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1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（
A.$x(x-3)-x^2=0$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$x^2-3x-2=0$
D.$2x^2-y-1=0$
C
）A.$x(x-3)-x^2=0$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$x^2-3x-2=0$
D.$2x^2-y-1=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个选项一定是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的4个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时先化简各选项的方程，再依次对照上述条件逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。
对各选项逐一分析：
A选项：化简方程$x(x-3)-x^2=0$，展开得$x^2-3x-x^2=0$，合并同类项后为$-3x=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
B选项：方程$ax^2+bx+c=0$未说明参数$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数小于2，不是一元二次方程，不符合“一定是”的要求。
C选项：$x^2-3x-2=0$只含有未知数$x$，最高次数为2，是整式方程且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义。
D选项：方程$2x^2-y-1=0$含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程化简；方程分类判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于判断B选项时忽略二次项系数不为0的前提，以及判断A选项时未先化简直接看原方程次数，牢记一元二次方程的判定条件即可准确作答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项一定是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的4个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时先化简各选项的方程，再依次对照上述条件逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。
对各选项逐一分析：
A选项：化简方程$x(x-3)-x^2=0$，展开得$x^2-3x-x^2=0$，合并同类项后为$-3x=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
B选项：方程$ax^2+bx+c=0$未说明参数$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数小于2，不是一元二次方程，不符合“一定是”的要求。
C选项：$x^2-3x-2=0$只含有未知数$x$，最高次数为2，是整式方程且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义。
D选项：方程$2x^2-y-1=0$含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程化简；方程分类判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于判断B选项时忽略二次项系数不为0的前提，以及判断A选项时未先化简直接看原方程次数，牢记一元二次方程的判定条件即可准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD.若∠1=20°,则∠2的度数为 (
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
C
)A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
2.C
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先观察图形是菱形，先回忆菱形的核心性质：对边平行、对角线互相垂直、对角线平分一组对角等。已知∠1是∠BAC，要求∠BDC即∠2的度数，我们可以按以下思路推导：第一步，利用菱形对边平行的性质，得到∠1和∠ACD是内错角，二者相等；第二步，利用菱形对角线互相垂直的性质，可知对角线AC和BD相交形成的角是直角，即两条对角线相交处的三角形是直角三角形；第三步，根据直角三角形两锐角互余，用90°减去∠ACD的度数就能得到∠2的度数。
【解析】
解：设AC与BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB//CD，AC⊥BD（菱形的对边平行，对角线互相垂直）
∴ ∠ACD = ∠1 = 20°（两直线平行，内错角相等），∠DOC = 90°
在Rt△DOC中，∠2 + ∠ACD = 90°
∴ ∠2 = 90° - 20° = 70°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】本题是基础几何题，重点考查菱形性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握菱形的基本性质，结合平行线和直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
拿到这道题，我们首先观察图形是菱形，先回忆菱形的核心性质：对边平行、对角线互相垂直、对角线平分一组对角等。已知∠1是∠BAC，要求∠BDC即∠2的度数，我们可以按以下思路推导：第一步，利用菱形对边平行的性质，得到∠1和∠ACD是内错角，二者相等；第二步，利用菱形对角线互相垂直的性质，可知对角线AC和BD相交形成的角是直角，即两条对角线相交处的三角形是直角三角形；第三步，根据直角三角形两锐角互余，用90°减去∠ACD的度数就能得到∠2的度数。
【解析】
解：设AC与BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB//CD，AC⊥BD（菱形的对边平行，对角线互相垂直）
∴ ∠ACD = ∠1 = 20°（两直线平行，内错角相等），∠DOC = 90°
在Rt△DOC中，∠2 + ∠ACD = 90°
∴ ∠2 = 90° - 20° = 70°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】本题是基础几何题，重点考查菱形性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握菱形的基本性质，结合平行线和直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
