19.如图，$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O.
(1)给定三个关系:①$AB^2 + BC^2 = AC^2$;②$AC ⊥ BD$;③$OA = OB$. 其中能使得$□ ABCD$为矩形的有(填序号),选择其中一个作为条件进行证明.
(2)在(1)的条件下,点P从点B开始沿边BA运动,速度为1 cm/s;点Q同时从点A开始沿边AD运动,速度为2 cm/s.如果$AB=4$ cm,$AD=8$ cm,点P到达点A时所有运动停止,那么何时$△ QAP$与$△ ABD$相似?

19.解:(1)①③.若添加①:$\because AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore ∠ ABC=90°$.$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形.若添加③:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore OA=OC,OB=OD$.$\because OA=OB$,$\therefore AC=BD$.$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形. (2)设运动时间为$t$ s.由题意,得$AP=(4-t)\mathrm{cm}$,$AQ=2t$ cm,当$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AD}$或$\frac{AP}{AD}=\frac{AQ}{AB}$时,两三角形相似,$\therefore \frac{4-t}{4}=\frac{2t}{8}$或$\frac{4-t}{8}=\frac{2t}{4}$,解得$t=2$或$t=\frac{4}{5}$.$\therefore$当运动2秒或$\frac{4}{5}$秒时,$△ QAP$与$△ ABD$相似.

【分析】
(1) 要判定平行四边形ABCD为矩形，需结合矩形的判定定理分析：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形。对三个条件逐一判断：①由勾股定理逆定理可得∠ABC=90°，符合矩形判定要求；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合矩形判定；③平行四边形对角线互相平分，若OA=OB可推导出AC=BD，符合矩形判定要求，因此选①③。证明时任选一个条件结合矩形判定定理推导即可。
(2) 先设运动时间为t，用含t的代数式表示出△QAP的两条直角边AP、AQ的长度，由于∠QAP=∠BAD=90°，两个直角三角形相似存在两种对应边成比例的情况，分别列方程求解，再结合t的取值范围验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 能使得$□ ABCD$为矩形的有①③。
选择①证明：
$\because AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ABC=90°$。
又$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
（若选③证明：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形对角线互相平分）。
$\because OA=OB$，$\therefore AC=OA+OC=2OA$，$BD=OB+OD=2OB$，即$AC=BD$。
$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。）
(2) 设运动时间为$t$ s，由题意可知运动时间范围为$0≤ t≤4$。
此时$BP=t\ \mathrm{cm}$，$AQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$AP=AB-BP=(4-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ QAP=∠ BAD=90°$，
$△ QAP$与$△ ABD$相似存在两种情况：
① 当$△ QAP ∽ △ DAB$时，对应边成比例：$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，
代入得：$\frac{4-t}{4}=\frac{2t}{8}$，解得$t=2$，符合$0≤ t≤4$；
② 当$△ QAP ∽ △ BAD$时，对应边成比例：$\frac{AP}{AD}=\frac{AQ}{AB}$，
代入得：$\frac{4-t}{8}=\frac{2t}{4}$，解得$t=\frac{4}{5}$，符合$0≤ t≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$，证明见上述解析（任选其一即可）
(2) 运动$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{4}{5}\ \mathrm{s}}$时，$△ QAP$与$△ ABD$相似
【知识点】
矩形的判定；相似三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何综合题，既考查了特殊平行四边形的判定，又结合动点考查了相似三角形的分类讨论，解题时要注意相似三角形对应关系不明确时需分情况讨论，避免漏解，同时要验证所求结果是否符合运动的实际范围。
【难度系数】
0.6

20.某商店在2025年国庆前购进某种文创品，预计每件盈利20元，其中2025年10月1日至10月4日的日销售量如图所示.
(1)求2025年10月2日至10月4日该文创品销售量的日平均增长率.
(2)用你学过的知识预估2025年10月5日该文创品的日销售盈利情况.

20.解:(1)设2025年10月2日至10月4日该文创品销售量的日平均增长率为$x$.由题意,得$16(1+x)^2=25$,解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不符合题意,舍去).答:2025年10月2日至10月4日该文创品销售量的日平均增长率为25%. (2)由题意可知,$25×20×(1+25\%)=500×1.25=625$(元).答:预估2025年10月5日该文创品的日销售盈利为625元.

