求出AB的长度。
【解析】
∵AD//BC，
∴∠B=∠α=30°，
∵AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
将AC=1200m，$\sin30°=\frac{1}{2}$代入得：
$AB=\frac{AC}{\sin B}=\frac{1200}{\frac{1}{2}}=2400(\mathrm{m})$
【答案】
D
【知识点】
1.俯角的定义
2.平行线的性质
3.解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形应用的基础题型，解题核心是把实际问题中的俯角转化为直角三角形的内角，结合特殊角的三角函数值即可快速求解，熟练掌握直角三角形的边角关系是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先明确俯角的概念：俯角是视线与水平线的夹角。由图可知AD、BC均为水平线，可得AD//BC，利用平行线内错角相等可将俯角α转化为Rt△ABC的内角∠B；再观察Rt△ABC的边角关系：已知∠C为直角，AC是∠B的对边，AB是斜边，选择正弦函数即可建立已知量和未知量的关系，代入计算即可求出AB的长度。
【解析】
∵AD//BC，
∴∠B=∠α=30°，
∵AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
将AC=1200m，$\sin30°=\frac{1}{2}$代入得：
$AB=\frac{AC}{\sin B}=\frac{1200}{\frac{1}{2}}=2400(\mathrm{m})$
【答案】
D
【知识点】
1.俯角的定义
2.平行线的性质
3.解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形应用的基础题型，解题核心是把实际问题中的俯角转化为直角三角形的内角，结合特殊角的三角函数值即可快速求解，熟练掌握直角三角形的边角关系是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8
3.某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为$30°$,另一端B处的俯角为$45°$.若直升机镜头C处的高度CD为200 m,点A,D,B在同一条直线上,则雪道AB的长度为 (
A.200 m
B.$(200+200\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.600 m
D.$(200+200\sqrt{2})\mathrm{m}$
B
)A.200 m
B.$(200+200\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.600 m
D.$(200+200\sqrt{2})\mathrm{m}$
答案
3.B
解析
【分析】
首先根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，可得∠A=30°，∠B=45°；已知CD⊥AB且CD=200m，此时△ACD和△BCD均为直角三角形，我们可以分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出AD、BD的长度，最后将两段长度相加即可得到雪道AB的长度。
【解析】
由题意得：CD⊥AB，CD=200m，过C的水平线与AB平行，根据平行线内错角相等，可知∠A=30°，∠B=45°。
在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，
∴$AD=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{200}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，∠B=45°，△BCD为等腰直角三角形，
∴$BD=CD=200\ \mathrm{m}$。
因此$AB=AD+BD=200\sqrt{3}+200=(200+200\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
俯角的性质；解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题关键是将俯角条件转化为直角三角形的内角度数，把实际问题转化为直角三角形计算问题，是该知识点模块的常考典型题型。
【难度系数】
0.75
首先根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，可得∠A=30°，∠B=45°；已知CD⊥AB且CD=200m，此时△ACD和△BCD均为直角三角形，我们可以分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出AD、BD的长度，最后将两段长度相加即可得到雪道AB的长度。
【解析】
由题意得：CD⊥AB，CD=200m，过C的水平线与AB平行，根据平行线内错角相等，可知∠A=30°，∠B=45°。
在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，
∴$AD=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{200}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，∠B=45°，△BCD为等腰直角三角形，
∴$BD=CD=200\ \mathrm{m}$。
因此$AB=AD+BD=200\sqrt{3}+200=(200+200\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
俯角的性质；解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题关键是将俯角条件转化为直角三角形的内角度数，把实际问题转化为直角三角形计算问题，是该知识点模块的常考典型题型。
【难度系数】
0.75
4. 如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他做了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=1.2 m;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b m. 利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为 (
A.$(1.2+\frac{b}{\sinα})\mathrm{m}$
B.$(1.2+\frac{b}{\tanα})\mathrm{m}$
C.$(1.2+b\sinα)\mathrm{m}$
D.$(1.2+b\tanα)\mathrm{m}$
D
)A.$(1.2+\frac{b}{\sinα})\mathrm{m}$
B.$(1.2+\frac{b}{\tanα})\mathrm{m}$
C.$(1.2+b\sinα)\mathrm{m}$
D.$(1.2+b\tanα)\mathrm{m}$
答案
4.D
解析
【分析】
遇到仰角测高度的实际问题，首先要构造直角三角形，将已知的水平距离、测角仪高度转化为直角三角形的边或矩形的边：第一步过C作CE垂直AB，得到矩形CDBE，即可得到CE的长度等于水平距离b，BE的长度等于测角仪高度1.2m；第二步在Rt△ACE中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知仰角α，求出直角边AE的长度；第三步旗杆总高度为AE加BE，代入即可得到结果。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，CE⊥AB，