3. 如图，在$□ ABCD$中，E为AD的中点. 若$△ AEO$的面积为1，则$△ BOC$的面积为（
A.2
B.3
C.4
D.8
C
）A.2
B.3
C.4
D.8
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆平行四边形的性质，可得对边平行且相等，结合E是AD中点，可求出AE与BC的长度比；再根据两直线平行内错角相等，证明△AEO和△CBO相似，得到相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△AEO的面积，即可求出△BOC的面积。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵E为AD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC，即$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵AD//BC，
∴∠OAE=∠OCB，∠OEA=∠OBC，
∴△AEO∽△CBO，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ AEO}}{S_{△ BOC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵$S_{△ AEO}=1$，
∴$S_{△ BOC}=4×1=4$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行四边形的性质得到相似三角形，再结合相似三角形的面积与相似比的关系求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆平行四边形的性质，可得对边平行且相等，结合E是AD中点，可求出AE与BC的长度比；再根据两直线平行内错角相等，证明△AEO和△CBO相似，得到相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△AEO的面积，即可求出△BOC的面积。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵E为AD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC，即$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵AD//BC，
∴∠OAE=∠OCB，∠OEA=∠OBC，
∴△AEO∽△CBO，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ AEO}}{S_{△ BOC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵$S_{△ AEO}=1$，
∴$S_{△ BOC}=4×1=4$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行四边形的性质得到相似三角形，再结合相似三角形的面积与相似比的关系求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（
D
）答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个四边形不一定是矩形，需结合矩形的判定定理，逐一分析各选项：
1. 先回忆矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。
2. 对每个选项的已知条件进行推导，判断是否满足矩形的判定条件，若存在不是矩形的可能，即为符合题意的选项。
【解析】
A选项：
∵∠A=∠B=90°，
∴AD//BC，又AD=BC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠A=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，不符合题意。
B选项：该四边形的对角线互相平分且相等，首先“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，不符合题意。
C选项：已知∠A=∠B=∠D=90°，由四边形内角和为360°，可得∠C=360°-90°×3=90°，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，不符合题意。
D选项：由∠DAC=∠BCA=40°可得AD//BC，由∠ADB=∠CBD=40°可证△OAD、△OBC均为等腰三角形，得OA=OD、OB=OC，因此对角线AC=BD，此时四边形ABCD可能是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形），也可能是矩形，故该四边形不一定是矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题重点考查矩形判定定理的灵活运用，解题时要注意区分矩形与等腰梯形的性质差异，避免因忽略等腰梯形也满足“对角线相等、一组对边平行”的特征而错选。
【难度系数】
0.7
要判断哪个四边形不一定是矩形，需结合矩形的判定定理，逐一分析各选项：
1. 先回忆矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。
2. 对每个选项的已知条件进行推导，判断是否满足矩形的判定条件，若存在不是矩形的可能，即为符合题意的选项。
【解析】
A选项：
∵∠A=∠B=90°，
∴AD//BC，又AD=BC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠A=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，不符合题意。
B选项：该四边形的对角线互相平分且相等，首先“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，不符合题意。
C选项：已知∠A=∠B=∠D=90°，由四边形内角和为360°，可得∠C=360°-90°×3=90°，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，不符合题意。
D选项：由∠DAC=∠BCA=40°可得AD//BC，由∠ADB=∠CBD=40°可证△OAD、△OBC均为等腰三角形，得OA=OD、OB=OC，因此对角线AC=BD，此时四边形ABCD可能是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形），也可能是矩形，故该四边形不一定是矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题重点考查矩形判定定理的灵活运用，解题时要注意区分矩形与等腰梯形的性质差异，避免因忽略等腰梯形也满足“对角线相等、一组对边平行”的特征而错选。
