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9.(南京)某次考试有6道选择题,每道题所给出的4个选项中,恰有1项是正确的,小明从每道题的4个选项中随机地选择1个,则6道选择题全部选择正确的概率是 【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$(\frac{1}{4})^6$
C.$1-(\frac{1}{4})^6$
D.$1-(\frac{3}{4})^6$
A.$\frac{1}{4}$
B.$(\frac{1}{4})^6$
C.$1-(\frac{1}{4})^6$
D.$1-(\frac{3}{4})^6$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确每道选择题答对的概率，再判断各道题的选择是否相互独立：每道题有4个选项且仅1个正确，随机选1个的话单题答对概率为$\frac{1}{4}$；6道题的选择互不影响，属于独立事件，独立事件同时发生的概率等于各事件单独发生概率的乘积，因此将6道题的答对概率相乘即可得到全部做对的概率。
【解析】
第一步：计算单道题答对的概率
每道题共4个选项，仅1个正确，随机选择1个时，答对1道题的概率为$\frac{1}{4}$。
第二步：判断事件独立性
6道题的选择过程互不干扰，每道题是否答对的结果相互独立。
第三步：计算6道题全对的概率
根据独立事件同时发生的概率计算规则，多个独立事件同时发生的概率为各事件发生概率的乘积，因此6道题全部正确的概率为$\frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^6$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
简单随机事件概率、独立事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心是理解独立事件的概率计算规则，解题时要注意区分独立事件同时发生的概率和对立事件的概率，避免混淆公式导致错选。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确每道选择题答对的概率，再判断各道题的选择是否相互独立：每道题有4个选项且仅1个正确，随机选1个的话单题答对概率为$\frac{1}{4}$；6道题的选择互不影响，属于独立事件，独立事件同时发生的概率等于各事件单独发生概率的乘积，因此将6道题的答对概率相乘即可得到全部做对的概率。
【解析】
第一步：计算单道题答对的概率
每道题共4个选项，仅1个正确，随机选择1个时，答对1道题的概率为$\frac{1}{4}$。
第二步：判断事件独立性
6道题的选择过程互不干扰，每道题是否答对的结果相互独立。
第三步：计算6道题全对的概率
根据独立事件同时发生的概率计算规则，多个独立事件同时发生的概率为各事件发生概率的乘积，因此6道题全部正确的概率为$\frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} × \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^6$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
简单随机事件概率、独立事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心是理解独立事件的概率计算规则，解题时要注意区分独立事件同时发生的概率和对立事件的概率，避免混淆公式导致错选。
【难度系数】
0.8
10.(张家界)一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－2,1,4.随机摸出一个小球(不放回)，小球上的数字记为p，随机摸出另一个小球，小球上的数字记为q，则关于x的方程$x^2 + px + q = 0$有实数根的概率是 ……………………【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
解题时需分三步思考：第一步，先明确不放回摸球的所有等可能结果，总共有3个球摸2个不放回，所以总结果数为3×2=6种；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=p²-4q≥0，这是筛选符合条件结果的依据；第三步，逐个验证所有结果是否满足判别式要求，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
首先列举不放回摸球的所有等可能(p,q)组合，共6种：
$(-2,1)、(-2,4)、(1,-2)、(1,4)、(4,-2)、(4,1)$
一元二次方程$x^2+px+q=0$有实数根的条件为$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$p=-2,q=1$时，$\Delta=(-2)^2 -4×1=0$，满足条件；
2. 当$p=-2,q=4$时，$\Delta=4 - 16=-12＜0$，不满足；
3. 当$p=1,q=-2$时，$\Delta=1^2 -4×(-2)=9≥0$，满足条件；
4. 当$p=1,q=4$时，$\Delta=1 - 16=-15＜0$，不满足；
5. 当$p=4,q=-2$时，$\Delta=4^2 -4×(-2)=24≥0$，满足条件；
6. 当$p=4,q=1$时，$\Delta=16 -4×1=12≥0$，满足条件。
综上，满足条件的结果共4种，因此概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，列举法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题是代数与概率的综合基础题，将一元二次方程根的判定和概率计算结合考查，要求学生能准确列举所有等可能事件，同时熟练运用判别式判断方程根的情况，计算时需注意不放回试验的总事件数计算。
【难度系数】
0.7
解题时需分三步思考：第一步，先明确不放回摸球的所有等可能结果，总共有3个球摸2个不放回，所以总结果数为3×2=6种；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=p²-4q≥0，这是筛选符合条件结果的依据；第三步，逐个验证所有结果是否满足判别式要求，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
首先列举不放回摸球的所有等可能(p,q)组合，共6种：
$(-2,1)、(-2,4)、(1,-2)、(1,4)、(4,-2)、(4,1)$
一元二次方程$x^2+px+q=0$有实数根的条件为$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$p=-2,q=1$时，$\Delta=(-2)^2 -4×1=0$，满足条件；
2. 当$p=-2,q=4$时，$\Delta=4 - 16=-12＜0$，不满足；
3. 当$p=1,q=-2$时，$\Delta=1^2 -4×(-2)=9≥0$，满足条件；
4. 当$p=1,q=4$时，$\Delta=1 - 16=-15＜0$，不满足；
5. 当$p=4,q=-2$时，$\Delta=4^2 -4×(-2)=24≥0$，满足条件；
6. 当$p=4,q=1$时，$\Delta=16 -4×1=12≥0$，满足条件。
综上，满足条件的结果共4种，因此概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，列举法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题是代数与概率的综合基础题，将一元二次方程根的判定和概率计算结合考查，要求学生能准确列举所有等可能事件，同时熟练运用判别式判断方程根的情况，计算时需注意不放回试验的总事件数计算。
【难度系数】
0.7
11.(河北)如图5-2-5,一枚质地均匀的正四面体骰子,它的四个面分别标有数字1,2,3,4.正方形ABCD各顶点处有一个圈.跳圈游戏规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面的数字是几,就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.如,从圈A起跳,若第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;….设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率$P_1$.