∴ 四边形CDBE是矩形，
∴ CE=DB=b m，BE=CD=1.2 m。
在Rt△ACE中，∠ACE=α，根据正切的定义：
$\tanα=\frac{AE}{CE}$，
∴ $AE=CE·\tanα = b·\tanα$ m，
∴ 旗杆高度$AB=AE+BE=(1.2 + b\tanα)$ m，故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；正切的定义；矩形的性质
【点评】
本题是仰角测量高度的基础应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到仰角测高度的实际问题，首先要构造直角三角形，将已知的水平距离、测角仪高度转化为直角三角形的边或矩形的边：第一步过C作CE垂直AB，得到矩形CDBE，即可得到CE的长度等于水平距离b，BE的长度等于测角仪高度1.2m；第二步在Rt△ACE中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知仰角α，求出直角边AE的长度；第三步旗杆总高度为AE加BE，代入即可得到结果。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，CE⊥AB，
∴ 四边形CDBE是矩形，
∴ CE=DB=b m，BE=CD=1.2 m。
在Rt△ACE中，∠ACE=α，根据正切的定义：
$\tanα=\frac{AE}{CE}$，
∴ $AE=CE·\tanα = b·\tanα$ m，
∴ 旗杆高度$AB=AE+BE=(1.2 + b\tanα)$ m，故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；正切的定义；矩形的性质
【点评】
本题是仰角测量高度的基础应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. [新课标—数学文化题]“二鸟饮泉”问题中有这样一道题:两塔高分别为 30 步和 20 步.两塔之间有喷泉,两鸟从两塔顶同时出发,以相同速度沿直线飞往喷泉中心,同时抵达.喷泉与两塔在同一平面内,求两塔之间的距离.如图,已知$AC⊥AB$,$BD⊥AB$,$M$是$AB$上一点,$CM=DM$,在$C$处测得点$M$的俯角为$60°$,$AC=30$步,$BD=20$步,则$AB=$
$(10\sqrt{3}+20\sqrt{2})$
步.(结果保留根号)答案
5. $(10\sqrt{3}+20\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时先根据已知的垂直关系得到两个直角三角形，首先利用俯角的性质得到Rt△ACM中的锐角角度，结合AC的长度，通过三角函数计算出AM和CM的长度；再根据CM=DM得到DM的长度，在Rt△BDM中用勾股定理计算BM的长度，最后AB为AM与BM的和，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵$AC⊥AB$，在$C$处测得点$M$的俯角为$60°$，
∴$∠CMA=60°$，
在$Rt△ACM$中，$AC=30$步，
∵$\tan∠CMA = \frac{AC}{AM}$，即$\tan60°=\frac{30}{AM}=\sqrt{3}$，
∴$AM=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}$（步），
由勾股定理得：$CM=\sqrt{AC^2 + AM^2}=\sqrt{30^2 + (10\sqrt{3})^2}=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}$（步），
∵$CM=DM$，
∴$DM=20\sqrt{3}$步，
∵$BD⊥AB$，
∴$△BDM$为直角三角形，$BD=20$步，
由勾股定理得：$BM=\sqrt{DM^2 - BD^2}=\sqrt{(20\sqrt{3})^2 - 20^2}=\sqrt{1200 - 400}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}$（步），
∴$AB=AM+BM=10\sqrt{3}+20\sqrt{2}$（步）。
【答案】
$\boxed{10\sqrt{3}+20\sqrt{2}}$
【知识点】
俯角的应用，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题结合传统数学文化考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是将实际问题中的角度、长度关系转化为直角三角形的边角关系，再利用三角函数和勾股定理求解，需要注意运算时根式的化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知的垂直关系得到两个直角三角形，首先利用俯角的性质得到Rt△ACM中的锐角角度，结合AC的长度，通过三角函数计算出AM和CM的长度；再根据CM=DM得到DM的长度，在Rt△BDM中用勾股定理计算BM的长度，最后AB为AM与BM的和，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵$AC⊥AB$，在$C$处测得点$M$的俯角为$60°$，
∴$∠CMA=60°$，
在$Rt△ACM$中，$AC=30$步，
∵$\tan∠CMA = \frac{AC}{AM}$，即$\tan60°=\frac{30}{AM}=\sqrt{3}$，
∴$AM=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}$（步），
由勾股定理得：$CM=\sqrt{AC^2 + AM^2}=\sqrt{30^2 + (10\sqrt{3})^2}=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}$（步），
∵$CM=DM$，
∴$DM=20\sqrt{3}$步，
∵$BD⊥AB$，
∴$△BDM$为直角三角形，$BD=20$步，
由勾股定理得：$BM=\sqrt{DM^2 - BD^2}=\sqrt{(20\sqrt{3})^2 - 20^2}=\sqrt{1200 - 400}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}$（步），
∴$AB=AM+BM=10\sqrt{3}+20\sqrt{2}$（步）。
【答案】
$\boxed{10\sqrt{3}+20\sqrt{2}}$
【知识点】
俯角的应用，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题结合传统数学文化考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是将实际问题中的角度、长度关系转化为直角三角形的边角关系，再利用三角函数和勾股定理求解，需要注意运算时根式的化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6. [2026·六安霍邱二模]某观众坐在春晚现场的A位置观看舞台上的大屏幕.从A点看屏幕顶端的仰角∠DAE约为45°,看屏幕底端的俯角∠EAC约为15°,A点距离屏幕所在墙面的水平距离AE约为10 m,求舞台上的大屏幕的高度DC约是多少.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sin 15° \approx 0.26,\cos 15° \approx 0.97,\tan 15° \approx 0.27)$
答案
6. 舞台上的大屏幕的高度 DC 约是 12.7 m.
