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1. $\sin 45°$的值是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题思路如下：首先明确正弦的定义是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，我们可以通过构造含45°角的等腰直角三角形，结合勾股定理计算边长比得到sin45°的值，也可以直接回忆已识记的30°、45°、60°特殊角的三角函数表，直接匹配对应数值即可选出答案。
【解析】
方法一：根据正弦的定义推导
在等腰直角三角形中，两个锐角均为45°，设两条直角边的长度均为1，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
根据锐角正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$，因此$\sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方法二：直接识记特殊角三角函数值
常用特殊角的三角函数值中，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.正弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题思路如下：首先明确正弦的定义是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，我们可以通过构造含45°角的等腰直角三角形，结合勾股定理计算边长比得到sin45°的值，也可以直接回忆已识记的30°、45°、60°特殊角的三角函数表，直接匹配对应数值即可选出答案。
【解析】
方法一：根据正弦的定义推导
在等腰直角三角形中，两个锐角均为45°，设两条直角边的长度均为1，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
根据锐角正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$，因此$\sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方法二：直接识记特殊角三角函数值
常用特殊角的三角函数值中，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.正弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. $\cos 30°$的值是 （
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的余弦值，解题思路有两种：一是直接记忆30°角的三角函数值得出结果；二是结合含30°角的直角三角形的性质和余弦的定义推导得出。首先回忆余弦的定义：锐角的余弦是其邻边与斜边的比值，再结合含30°直角三角形三边的比例关系，即可算出cos30°的值，最后匹配对应选项。
【解析】
方法一：直接记忆特殊角的三角函数值，可得$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
方法二：推导计算：在含有30°角的直角三角形中，设30°角对的直角边长为1，由“30°角所对直角边是斜边的一半”可知斜边长为2，根据勾股定理可得30°角的邻边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据余弦的定义：$\cosα=\dfrac{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}$，因此$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角余弦的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值是快速解决这类问题的核心，也可结合直角三角形的性质推导得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的余弦值，解题思路有两种：一是直接记忆30°角的三角函数值得出结果；二是结合含30°角的直角三角形的性质和余弦的定义推导得出。首先回忆余弦的定义：锐角的余弦是其邻边与斜边的比值，再结合含30°直角三角形三边的比例关系，即可算出cos30°的值，最后匹配对应选项。
【解析】
方法一：直接记忆特殊角的三角函数值，可得$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
方法二：推导计算：在含有30°角的直角三角形中，设30°角对的直角边长为1，由“30°角所对直角边是斜边的一半”可知斜边长为2，根据勾股定理可得30°角的邻边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据余弦的定义：$\cosα=\dfrac{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}$，因此$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角余弦的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值是快速解决这类问题的核心，也可结合直角三角形的性质推导得出结果。
【难度系数】
0.9
3. [2026·滁州琅琊区校级一模]下列三角函数值是有理数的是（
A.$\sin 30°$
B.$\cos 45°$
C.$\sin 60°$
D.$\tan 30°$
A
）A.$\sin 30°$
B.$\cos 45°$
C.$\sin 60°$
D.$\tan 30°$
答案
3.A
解析
【分析】
本题需要结合特殊角的三角函数值和有理数的定义解题，解题思路如下：第一步，明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，开方开不尽的数、无限不循环小数属于无理数；第二步，分别计算四个选项中特殊角的三角函数值；第三步，逐一判断每个值是否为有理数，选出符合要求的选项。
【解析】
分别计算各选项的三角函数值，再判断是否为有理数：
A. $\sin30°=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
B. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求；
C. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
D. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$是无理数，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；有理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及有理数和无理数的区分能力，熟记常见特殊角的三角函数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题需要结合特殊角的三角函数值和有理数的定义解题，解题思路如下：第一步，明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，开方开不尽的数、无限不循环小数属于无理数；第二步，分别计算四个选项中特殊角的三角函数值；第三步，逐一判断每个值是否为有理数，选出符合要求的选项。
【解析】
分别计算各选项的三角函数值，再判断是否为有理数：
A. $\sin30°=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
B. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求；
C. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
D. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$是无理数，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；有理数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及有理数和无理数的区分能力，熟记常见特殊角的三角函数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 关于$\sin 60°$，下列说法正确的是 （
A.只有在直角三角形中，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.只有在直角或锐角三角形中，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.无论在锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形中，都有$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$60°$角在不同三角形中，它的正弦值也跟着改变
