典例 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p$（单位：kPa）是气体体积$V$（单位：$\mathrm{m}^3$）的反比例函数，其图象如图所示。
(1)求$p$关于$V$的函数解析式；
(2)当气球内的压强超过150 kPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试求气球的半径至少为多少时，气球不会爆炸。（球体的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$，$π$取3）

1. 设$p=\frac{k}{V}$,把$V=0.04,p=120$代入上式,得$\frac{k}{0.04}=120$,解得$k=4.8$.
∴$p$关于$V$的函数解析式为$p=\frac{4.8}{V}$.
2. 当$p=150$时,$150=\frac{4.8}{V}$,
解得$V=0.032$.
∵$V=\frac{4}{3}π r^3,π=3$,
∴$\frac{4}{3}×3r^3=0.032$,
解得$r=0.2$.
因此,气球的半径至少为0.2 m时,气球不会爆炸.

举一反三 某工程队接到一项开挖水渠的工程,所需天数$y$与每天完成的工程量$x$(单位:m)成反比例函数关系,其函数图象经过点$(24,50)$.已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15 m.若要求该工程队恰好10天完成此项任务,则需要几台这样的挖掘机?
典例解析
典例
解 (1)设$p=\frac{k}{V}$,把$V=0.04,p=120$代入上式,得$\frac{k}{0.04}=120$,解得$k=4.8$.
∴$p$关于$V$的函数解析式为$p=\frac{4.8}{V}$.
(2)当$p=150$时,$150=\frac{4.8}{V}$,
解得$V=0.032$.
∵$V=\frac{4}{3}π r^3,π=3$,
∴$\frac{4}{3}×3r^3=0.032$,
解得$r=0.2$.
因此,气球的半径至少为0.2 m时,气球不会爆炸.

解 设$y=\frac{k}{x}$.
由函数图象经过点$(24,50)$,得$50=\frac{k}{24}$,解得$k=1 200$.
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1 200}{x}$.
当$y=10$时,得$10=\frac{1 200}{x}$,
解得$x=120$.
$120÷15=8$(台).
因此,需要8台这样的挖掘机.