【难度系数】
0.7
5. 将一元二次方程$x^2 - 3x = \frac{3}{4}$化成$(x - m)^2 = n$的形式，则$n=$（
A.$\frac{9}{4}$
B.$3$
C.$\frac{7}{4}$
D.$1$
B
）A.$\frac{9}{4}$
B.$3$
C.$\frac{7}{4}$
D.$1$
答案
5.B
解析
【分析】
要将一元二次方程化成$(x - m)^2 = n$的形式，需使用配方法求解，解题思路如下：第一步先确认方程二次项系数是否为1，本题二次项系数已经是1，无需额外化简；第二步观察方程结构，原方程已将含未知数的项放在等号左侧，常数项放在右侧，直接进入配方步骤；第三步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并计算后得到的常数就是$n$的值。
【解析】
已知原方程为$x^2 - 3x = \frac{3}{4}$，
一次项系数为$-3$，其一半的平方为$(-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，
在方程两边同时加上$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{3}{4} + \frac{9}{4}$，
左侧可整理为完全平方式：$(x - \frac{3}{2})^2 = 3$，
对比$(x - m)^2 = n$的形式，可得$n=3$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查配方法的应用，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题，是一元二次方程相关知识点中的常考题型。
【难度系数】
0.8
要将一元二次方程化成$(x - m)^2 = n$的形式，需使用配方法求解，解题思路如下：第一步先确认方程二次项系数是否为1，本题二次项系数已经是1，无需额外化简；第二步观察方程结构，原方程已将含未知数的项放在等号左侧，常数项放在右侧，直接进入配方步骤；第三步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并计算后得到的常数就是$n$的值。
【解析】
已知原方程为$x^2 - 3x = \frac{3}{4}$，
一次项系数为$-3$，其一半的平方为$(-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，
在方程两边同时加上$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{3}{4} + \frac{9}{4}$，
左侧可整理为完全平方式：$(x - \frac{3}{2})^2 = 3$，
对比$(x - m)^2 = n$的形式，可得$n=3$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查配方法的应用，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题，是一元二次方程相关知识点中的常考题型。
【难度系数】
0.8
6.如图,在测量小玻璃管口径的量具上,AB的长为10毫米,AC被分为60等份.如果小玻璃管口径DE正好对着量具上20份处(DE//AB),那么小玻璃管口径DE的长度是(
A.5毫米
B.$\frac{10}{3}$毫米
C.$\frac{5}{2}$毫米
D.2毫米
B
)A.5毫米
B.$\frac{10}{3}$毫米
C.$\frac{5}{2}$毫米
D.2毫米
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先观察到DE与AB平行，可优先考虑相似三角形的相关知识：根据平行线的性质可得两个三角形的对应角相等，进而判定△CDE与△CAB相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段比例和AB的长度，即可求出DE的长度。
【解析】
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠CAB，∠CED=∠CBA（两直线平行，同位角相等），
∴ △CDE∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}$，
由题意可知，CD对应20等份，CA对应60等份，AB=10毫米，代入得：
$\frac{DE}{10}=\frac{20}{60}$，
解得：$DE=10×\frac{20}{60}=\frac{10}{3}$（毫米）。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是通过平行关系构造相似三角形，再利用相似的性质列比例式求解，贴合生活实际，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE与AB平行，可优先考虑相似三角形的相关知识：根据平行线的性质可得两个三角形的对应角相等，进而判定△CDE与△CAB相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段比例和AB的长度，即可求出DE的长度。
【解析】
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠CAB，∠CED=∠CBA（两直线平行，同位角相等），
∴ △CDE∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}$，
由题意可知，CD对应20等份，CA对应60等份，AB=10毫米，代入得：
$\frac{DE}{10}=\frac{20}{60}$，
解得：$DE=10×\frac{20}{60}=\frac{10}{3}$（毫米）。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是通过平行关系构造相似三角形，再利用相似的性质列比例式求解，贴合生活实际，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
7.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是 （
A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
B
）A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
答案
7.B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：①小影仅写错常数项，说明她求解时所用方程的二次项、一次项系数都是正确的，因此她得到的两根之和对应原方程的一次项系数关系；②小冬仅写错一次项系数，说明他求解时所用方程的二次项、常数项都是正确的，因此他得到的两根之积对应原方程的常数项关系；③结合韦达定理分别计算原方程的一次项系数和常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$（各选项二次项系数均为1，故设二次项系数为1）。