C
）A.只有在直角三角形中，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.只有在直角或锐角三角形中，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.无论在锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形中，都有$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$60°$角在不同三角形中，它的正弦值也跟着改变
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先要明确核心结论：任意一个确定度数的锐角，它的三角函数值是固定不变的，和这个角所在的三角形类型没有关系。60°是确定的锐角，其正弦值恒为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，接下来逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
对于度数确定的角，它的三角函数值是固定的，与该角所在的图形无关。60°是固定的锐角，因此$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$是恒定值，无论这个60°的角出现在锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形中，它的正弦值都不会发生变化。
对各选项判断如下：
A. 钝角三角形中若存在60°的角，该角的正弦值仍然为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，并非只有直角三角形中成立，故A错误；
B. 钝角三角形中60°角的正弦值也为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故B错误；
C. 无论60°角在锐角、直角还是钝角三角形中，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$都成立，故C正确；
D. 60°角的度数固定，它的正弦值不会随所在三角形的变化而改变，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的概念
【点评】
本题易错误认为三角函数仅能在直角三角形中使用，实际上确定角度的三角函数值是固定的，若要计算非直角三角形中锐角的三角函数值，可通过作高转化为直角三角形求解，结果不会发生变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确核心结论：任意一个确定度数的锐角，它的三角函数值是固定不变的，和这个角所在的三角形类型没有关系。60°是确定的锐角，其正弦值恒为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，接下来逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
对于度数确定的角，它的三角函数值是固定的，与该角所在的图形无关。60°是固定的锐角，因此$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$是恒定值，无论这个60°的角出现在锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形中，它的正弦值都不会发生变化。
对各选项判断如下：
A. 钝角三角形中若存在60°的角，该角的正弦值仍然为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，并非只有直角三角形中成立，故A错误；
B. 钝角三角形中60°角的正弦值也为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故B错误；
C. 无论60°角在锐角、直角还是钝角三角形中，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$都成立，故C正确；
D. 60°角的度数固定，它的正弦值不会随所在三角形的变化而改变，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的概念
【点评】
本题易错误认为三角函数仅能在直角三角形中使用，实际上确定角度的三角函数值是固定的，若要计算非直角三角形中锐角的三角函数值，可通过作高转化为直角三角形求解，结果不会发生变化。
【难度系数】
0.8
5. [2026·滁州定远校级一模]若$\sin A=\frac{1}{2}$，$∠ A+∠ B=90°$，则$\sin B$的值为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$
A
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$
答案
5.A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据∠A+∠B=90°可知∠A是锐角，结合sinA=1/2，利用特殊角的三角函数值可确定∠A的度数；其次，根据两角互余的关系计算出∠B的度数；最后，代入∠B的度数求出sinB的值，对应选项即可。
【解析】
解：
∵∠A + ∠B = 90°，
∴∠A、∠B均为锐角，
又
∵sinA = $\frac{1}{2}$，且sin30° = $\frac{1}{2}$，
∴∠A = 30°，
∴∠B = 90° - 30° = 60°，
∴sinB = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 互余角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊角三角函数值的应用，解题的核心是熟练掌握30°、60°等特殊角的三角函数值，结合互余角的关系计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为三步：首先，根据∠A+∠B=90°可知∠A是锐角，结合sinA=1/2，利用特殊角的三角函数值可确定∠A的度数；其次，根据两角互余的关系计算出∠B的度数；最后，代入∠B的度数求出sinB的值，对应选项即可。
【解析】
解：
∵∠A + ∠B = 90°，
∴∠A、∠B均为锐角，
又
∵sinA = $\frac{1}{2}$，且sin30° = $\frac{1}{2}$，
∴∠A = 30°，
∴∠B = 90° - 30° = 60°，
∴sinB = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 互余角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊角三角函数值的应用，解题的核心是熟练掌握30°、60°等特殊角的三角函数值，结合互余角的关系计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
6. [2024·合肥蜀山区期末]若$0°＜α＜45°$，且$\sin2α=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$α=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
6.30
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据α的取值范围推导2α的取值范围，再结合特殊角的正弦值找到符合范围的2α的度数，最后计算得到α的数值。第一步：已知0°＜α＜45°，给不等式各部分同时乘2，可得0°＜2α＜90°；第二步：回忆正弦值为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$的特殊角有60°和120°，只有60°在0°~90°的范围内，因此2α=60°，即可求出α的度数。
【解析】
解：$\because 0°＜α＜45°$
$\therefore$ 不等式两边同时乘2，得$0°＜2α＜90°$
又$\because \sin2α=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$（$\sin120°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$但120°不在0°~90°范围内，舍去）
$\therefore 2α=60°$
解得$α=30°$
【答案】
30
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.角的范围判断