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率$P_2$,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率$P_1$.
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率$P_2$,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗.
答案
11. (1) 共有4种等可能结果,落回到圈A只有1种情况,落回到圈A的概率$P_1 = \frac{1}{4}$.
(2) 列表略. 共有16种等可能结果,最后落回到圈A的有(1,3),(2,2),(3,1),(4,4),最后落回到圈A的概率$P_2 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
(2) 列表略. 共有16种等可能结果,最后落回到圈A的有(1,3),(2,2),(3,1),(4,4),最后落回到圈A的概率$P_2 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确掷一次正四面体骰子，会出现1、2、3、4共4种等可能的结果；要落回圈A，需要顺时针跳的步数刚好等于正方形的4个边长，也就是只有掷得数字4时满足条件，用符合要求的结果数除以总结果数即可求出$P_1$。
(2) 掷两次骰子属于两步试验，总共有$4×4=16$种等可能结果；要最终落回圈A，需要两次掷得的数字之和是4的倍数（总步数为4的倍数时刚好回到起点A），用列表法找出所有和为4的倍数的结果，再计算$P_2$，最后比较$P_1$和$P_2$的大小即可判断两人落回A的可能性是否相同。
【解析】
(1) 掷一次骰子，可能得到的数字为1、2、3、4，共4种等可能的结果。
若要落回到圈A，需顺时针跳4个边长，即掷得数字为4，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式可得：$P_1=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 列表展示两次掷骰子的所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 和为2 | 和为3 | 和为4 | 和为5 |
| 2 | 和为3 | 和为4 | 和为5 | 和为6 |
| 3 | 和为4 | 和为5 | 和为6 | 和为7 |
| 4 | 和为5 | 和为6 | 和为7 | 和为8 |
由表可知，总共有16种等可能的结果，其中两次数字和为4的倍数（即最后落回圈A）的结果有(1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,4)，共4种。
因此$P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
因为$P_1=P_2=\frac{1}{4}$，所以淇淇和嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【答案】
(1) $P_1=\frac{1}{4}$；
(2) $P_2=\frac{1}{4}$，她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【知识点】
概率公式，列表法求概率，等可能事件
【点评】
本题以趣味游戏为背景考查概率计算，解题核心是理解落回起点的条件为总步数是4的倍数，计算两步概率时注意列举结果做到不重不漏，题目难度适中，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确掷一次正四面体骰子，会出现1、2、3、4共4种等可能的结果；要落回圈A，需要顺时针跳的步数刚好等于正方形的4个边长，也就是只有掷得数字4时满足条件，用符合要求的结果数除以总结果数即可求出$P_1$。
(2) 掷两次骰子属于两步试验，总共有$4×4=16$种等可能结果；要最终落回圈A，需要两次掷得的数字之和是4的倍数（总步数为4的倍数时刚好回到起点A），用列表法找出所有和为4的倍数的结果，再计算$P_2$，最后比较$P_1$和$P_2$的大小即可判断两人落回A的可能性是否相同。
【解析】
(1) 掷一次骰子，可能得到的数字为1、2、3、4，共4种等可能的结果。
若要落回到圈A，需顺时针跳4个边长，即掷得数字为4，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式可得：$P_1=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 列表展示两次掷骰子的所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 和为2 | 和为3 | 和为4 | 和为5 |
| 2 | 和为3 | 和为4 | 和为5 | 和为6 |
| 3 | 和为4 | 和为5 | 和为6 | 和为7 |
| 4 | 和为5 | 和为6 | 和为7 | 和为8 |
由表可知，总共有16种等可能的结果，其中两次数字和为4的倍数（即最后落回圈A）的结果有(1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,4)，共4种。
因此$P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
因为$P_1=P_2=\frac{1}{4}$，所以淇淇和嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【答案】
(1) $P_1=\frac{1}{4}$；
(2) $P_2=\frac{1}{4}$，她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【知识点】
概率公式，列表法求概率，等可能事件
【点评】
本题以趣味游戏为背景考查概率计算，解题核心是理解落回起点的条件为总步数是4的倍数，计算两步概率时注意列举结果做到不重不漏，题目难度适中，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
12.(荆门)经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时，
(1)求三辆车全部同向而行的概率.