解析
【分析】
本题属于解直角三角形中仰角俯角的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意可知水平距离AE垂直于大屏幕所在的竖直墙面，因此可将大屏幕高度DC拆分为DE、EC两段，分别置于Rt△ADE和Rt△ACE两个直角三角形中；再利用仰角、俯角的正切值，结合已知的AE长度，分别求出DE和EC的长度，最后将两段长度相加即可得到DC的总高度。
【解析】
由题意得：$AE ⊥ DC$，即$∠ AED = ∠ AEC = 90°$。
1. 在$Rt△ ADE$中，$∠ DAE = 45°$，$AE = 10\ \mathrm{m}$，
$\because \tan∠ DAE = \frac{DE}{AE}$，$\tan45° = 1$，
$\therefore DE = AE · \tan45° = 10 × 1 = 10\ \mathrm{m}$。
2. 在$Rt△ ACE$中，$∠ EAC = 15°$，$AE = 10\ \mathrm{m}$，
$\because \tan∠ EAC = \frac{EC}{AE}$，$\tan15° \approx 0.27$，
$\therefore EC = AE · \tan15° \approx 10 × 0.27 = 2.7\ \mathrm{m}$。
3. 大屏幕高度$DC = DE + EC = 10 + 2.7 = 12.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
舞台上的大屏幕的高度DC约是12.7 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 仰角俯角的概念 3. 正切函数的应用
【点评】
本题是仰角俯角类应用题的基础题型，核心考查将实际问题转化为直角三角形几何模型的能力，只要准确找到对应直角三角形的边角关系，结合已知三角函数值即可顺利求解，计算量较小。
【难度系数】
0.8
本题属于解直角三角形中仰角俯角的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意可知水平距离AE垂直于大屏幕所在的竖直墙面，因此可将大屏幕高度DC拆分为DE、EC两段，分别置于Rt△ADE和Rt△ACE两个直角三角形中；再利用仰角、俯角的正切值，结合已知的AE长度，分别求出DE和EC的长度，最后将两段长度相加即可得到DC的总高度。
【解析】
由题意得：$AE ⊥ DC$，即$∠ AED = ∠ AEC = 90°$。
1. 在$Rt△ ADE$中，$∠ DAE = 45°$，$AE = 10\ \mathrm{m}$，
$\because \tan∠ DAE = \frac{DE}{AE}$，$\tan45° = 1$，
$\therefore DE = AE · \tan45° = 10 × 1 = 10\ \mathrm{m}$。
2. 在$Rt△ ACE$中，$∠ EAC = 15°$，$AE = 10\ \mathrm{m}$，
$\because \tan∠ EAC = \frac{EC}{AE}$，$\tan15° \approx 0.27$，
$\therefore EC = AE · \tan15° \approx 10 × 0.27 = 2.7\ \mathrm{m}$。
3. 大屏幕高度$DC = DE + EC = 10 + 2.7 = 12.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
舞台上的大屏幕的高度DC约是12.7 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 仰角俯角的概念 3. 正切函数的应用
【点评】
本题是仰角俯角类应用题的基础题型，核心考查将实际问题转化为直角三角形几何模型的能力，只要准确找到对应直角三角形的边角关系，结合已知三角函数值即可顺利求解，计算量较小。
【难度系数】
0.8
