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5.如图，$∠ AOC = ∠ BOD = 90°$，$∠ AOD = 126°$，则$∠ BOC$的大小为(
A.$36°$
B.$44°$
C.$54°$
D.$63°$
C
).A.$36°$
B.$44°$
C.$54°$
D.$63°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先梳理图中角的和差关系：首先观察到∠AOD由∠AOC和∠COD组成，已知∠AOD和∠AOC的度数，可先求出∠COD的度数；再观察到∠BOD由∠BOC和∠COD组成，已知∠BOD是直角，用∠BOD减去∠COD即可求出∠BOC。也可以利用两个直角的和等于∠AOD与重叠部分∠BOC的和，直接列式计算。
【解析】
方法一：
∵ ∠AOD = 126°，∠AOC = 90°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
方法二：
∵ ∠AOC = ∠BOD = 90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = 180°
又
∵ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOD + ∠BOC（两个直角相加时，∠BOC部分被重复计算一次），且∠AOD=126°
∴ ∠BOC = 180° - 126° = 54°
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算、直角的性质
【点评】
本题主要考查角的和差运算，解题的核心是明确图形中各角的位置关系，找到已知角和未知角的关联，属于基础题型，熟练掌握角的和差计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理图中角的和差关系：首先观察到∠AOD由∠AOC和∠COD组成，已知∠AOD和∠AOC的度数，可先求出∠COD的度数；再观察到∠BOD由∠BOC和∠COD组成，已知∠BOD是直角，用∠BOD减去∠COD即可求出∠BOC。也可以利用两个直角的和等于∠AOD与重叠部分∠BOC的和，直接列式计算。
【解析】
方法一：
∵ ∠AOD = 126°，∠AOC = 90°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
方法二：
∵ ∠AOC = ∠BOD = 90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = 180°
又
∵ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOD + ∠BOC（两个直角相加时，∠BOC部分被重复计算一次），且∠AOD=126°
∴ ∠BOC = 180° - 126° = 54°
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算、直角的性质
【点评】
本题主要考查角的和差运算，解题的核心是明确图形中各角的位置关系，找到已知角和未知角的关联，属于基础题型，熟练掌握角的和差计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6.人们很早就借助工具度量角.我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”.一个简单结构的“矩”是指两条边成直角的曲尺(如图),它的两条边分别为AB，BC.若∠1=35°,则∠2的度数是
55°
.答案
6. 55°
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：点B在水平直线上，因此∠1、∠ABC、∠2三个角共同构成一个平角，和为180°；再结合题中“矩的两条边成直角”的条件，可知∠ABC=90°；已知∠1的度数，用平角的总度数减去直角和∠1的度数，就能算出∠2的大小。
【解析】
解：根据平角的定义，水平直线上B点处的三个角度数之和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ ABC + ∠ 2 = 180°$
∵ “矩”的两条边AB、BC成直角
∴ $∠ ABC=90°$，又已知$∠ 1=35°$
代入式子得：
$35° + 90° + ∠ 2 = 180°$
$∠ 2 = 180° - 90° - 35° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
平角的定义、直角的性质、角度计算
【点评】
本题结合我国古代传统测量工具“矩”设置命题情境，考查基础的角度运算，解题的关键是准确识别图形中的平角和直角，结合已知条件即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察图形特征：点B在水平直线上，因此∠1、∠ABC、∠2三个角共同构成一个平角，和为180°；再结合题中“矩的两条边成直角”的条件，可知∠ABC=90°；已知∠1的度数，用平角的总度数减去直角和∠1的度数，就能算出∠2的大小。
【解析】
解：根据平角的定义，水平直线上B点处的三个角度数之和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ ABC + ∠ 2 = 180°$
∵ “矩”的两条边AB、BC成直角
∴ $∠ ABC=90°$，又已知$∠ 1=35°$
代入式子得：
$35° + 90° + ∠ 2 = 180°$