【分析】
(1) 求解日平均增长率可使用增长率问题的通用模型：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的量为$b$，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中10月2日销量为16件（初始量$a=16$），到10月4日经过2次增长后销量为25件（$b=25$，$n=2$），因此可设增长率为$x$列一元二次方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
(2) 预估10月5日的盈利，首先用4日的销量乘以$(1+$日平均增长率$)$得到5日的预估销量，再结合“总盈利=单件盈利×销售量”的公式计算即可。
【解析】
(1) 设2025年10月2日至10月4日该文创品销售量的日平均增长率为$x$。
由题意得：
$16(1+x)^2=25$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，增长率为负不符合实际，舍去。
(2) 按照上述日平均增长率，10月5日的预估销售量为$25×(1+25\%)$件，已知每件盈利20元，因此日销售盈利为：
$25×(1+25\%)×20=500×1.25=625$（元）
【答案】
(1) 2025年10月2日至10月4日该文创品销售量的日平均增长率为25%；
(2) 预估2025年10月5日该文创品的日销售盈利为625元。
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，解题核心是熟练掌握增长率问题的数学模型，同时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，考查了学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75

21.翻折是一种常见的图形操作,观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论,经过量化分析和演绎推理能证明数学结论.
点E是矩形ABCD的边AB上一点,把△BCE沿直线CE翻折,使得点B落在点F处.
(1)如图1,当点E与点A重合时,AF交CD于点G,判断GA与GC的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当点F恰好是AC与DE的交点,且AE=2时,求BE的长.

21.解:(1)$GA=GC$,理由如下:$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AD=BC$,$∠ D=∠ B=90°$.由折叠的性质,得$BC=CF$,$∠ B=∠ F$.$\therefore AD=CF$,$∠ D=∠ F$.在$△ ADG$和$△ CFG$中,$\begin{cases}∠ DGA=∠ FGC,\\∠ D=∠ F,\\AD=CF,\end{cases}$$\therefore △ ADG≌△ CFG(\mathrm{AAS})$.$\therefore GA=GC$. (2)设$BE$的长为$x$,由折叠的性质,得$EF=BE=x$,$∠ DEC=∠ BEC$.$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AB// CD$,$DC=AB=2+x$.$\therefore ∠ DCE=∠ BEC$.$\therefore ∠ DCE=∠ DEC$.$\therefore DE=DC=2+x$.$\therefore DF=DE-EF=2+x-x=2$.$\because AB// CD$,$\therefore △ AEF∽△ CDF$.$\therefore \frac{DC}{AE}=\frac{DF}{EF}$,即$\frac{x+2}{2}=\frac{2}{x}$,解得$x_1=\sqrt{5}-1$,$x_2=-\sqrt{5}-1$(不符合题意,舍去).$\therefore BE$的长为$\sqrt{5}-1$.

【分析】
(1) 要判断GA和GC的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先结合矩形性质得到AD=BC、∠D=∠B=90°，再根据翻折的性质得到BC=CF、∠B=∠F，等量代换后得到AD=CF、∠D=∠F，结合对顶角∠DGA=∠FGC，即可用AAS证明△ADG≌△CFG，进而得到GA=GC。
(2) 求BE的长可通过设未知数列方程求解。设BE为x，先利用翻折性质得EF=BE=x、∠DEC=∠BEC，再结合矩形AB//CD的性质，推出∠DCE=∠DEC，可得DE=DC=AB=2+x，进而求出DF=2；再由AB//CD证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形对应边成比例列方程，舍去不符合题意的负根即可得到BE的长度。
【解析】
(1) $GA=GC$，理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC$，$∠ D=∠ B=90°$。
由折叠的性质，得$BC=CF$，$∠ B=∠ F$。
$\therefore AD=CF$，$∠ D=∠ F$。
在$△ ADG$和$△ CFG$中，
$\begin{cases}∠ DGA=∠ FGC,\\∠ D=∠ F,\\AD=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ADG≌△ CFG(\mathrm{AAS})$。
$\therefore GA=GC$。
(2) 设$BE$的长为$x$，
由折叠的性质，得$EF=BE=x$，$∠ DEC=∠ BEC$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB// CD$，$DC=AB=2+x$。
$\therefore ∠ DCE=∠ BEC$。
$\therefore ∠ DCE=∠ DEC$。
$\therefore DE=DC=2+x$。
$\therefore DF=DE-EF=2+x-x=2$。
$\because AB// CD$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
$\therefore \frac{DC}{AE}=\frac{DF}{EF}$，即$\frac{x+2}{2}=\frac{2}{x}$，
解得$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$（不符合题意，舍去）。
$\therefore BE$的长为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) $GA=GC$；
(2) $\sqrt{5}-1$
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题以矩形中的翻折变换为背景，综合考查了矩形、全等三角形、相似三角形的相关知识，解题核心是抓住翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，结合图形的边角特征建立等量关系，是几何综合类的典型题型，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65