1. 计算一次项系数$b$：
小影写错常数项，得到的两根为6和1，此时一次项系数正确，根据韦达定理：两根之和$x_1+x_2 = -b$，代入得：
$6+1=-b$，解得$b=-7$。
2. 计算常数项$c$：
小冬写错一次项系数，得到的两根为-2和-5，此时常数项正确，根据韦达定理：两根之积$x_1x_2 = c$，代入得：
$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$。
因此原方程为$x^2 -7x +10 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的定义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是准确判断写错某一项时，哪些根的运算结果仍然符合原方程的系数关系，不需要计算原方程的根即可快速求出系数，解题时要注意两根之和与一次项系数的符号关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：①小影仅写错常数项，说明她求解时所用方程的二次项、一次项系数都是正确的，因此她得到的两根之和对应原方程的一次项系数关系；②小冬仅写错一次项系数，说明他求解时所用方程的二次项、常数项都是正确的，因此他得到的两根之积对应原方程的常数项关系；③结合韦达定理分别计算原方程的一次项系数和常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$（各选项二次项系数均为1，故设二次项系数为1）。
1. 计算一次项系数$b$：
小影写错常数项，得到的两根为6和1，此时一次项系数正确，根据韦达定理：两根之和$x_1+x_2 = -b$，代入得：
$6+1=-b$，解得$b=-7$。
2. 计算常数项$c$：
小冬写错一次项系数，得到的两根为-2和-5，此时常数项正确，根据韦达定理：两根之积$x_1x_2 = c$，代入得：
$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$。
因此原方程为$x^2 -7x +10 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的定义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是准确判断写错某一项时，哪些根的运算结果仍然符合原方程的系数关系，不需要计算原方程的根即可快速求出系数，解题时要注意两根之和与一次项系数的符号关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,CE⊥BD,且∠BCE:∠DCE=2:1,则∠ACE的度数为 (
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
)A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先利用矩形四个内角为直角的性质，结合已知的∠BCE与∠DCE的比例关系，先算出两个角的度数；再根据CE⊥BD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余求出∠ODC的度数；接着利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC=OD，推出∠OCD=∠ODC，最后用∠OCD减去∠DCE即可得到∠ACE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BCD=90°，OC=OD（矩形对角线相等且互相平分），
∴ ∠OCD=∠ODC。
∵ ∠BCE:∠DCE=2:1，且∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴ $∠ DCE = 90° × \frac{1}{2+1}=30°$，$∠ BCE=60°$。
∵ CE⊥BD，
∴ ∠CED=90°，
在Rt△CDE中，$∠ ODC=90°-∠ DCE=90°-30°=60°$，
∴ $∠ OCD=∠ ODC=60°$，
∴ $∠ ACE=∠ OCD - ∠ DCE=60°-30°=30°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对矩形性质的灵活运用，解题时要注意结合角度比例关系和垂直条件逐步推导所求角度，理清角与角之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形四个内角为直角的性质，结合已知的∠BCE与∠DCE的比例关系，先算出两个角的度数；再根据CE⊥BD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余求出∠ODC的度数；接着利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC=OD，推出∠OCD=∠ODC，最后用∠OCD减去∠DCE即可得到∠ACE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BCD=90°，OC=OD（矩形对角线相等且互相平分），
∴ ∠OCD=∠ODC。
∵ ∠BCE:∠DCE=2:1，且∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴ $∠ DCE = 90° × \frac{1}{2+1}=30°$，$∠ BCE=60°$。
∵ CE⊥BD，
∴ ∠CED=90°，
在Rt△CDE中，$∠ ODC=90°-∠ DCE=90°-30°=60°$，
∴ $∠ OCD=∠ ODC=60°$，
∴ $∠ ACE=∠ OCD - ∠ DCE=60°-30°=30°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对矩形性质的灵活运用，解题时要注意结合角度比例关系和垂直条件逐步推导所求角度，理清角与角之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图,三个边长相同的正方形叠放在一起,M,
N是其中两个正方形的中心,阴影部分的面
积和是4,则正方形的边长为 （
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
N是其中两个正方形的中心,阴影部分的面
积和是4,则正方形的边长为 （
B
）A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先抓住正方形中心的性质：当一个正方形的顶点固定在另一个全等正方形的中心时，无论旋转角度如何，两者的重叠部分面积始终等于单个正方形面积的1/4。我们可以先通过构造辅助线、证明三角形全等推导这个结论，再根据两个阴影面积的和求出正方形的总面积，最后计算边长即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，则单个正方形的面积$S=a^2$。