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的应用，解题关键是先确定倍角的取值范围，再结合三角函数值确定角的准确度数，避免忽略范围出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先根据α的取值范围推导2α的取值范围，再结合特殊角的正弦值找到符合范围的2α的度数，最后计算得到α的数值。第一步：已知0°＜α＜45°，给不等式各部分同时乘2，可得0°＜2α＜90°；第二步：回忆正弦值为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$的特殊角有60°和120°，只有60°在0°~90°的范围内，因此2α=60°，即可求出α的度数。
【解析】
解：$\because 0°＜α＜45°$
$\therefore$ 不等式两边同时乘2，得$0°＜2α＜90°$
又$\because \sin2α=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$（$\sin120°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$但120°不在0°~90°范围内，舍去）
$\therefore 2α=60°$
解得$α=30°$
【答案】
30
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.角的范围判断
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的应用，解题关键是先确定倍角的取值范围，再结合三角函数值确定角的准确度数，避免忽略范围出现多解错误。
【难度系数】
0.8
变式训练
求锐角的度数→判断三角形的形状
在$△ ABC$中，若$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则这个三角形一定是（
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
求锐角的度数→判断三角形的形状
在$△ ABC$中，若$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则这个三角形一定是（
C
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
【变式训练】C
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先求出三角形三个内角的度数，再根据角的大小分类。解题思路：第一步，根据特殊锐角的三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数；第二步，利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；第三步，观察三个角的大小，若三个角都是锐角则为锐角三角形，若有一个直角则为直角三角形，若有一个钝角则为钝角三角形。
【解析】
∵∠A、∠B都是△ABC的内角，且$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴∠A=45°，∠B=60°，
根据三角形内角和定理得：
∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°，
∵45°、60°、75°都小于90°，三个角均为锐角，
∴△ABC是锐角三角形。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练记忆30°、45°、60°角的三角函数值，结合内角和定理求出各角度数即可判断三角形形状。
【难度系数】
0.85
要判断三角形的形状，需先求出三角形三个内角的度数，再根据角的大小分类。解题思路：第一步，根据特殊锐角的三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数；第二步，利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；第三步，观察三个角的大小，若三个角都是锐角则为锐角三角形，若有一个直角则为直角三角形，若有一个钝角则为钝角三角形。
【解析】
∵∠A、∠B都是△ABC的内角，且$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴∠A=45°，∠B=60°，
根据三角形内角和定理得：
∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°，
∵45°、60°、75°都小于90°，三个角均为锐角，
∴△ABC是锐角三角形。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练记忆30°、45°、60°角的三角函数值，结合内角和定理求出各角度数即可判断三角形形状。
【难度系数】
0.85
7. 计算$\sin^2 45° + \tan 60° · \cos 30°$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7.B
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路分为三步：第一步先回忆30°、45°、60°角的各三角函数值；第二步按照实数运算顺序，先计算乘方、乘法运算，最后计算加法运算；第三步将计算结果和选项对比得到答案。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式计算：
$\sin^2 45° + \tan 60° · \cos 30°$
$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{2}{4} + \frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆以及基础运算能力，只要熟练掌握特殊角的三角函数值，遵循运算顺序计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路分为三步：第一步先回忆30°、45°、60°角的各三角函数值；第二步按照实数运算顺序，先计算乘方、乘法运算，最后计算加法运算；第三步将计算结果和选项对比得到答案。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式计算：
$\sin^2 45° + \tan 60° · \cos 30°$
$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{2}{4} + \frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆以及基础运算能力，只要熟练掌握特殊角的三角函数值，遵循运算顺序计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
8. 计算：$6\cos 30°+4\sin 60°=$
5√3
。答案
8.5√3
解析
【分析】
要解决这道计算题，首先需要回忆30°、60°这两个特殊角的三角函数值，将其代入原式后，先分别计算乘法项，再合并同类二次根式即可得到结果。具体思考步骤：第一步先明确$\cos30°$和$\sin60°$的准确值；第二步代入原式进行乘法运算；第三步将得到的两个含二次根式的项合并得到最终答案。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}6\cos 30°+4\sin 60°&=6×\frac{\sqrt{3}}{2} + 4×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\\&=5\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，以及简单的二次根式计算能力，只要准确记忆特殊角的三角函数值，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道计算题，首先需要回忆30°、60°这两个特殊角的三角函数值，将其代入原式后，先分别计算乘法项，再合并同类二次根式即可得到结果。具体思考步骤：第一步先明确$\cos30°$和$\sin60°$的准确值；第二步代入原式进行乘法运算；第三步将得到的两个含二次根式的项合并得到最终答案。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}6\cos 30°+4\sin 60°&=6×\frac{\sqrt{3}}{2} + 4×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\\&=5\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，以及简单的二次根式计算能力，只要准确记忆特殊角的三角函数值，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
9. [教材 P131 例4改编]求下列各式的值.