(2)求至少有两辆车向左转的概率.
(1)求三辆车全部同向而行的概率.
(2)求至少有两辆车向左转的概率.
答案
12. (1) 分别用 A,B,C 表示向左转、直行、向右转，根据题意，可画出树状图
.由树状图知,共有27种等可能结果.三辆车同向而行有3种情况,所以
$P(三车全部同向而行) = \frac{1}{9}$.
(2) 至少有两辆车向左转有7种情况,所以
$P(至少两辆车向左转) = \frac{7}{27}$.
解析
【分析】
本题为等可能事件的概率计算问题，每辆车经过路口有左转、直行、右转3种等可能的选择，且三辆车的行驶方向相互独立。解题时可通过树状图列举出所有等可能的结果，再分别找出两个问题对应的符合条件的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。首先明确总结果数：每辆车有3种选择，三辆车总共有$3×3×3=27$种等可能结果；再分别统计对应事件的结果数：（1）三车全部同向包含都左转、都直行、都右转3类情况；（2）至少两辆车向左转包含“恰好两辆车左转”和“三辆车都左转”两类，逐一计数即可。
【解析】
我们用A表示向左转、B表示直行、C表示向右转，根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，三辆车的行驶方向共有27种等可能的结果。
(1) 三辆车全部同向而行的情况有：三辆都左转（AAA）、三辆都直行（BBB）、三辆都右转（CCC），共3种，因此：
$P(\mathrm{三车全部同向而行})=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$
(2) 至少有两辆车向左转的情况包括：三辆都左转（AAA）、恰好两辆左转（AAB、AAC、ABA、ACA、BAA、CAA），共7种，因此：
$P(\mathrm{至少两辆车向左转})=\frac{7}{27}$
【答案】
(1) 分别用 A,B,C 表示向左转、直行、向右转，根据题意，可画出树状图。
由树状图知,共有27种等可能结果.三辆车同向而行有3种情况,所以
$P(三车全部同向而行) = \frac{1}{9}$。
(2) 至少有两辆车向左转有7种情况,所以
$P(至少两辆车向左转) = \frac{7}{27}$。
【知识点】
树状图求概率，概率公式，列举法
【点评】
本题是概率基础应用题，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，对于带有“至少”“至多”等限定词的事件，要分类梳理所有符合要求的情况，避免漏算或多算结果。
【难度系数】
0.7
本题为等可能事件的概率计算问题，每辆车经过路口有左转、直行、右转3种等可能的选择，且三辆车的行驶方向相互独立。解题时可通过树状图列举出所有等可能的结果，再分别找出两个问题对应的符合条件的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。首先明确总结果数：每辆车有3种选择，三辆车总共有$3×3×3=27$种等可能结果；再分别统计对应事件的结果数：（1）三车全部同向包含都左转、都直行、都右转3类情况；（2）至少两辆车向左转包含“恰好两辆车左转”和“三辆车都左转”两类，逐一计数即可。
【解析】
我们用A表示向左转、B表示直行、C表示向右转，根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，三辆车的行驶方向共有27种等可能的结果。
(1) 三辆车全部同向而行的情况有：三辆都左转（AAA）、三辆都直行（BBB）、三辆都右转（CCC），共3种，因此：
$P(\mathrm{三车全部同向而行})=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$
(2) 至少有两辆车向左转的情况包括：三辆都左转（AAA）、恰好两辆左转（AAB、AAC、ABA、ACA、BAA、CAA），共7种，因此：
$P(\mathrm{至少两辆车向左转})=\frac{7}{27}$
【答案】
(1) 分别用 A,B,C 表示向左转、直行、向右转，根据题意，可画出树状图
。由树状图知,共有27种等可能结果.三辆车同向而行有3种情况,所以
$P(三车全部同向而行) = \frac{1}{9}$。
(2) 至少有两辆车向左转有7种情况,所以
$P(至少两辆车向左转) = \frac{7}{27}$。
【知识点】
树状图求概率，概率公式，列举法
【点评】
本题是概率基础应用题，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，对于带有“至少”“至多”等限定词的事件，要分类梳理所有符合要求的情况，避免漏算或多算结果。
【难度系数】
0.7
