1.若抛物线$y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)$的顶点坐标为$(-1,-2)$，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是()

A.$a＜0$
B.$c＜0$
C.$a-b+c=-2$
D.$b^2-4ac=0$

C

1. 分析选项A：已知抛物线顶点坐标为$(-1,-2)$，且与y轴交点在x轴上方，可推得抛物线开口向上，即$a＞0$，A错误。
2. 分析选项B：抛物线与y轴交点的纵坐标为$c$，交点在x轴上方，因此$c＞0$，B错误。
3. 分析选项C：将$x=-1$代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c=a-b+c$，顶点处$x=-1$时函数值为$-2$，故$a-b+c=-2$，C正确。
4. 分析选项D：抛物线顶点在x轴下方，开口向上，可知抛物线与x轴有两个不同交点，因此判别式$b^2-4ac＞0$，D错误。

2.抛物线 $ y = ax^2 - a(a ≠ 0) $ 与直线 $ y = kx(k ≠ 0) $ 相交于 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ 两点.若 $ x_1 + x_2 ＞ 0 $,则直线 $ y = ax + k $ 一定经过()

A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限

B

联立抛物线与直线的方程：将$y=kx$代入$y=ax^2 - a$，整理得$ax^2 - kx - a = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之和$x_1+x_2=\frac{k}{a}$。
由题设$x_1+x_2＞0$，得$\frac{k}{a}＞0$，即$a$与$k$同号：
1. 当$a＞0,k＞0$时，直线$y=ax+k$的斜率为正、纵截距为正，经过第一、二、三象限；
2. 当$a＜0,k＜0$时，直线$y=ax+k$的斜率为负、纵截距为负，经过第二、三、四象限。
两种情况的公共经过象限为第二、三象限。

3.已知二次函数$y=x^2 - 2ax + a(a≠0)$的图象经过$A(\dfrac{a}{2},y_1),B(3a,y_2)$两点,则下列判断正确的是()

A.可以找到一个实数$a$,使得$y_1＞a$
B.无论实数$a$取什么值,都有$y_1＞a$
C.可以找到一个实数$a$,使得$y_2＜0$
D.无论实数$a$取什么值,都有$y_2＜0$

C

首先将点A的横坐标$x=\frac{a}{2}$代入二次函数解析式：
$y_1=(\frac{a}{2})^2 - 2a·\frac{a}{2} + a=-\frac{3}{4}a^2 + a$，
计算$y_1 - a=-\frac{3}{4}a^2$，因为$a≠0$，所以$-\frac{3}{4}a^2＜0$，即$y_1＜a$，因此A、B选项均错误。
再将点B的横坐标$x=3a$代入二次函数解析式：
$y_2=(3a)^2 - 2a·3a + a=3a^2 + a$，
令$y_2＜0$，即$3a^2+a＜0$，解得$-\frac{1}{3}＜a＜0$，存在满足条件的非零实数$a$使得$y_2＜0$，并非所有$a$都满足$y_2＜0$，因此C正确，D错误。

4. 提升题▶如图，二次函数 $ y=x^2+bx+c $ 的图象与x轴交于点A，B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)，顶点为M.
(1)该二次函数的解析式是 ，该函数图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)当x 时，y随x的增大而增大；
(3)不等式 $ x^2+bx+c＞0 $ 的解集是 ；
(4)当 $ 0≤x≤4 $ 时，函数值y的取值范围是 ；
(5)若E是函数对称轴上的一个动点，当△EAC的周长最小时，求点E的坐标；
(6)将直线BC向下平移m个单位长度，平移后的直线与抛物线有且仅有一个公共点，求m的值；
(7)在第四象限的抛物线上有一点F，求四边形ABFC的面积的最大值及此时点F的坐标.

解：
(1) 将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2\\c=-3\end{cases}$，
所以二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$；
将$x=1$代入解析式得$y=1-2-3=-4$，顶点坐标为$(1,-4)$。
(2) 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 解方程$x^2-2x-3=0$，得$x_1=-1$，$x_2=3$，因此不等式$x^2+bx+c＞0$的解集是$x＜-1$或$x＞3$。
(4) 抛物线开口向上，对称轴$x=1$在区间$0≤ x≤4$内，当$x=1$时，$y$取最小值$-4$；
当$x=0$时，$y=-3$；当$x=4$时，$y=16-8-3=5$，因此$y$的最大值为$5$，函数值$y$的取值范围是$-4≤ y≤5$。
(5) 由题意得$A(-1,0)$，$AC$为定长，要使$△ EAC$的周长最小，只需$EA+EC$最小。
因为点$A$与点$B$关于对称轴直线$x=1$对称，所以$EA=EB$，因此$EA+EC=EB+EC$。
当$B$、$E$、$C$三点共线时，$EB+EC$最小。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+n$，代入$B(3,0)$，$C(0,-3)$得：
$\begin{cases}3k+n=0\\n=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\n=-3\end{cases}$，即直线$BC$解析式为$y=x-3$。
将$x=1$代入$y=x-3$，得$y=-2$，因此点$E$的坐标为$(1,-2)$。
(6) 直线$BC$向下平移$m$个单位后的解析式为$y=x-3-m$，联立抛物线方程：
$\begin{cases}y=x-3-m\\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-3x+m=0$。
因为平移后的直线与抛物线有且仅有一个公共点，所以判别式$\Delta=(-3)^2-4×1× m=0$，解得$m=\frac{9}{4}$。
(7) 设点$F$的坐标为$(x,x^2-2x-3)$，其中$0＜x＜3$。
四边形$ABFC$的面积$S=S_{△ AOC}+S_{△ OCF}+S_{△ OBF}$：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×|OA|×|OC|+\frac{1}{2}×|OC|× x+\frac{1}{2}×|OB|×(-y_F)\\&=\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×3× x+\frac{1}{2}×3×(-x^2+2x+3)\\&=-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x+6\end{aligned}$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{3}{2}$，在$0＜x＜3$范围内。
当$x=\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{2}×(\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}×\frac{3}{2}+6=\frac{75}{8}$
将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-3=-\frac{15}{4}$，此时点$F$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
答：四边形$ABFC$的面积最大值为$\frac{75}{8}$，此时点$F$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
最终答案依次为：
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，$\boldsymbol{直线x=1}$，$\boldsymbol{(1,-4)}$；
(2) $\boldsymbol{≥1}$；
(3) $\boldsymbol{x＜-1或x＞3}$；
(4) $\boldsymbol{-4≤ y≤5}$；
(5) $\boldsymbol{E(1,-2)}$；
(6) $\boldsymbol{m=\frac{9}{4}}$；
(7) 面积最大值为$\boldsymbol{\frac{75}{8}}$，点$F$坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})}$。