(1)$\sin^2 60° + \cos^2 60°$；
(2)$2\cos^2 45° - \tan 45° + 4\sin 30°$；
(3)$\frac{1 - \cos 30°}{\sin 30°} + \tan 30°$；
(4)$-|\tan 60° - 2| - 2\sin 60°$.
(1)$\sin^2 60° + \cos^2 60°$；
(2)$2\cos^2 45° - \tan 45° + 4\sin 30°$；
(3)$\frac{1 - \cos 30°}{\sin 30°} + \tan 30°$；
(4)$-|\tan 60° - 2| - 2\sin 60°$.
答案
9.(1)1 (2)2 (3)$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (4)$-2$
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题核心思路如下：1. 准确记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；2. 将各三角函数值对应代入待求式；3. 按照实数运算规则（先乘方、去绝对值，再乘除，最后加减）计算，最终化简得到结果。其中第(1)题也可直接利用同角三角函数的平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$快速得出结果。
【解析】
先明确特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入值计算：
$\sin^2 60° + \cos^2 60°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$
也可直接利用同角三角函数平方关系得$\sin^2 60° + \cos^2 60°=1$
(2) 代入值计算：
$2\cos^2 45° - \tan 45° + 4\sin 30°$
$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1 + 4×\frac{1}{2}$
$=2×\frac{1}{2} -1 +2$
$=1-1+2=2$
(3) 代入值计算：
$\frac{1 - \cos 30°}{\sin 30°} + \tan 30°$
$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})×2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(4) 先去绝对值再计算：
$\because \tan60°=\sqrt{3}＜2$，$\therefore |\tan60°-2|=2-\sqrt{3}$
$-|\tan 60° - 2| - 2\sin 60°$
$=-(2-\sqrt{3}) - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=-2+\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=-2$
【答案】
(1)$1$；(2)$2$；(3)$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(4)$-2$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、绝对值化简
【点评】
本题属于特殊角三角函数计算的基础题型，解题的关键是准确识记各特殊角的三角函数值，计算时注意遵循运算顺序，根式合并要规范，能够有效巩固特殊角三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.85
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题核心思路如下：1. 准确记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；2. 将各三角函数值对应代入待求式；3. 按照实数运算规则（先乘方、去绝对值，再乘除，最后加减）计算，最终化简得到结果。其中第(1)题也可直接利用同角三角函数的平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$快速得出结果。
【解析】
先明确特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入值计算：
$\sin^2 60° + \cos^2 60°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$
也可直接利用同角三角函数平方关系得$\sin^2 60° + \cos^2 60°=1$
(2) 代入值计算：
$2\cos^2 45° - \tan 45° + 4\sin 30°$
$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1 + 4×\frac{1}{2}$
$=2×\frac{1}{2} -1 +2$
$=1-1+2=2$
(3) 代入值计算：
$\frac{1 - \cos 30°}{\sin 30°} + \tan 30°$
$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})×2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(4) 先去绝对值再计算：
$\because \tan60°=\sqrt{3}＜2$，$\therefore |\tan60°-2|=2-\sqrt{3}$
$-|\tan 60° - 2| - 2\sin 60°$
$=-(2-\sqrt{3}) - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=-2+\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=-2$
【答案】
(1)$1$；(2)$2$；(3)$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(4)$-2$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、绝对值化简
【点评】
本题属于特殊角三角函数计算的基础题型，解题的关键是准确识记各特殊角的三角函数值，计算时注意遵循运算顺序，根式合并要规范，能够有效巩固特殊角三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.85