1. 推导单个阴影部分的面积：取其中一组重叠的正方形，过中心向正方形相邻的两条边作垂线，因为中心是正方形对角线的交点，所以两条垂线段长度均为$\frac{a}{2}$，且两条垂线的夹角为$90°$。结合正方形的内角均为$90°$，可通过ASA证明重叠部分中两个小三角形全等，因此重叠的阴影部分面积等于边长为$\frac{a}{2}$的小正方形面积，即$S_{\mathrm{单阴影}}=\frac{1}{4}S=\frac{a^2}{4}$。
2. 列方程求解：图中共有2个这样的阴影部分，面积和为4，因此可得：
$2×\frac{a^2}{4}=4$
化简得$\frac{a^2}{2}=4$，即$a^2=8$。
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；旋转不变性
【点评】
本题核心是利用正方形中心的特性和旋转的不变性，快速得到重叠部分面积与正方形总面积的关系，避免复杂的角度和边长计算，是几何中重叠面积问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先抓住正方形中心的性质：当一个正方形的顶点固定在另一个全等正方形的中心时，无论旋转角度如何，两者的重叠部分面积始终等于单个正方形面积的1/4。我们可以先通过构造辅助线、证明三角形全等推导这个结论，再根据两个阴影面积的和求出正方形的总面积，最后计算边长即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，则单个正方形的面积$S=a^2$。
1. 推导单个阴影部分的面积：取其中一组重叠的正方形，过中心向正方形相邻的两条边作垂线，因为中心是正方形对角线的交点，所以两条垂线段长度均为$\frac{a}{2}$，且两条垂线的夹角为$90°$。结合正方形的内角均为$90°$，可通过ASA证明重叠部分中两个小三角形全等，因此重叠的阴影部分面积等于边长为$\frac{a}{2}$的小正方形面积，即$S_{\mathrm{单阴影}}=\frac{1}{4}S=\frac{a^2}{4}$。
2. 列方程求解：图中共有2个这样的阴影部分，面积和为4，因此可得：
$2×\frac{a^2}{4}=4$
化简得$\frac{a^2}{2}=4$，即$a^2=8$。
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；旋转不变性
【点评】
本题核心是利用正方形中心的特性和旋转的不变性，快速得到重叠部分面积与正方形总面积的关系，避免复杂的角度和边长计算，是几何中重叠面积问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在菱形ABCD中,E是边BC的中点,动点M在边CD上运动,以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM,连接PA.若AB=4,∠BAD=60°,则PA的最小值是 (
A.$2\sqrt{5}-2$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{7}-2$
D.4
C
)A.$2\sqrt{5}-2$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{7}-2$
D.4
答案
10.C
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质确定动点P的运动轨迹：折叠后PE始终等于CE，E是BC中点，菱形边长为4，因此PE恒为2，即点P在以E为圆心、半径为2的圆上。求PA的最小值可转化为求点A到该圆上点的最短距离，即点A到圆心E的距离减去圆的半径，接下来只需计算AE的长度即可求解。
【解析】
1. 整理已知条件：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°
∴ BC=AB=4，∠ABC=180°-∠BAD=120°
∵ E是BC的中点，
∴ BE=CE=½BC=2
2. 确定点P的轨迹：
由折叠的性质可得PE=CE=2，因此点P始终在以E为圆心，半径r=2的圆上运动。
3. 计算AE的长度：
过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，则∠EBF=180°-∠ABC=60°
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴ BF=½BE=1
由勾股定理得EF=√(BE²-BF²)=√(2²-1²)=√3
∴ AF=AB+BF=4+1=5
在Rt△AEF中，AE=√(AF²+EF²)=√(5²+(√3)²)=√28=2√7
4. 求PA的最小值：
点A到圆E上点的最短距离为AE - r，因此PA的最小值为2√7 - 2。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，最短路径问题
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题的核心是通过折叠性质确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题，能够有效考查学生对几何变换和最值模型的掌握情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用折叠的性质确定动点P的运动轨迹：折叠后PE始终等于CE，E是BC中点，菱形边长为4，因此PE恒为2，即点P在以E为圆心、半径为2的圆上。求PA的最小值可转化为求点A到该圆上点的最短距离，即点A到圆心E的距离减去圆的半径，接下来只需计算AE的长度即可求解。
【解析】
1. 整理已知条件：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°
∴ BC=AB=4，∠ABC=180°-∠BAD=120°
∵ E是BC的中点，
∴ BE=CE=½BC=2
2. 确定点P的轨迹：
由折叠的性质可得PE=CE=2，因此点P始终在以E为圆心，半径r=2的圆上运动。
3. 计算AE的长度：
过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，则∠EBF=180°-∠ABC=60°
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴ BF=½BE=1
由勾股定理得EF=√(BE²-BF²)=√(2²-1²)=√3
∴ AF=AB+BF=4+1=5
在Rt△AEF中，AE=√(AF²+EF²)=√(5²+(√3)²)=√28=2√7
4. 求PA的最小值：
点A到圆E上点的最短距离为AE - r，因此PA的最小值为2√7 - 2。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，最短路径问题
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题的核心是通过折叠性质确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题，能够有效考查学生对几何变换和最值模型的掌握情况。
【难度系数】
0.6
