1.若二次函数的解析式为$y=-(x+2)^2 -1$，则下列结论正确的是()

A.图象的对称轴在$y$轴右侧
B.函数的最大值是$-1$
C.顶点坐标为$(2,-1)$
D.图象开口向上

B

对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），由解析式$y=-(x+2)^2 -1$可得$a=-1$，$h=-2$，$k=-1$：
1. 对称轴为直线$x=-2$，在y轴左侧，A错误；
2. 顶点坐标为$(-2,-1)$，C错误；
3. 因$a=-1＜0$，图象开口向下，函数有最大值，最大值为$-1$，D错误，B正确。

2.将抛物线$y=x^2$先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为()

A.$y=(x-2)^2+3$
B.$y=(x-3)^2+2$
C.$y=(x+2)^2+3$
D.$y=(x-3)^2-2$

B

根据二次函数图象平移“上加下减、左加右减”的规律，先将抛物线$y=x^2$向上平移2个单位长度，得到解析式$y=x^2+2$；再将所得抛物线向右平移3个单位长度，将自变量$x$替换为$x-3$，最终得到函数解析式$y=(x-3)^2+2$。

3.若抛物线$y=-x^2 -x +c$与$x$轴只有一个公共点，则$c$的值为（）

A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$

A

抛物线与x轴只有一个公共点，说明对应一元二次方程$-x^2 -x +c=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
对于方程$Ax^2+Bx+C=0$，这里$A=-1$，$B=-1$，$C=c$，代入判别式公式：
$\Delta=B^2-4AC=(-1)^2 - 4×(-1)× c=1+4c$
令$\Delta=0$，得$1+4c=0$，解得$c=-\frac{1}{4}$。

4.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为$(-1,4)$.下列说法正确的是()

A.二次函数图象的对称轴是直线$x=1$
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当$x＜-1$时,y随x的增大而减小
D.当$-3＜x＜1$时,$y＞0$

D

根据二次函数顶点坐标为$(-1,4)$，逐一分析选项：
1. 选项A：二次函数图象的对称轴是过顶点的直线$x=-1$，不是$x=1$，A错误；
2. 选项B：由抛物线的对称性，已知一个x轴交点横坐标为$-3$，设另一交点横坐标为$x$，满足$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，即另一个交点横坐标是1，不是2，B错误；
3. 选项C：抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，因此当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
4. 选项D：抛物线与x轴的两个交点横坐标为$-3$和$1$，开口向下，因此当$-3＜x＜1$时，图象在x轴上方，$y＞0$，D正确。

5. 提升题▶如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点$(-3,0),(2,0)$。下列结论：
① $\frac{ab}{c} ＞ 0$；② $c = 2b$；③若抛物线上有点$(-\frac{5}{2}, y_1),(3, y_2),(-\frac{1}{2}, y_3)$，则 $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$；④方程 $cx^2 + bx + a = 0$ 的解为 $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{3}$。其中正确的个数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

1. 由抛物线开口向下得$a＜0$，抛物线过点$(-3,0)$、$(2,0)$，可得对称轴为$x=\frac{-3+2}{2}=-\frac{1}{2}$，即$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，化简得$b=a＜0$；抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$。
2. 分析①：$a＜0$，$b＜0$，则$ab＞0$，又$c＞0$，因此$\frac{ab}{c}＞0$，①正确。
3. 分析②：将$(-3,0)$、$(2,0)$代入抛物线方程得$\begin{cases}9a-3b+c=0\\4a+2b+c=0\end{cases}$，结合$a=b$，解得$c=-6a=-6b$，显然$c≠2b$，②错误。
4. 分析③：抛物线开口向下，点到对称轴$x=-\frac{1}{2}$的距离越大，对应函数值越小。计算三个点到对称轴的距离：点$(3,y_2)$距离为$3-(-\frac{1}{2})=3.5$，点$(-\frac{5}{2},y_1)$距离为$|-\frac{5}{2}-(-\frac{1}{2})|=2$，点$(-\frac{1}{2},y_3)$距离为$0$，因此$y_2＜y_1＜y_3$，③正确。
5. 分析④：已知$ax^2+bx+c=0$的两根为$x=-3$和$x=2$，$x≠0$时两边同除以$x^2$得$c·(\frac{1}{x})^2 + b·(\frac{1}{x}) + a=0$，令$t=\frac{1}{x}$，则方程$ct^2+bt+a=0$的两根为$t_1=\frac{1}{2}$，$t_2=-\frac{1}{3}$，即方程$cx^2+bx+a=0$的解为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{3}$，④正确。
综上，①③④共3个结论正确。

6.若二次函数$y_1=mx^2$，$y_2=nx^2$的图象如图所示，则m （填“＞”或“＜”）n.

$＞$

解：当$x=1$时，代入两个二次函数可得：
$y_1 = m· 1^2 = m$，$y_2 = n· 1^2 = n$。
由图象可知，当$x=1$时，对应的函数值满足$y_1 ＞ y_2$，因此$m ＞ n$。

7. 提升题 如图，二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 的图象与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(0,-3)，连接BC。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当$△ BCP$的面积最大时，求BC边上的高PN的值。

解：
(1) 将$A(-1,0)$，$C(0,-3)$代入二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}\frac{1}{2}×(-1)^2 - b + c = 0 \\c = -3\end{cases}$
将$c=-3$代入第一个方程，解得$b=-\frac{5}{2}$。
∴ 该二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3$。
(2) 令$y=0$，则$\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=6$，
∴ 点B的坐标为$(6,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，代入$B(6,0)$，$C(0,-3)$，得：
$\begin{cases}6k+m=0 \\m=-3\end{cases}$
解得$k=\frac{1}{2}$，$m=-3$，
∴ 直线BC的解析式为$y=\frac{1}{2}x-3$。
过点P作$PQ// y$轴，交BC于点Q，设$P(x,\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3)$，则$Q(x,\frac{1}{2}x-3)$，
$PQ=(\frac{1}{2}x-3)-(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x-3)=-\frac{1}{2}x^2+3x$
$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}· PQ· (x_B - x_C)=\frac{1}{2}· PQ· 6=3PQ=-\frac{3}{2}x^2+9x$
∵ $-\frac{3}{2}＜0$，∴ 当$x=-\frac{9}{2×(-\frac{3}{2})}=3$时，$S_{△ BCP}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{2}$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$，
又$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}· BC· PN$，
∴ $PN=\frac{2S_{△ BCP}}{BC}=\frac{2×\frac{27}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。