$∠ 2 = 180° - 90° - 35° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
平角的定义、直角的性质、角度计算
【点评】
本题结合我国古代传统测量工具“矩”设置命题情境，考查基础的角度运算，解题的关键是准确识别图形中的平角和直角，结合已知条件即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
7.若∠1与∠2互余，且∠1:∠2=3:2，则∠1=
54
°，∠2=36
°。答案
7. 54 36
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①先明确“互余”的含义：若两个角互余，则它们的度数和为90°，由此可得∠1+∠2=90°；②题目给出∠1与∠2的比为3:2，可通过设每份角度为x，将∠1、∠2分别表示为3x、2x，代入角度和的关系式即可求出x的值，进而算出两个角的度数；也可以直接用按比例分配的方法计算，总份数为3+2=5份，对应总度数90°，先算每份的度数再分别乘对应份数即可。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵∠1:∠2 = 3:2，
设∠1 = 3x，∠2 = 2x，
则3x + 2x = 90°，
合并同类项得：5x = 90°，
解得：x = 18°，
∴∠1 = 3x = 3×18° = 54°，
∠2 = 2x = 2×18° = 36°。
【答案】
54；36
【知识点】
余角的定义；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查余角的性质与比例关系的结合运用，解题核心是牢记互余两角的和为90°，再结合比例关系列式计算即可，掌握基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：①先明确“互余”的含义：若两个角互余，则它们的度数和为90°，由此可得∠1+∠2=90°；②题目给出∠1与∠2的比为3:2，可通过设每份角度为x，将∠1、∠2分别表示为3x、2x，代入角度和的关系式即可求出x的值，进而算出两个角的度数；也可以直接用按比例分配的方法计算，总份数为3+2=5份，对应总度数90°，先算每份的度数再分别乘对应份数即可。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵∠1:∠2 = 3:2，
设∠1 = 3x，∠2 = 2x，
则3x + 2x = 90°，
合并同类项得：5x = 90°，
解得：x = 18°，
∴∠1 = 3x = 3×18° = 54°，
∠2 = 2x = 2×18° = 36°。
【答案】
54；36
【知识点】
余角的定义；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查余角的性质与比例关系的结合运用，解题核心是牢记互余两角的和为90°，再结合比例关系列式计算即可，掌握基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
8.如图,有海岛A,B,已知海岛A在灯塔O北偏东$30.3°$($∠ AOC=30.3°$)方向上,若$∠ AOC$与$∠ BOC$互余,则海岛B在灯塔O北偏西
59°42′
方向上.(角度用“度、分”表示.)答案
8. 59°42′
解析
【分析】
解题首先要明确互余的两个角的和为90°，先利用余角的性质计算出∠BOC的度数，再根据1°=60′将计算得到的小数度转化为度分的形式，即可得到海岛B相对于灯塔O的方向角度。
【解析】
已知∠AOC与∠BOC互余，根据互余的定义，得：
$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$
又已知$∠ AOC=30.3°$，代入得：
$∠ BOC = 90° - 30.3° = 59.7°$
进行度分换算：因为$1°=60'$，所以$0.7°=0.7×60'=42'$
因此$∠ BOC=59°42'$，即海岛B在灯塔O北偏西$59°42'$方向上。
【答案】
$59°42'$
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题结合方位角考查余角的性质和角度单位的换算，解题时需注意度和分的换算进率为60，避免换算错误，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确互余的两个角的和为90°，先利用余角的性质计算出∠BOC的度数，再根据1°=60′将计算得到的小数度转化为度分的形式，即可得到海岛B相对于灯塔O的方向角度。
【解析】
已知∠AOC与∠BOC互余，根据互余的定义，得：
$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$
又已知$∠ AOC=30.3°$，代入得：
$∠ BOC = 90° - 30.3° = 59.7°$
进行度分换算：因为$1°=60'$，所以$0.7°=0.7×60'=42'$
因此$∠ BOC=59°42'$，即海岛B在灯塔O北偏西$59°42'$方向上。
【答案】
$59°42'$
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题结合方位角考查余角的性质和角度单位的换算，解题时需注意度和分的换算进率为60，避免换算错误，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.如图，∠AOC=∠BOC=90°，∠AOD=∠COE，则图中互为余角的共有（
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
B
）。A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
答案
9. B
解析
【分析】
首先明确互为余角的核心定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互为余角。解题时先从题目给出的两个直角∠AOC、∠BOC入手，先找出直接相加等于90°的角对，再结合已知条件∠AOD=∠COE，通过等量代换找出其余的互余角对，最后统计总对数即可得到答案。
【解析】
解：已知∠AOC=∠BOC=90°，根据角的和差关系：
1. ∠AOD + ∠DOC = ∠AOC = 90°，因此∠AOD与∠DOC互余；
2. ∠COE + ∠EOB = ∠BOC = 90°，因此∠COE与∠EOB互余。
结合已知∠AOD=∠COE，进行等量代换：
3. 把第一个等式中的∠AOD替换为∠COE，可得∠COE + ∠DOC = 90°，因此∠COE与∠DOC互余；
4. 把第二个等式中的∠COE替换为∠AOD，可得∠AOD + ∠EOB = 90°，因此∠AOD与∠EOB互余。
综上，互为余角的共有4对。
【答案】B
【知识点】
1. 余角的定义
2. 角的和差运算
3. 等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查对余角概念的理解和运用，解题时按照从直接到间接的顺序查找互余角对，就能避免漏数或重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
首先明确互为余角的核心定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互为余角。解题时先从题目给出的两个直角∠AOC、∠BOC入手，先找出直接相加等于90°的角对，再结合已知条件∠AOD=∠COE，通过等量代换找出其余的互余角对，最后统计总对数即可得到答案。
【解析】
解：已知∠AOC=∠BOC=90°，根据角的和差关系：
1. ∠AOD + ∠DOC = ∠AOC = 90°，因此∠AOD与∠DOC互余；
2. ∠COE + ∠EOB = ∠BOC = 90°，因此∠COE与∠EOB互余。
结合已知∠AOD=∠COE，进行等量代换：
3. 把第一个等式中的∠AOD替换为∠COE，可得∠COE + ∠DOC = 90°，因此∠COE与∠DOC互余；
4. 把第二个等式中的∠COE替换为∠AOD，可得∠AOD + ∠EOB = 90°，因此∠AOD与∠EOB互余。
综上，互为余角的共有4对。
【答案】B
【知识点】
1. 余角的定义
2. 角的和差运算
3. 等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查对余角概念的理解和运用，解题时按照从直接到间接的顺序查找互余角对，就能避免漏数或重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
10.如图，O是直线AB上一点，$∠ AOC = \frac{1}{3}∠ COD$，OE平分$∠ AOC$，$∠ COE$与$∠ COF$互余.若$∠ BOD = 20°$，则$∠ DOF$的度数为
50°
.答案
10. 50°
解析
【分析】
解题时首先利用平角的定义求出∠AOD的度数，再结合∠AOC与∠COD的数量关系求出这两个角的度数；接下来根据角平分线的定义算出∠COE的度数，利用互余的性质求出∠COF的度数，最后通过角的和差关系即可求出∠DOF的度数。
【解析】
解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOD=20°，
∴∠AOD=∠AOB - ∠BOD=180°-20°=160°，
又
∵∠AOC=$\frac{1}{3}$∠COD，且∠AOD=∠AOC+∠COD，
∴∠AOC + 3∠AOC=160°，即4∠AOC=160°，
解得∠AOC=40°，则∠COD=3×40°=120°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∵∠COE与∠COF互余，
∴∠COE+∠COF=90°，
∴∠COF=90°-20°=70°，
∴∠DOF=∠COD - ∠COF=120°-70°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；余角的定义
【点评】
本题是角的计算的常规题型，需要结合已知条件梳理不同角之间的和差、比例关系，逐步推导计算，掌握基础的角的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平角的定义求出∠AOD的度数，再结合∠AOC与∠COD的数量关系求出这两个角的度数；接下来根据角平分线的定义算出∠COE的度数，利用互余的性质求出∠COF的度数，最后通过角的和差关系即可求出∠DOF的度数。
【解析】
解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOD=20°，
∴∠AOD=∠AOB - ∠BOD=180°-20°=160°，
又
∵∠AOC=$\frac{1}{3}$∠COD，且∠AOD=∠AOC+∠COD，
∴∠AOC + 3∠AOC=160°，即4∠AOC=160°，
解得∠AOC=40°，则∠COD=3×40°=120°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∵∠COE与∠COF互余，
∴∠COE+∠COF=90°，
∴∠COF=90°-20°=70°，
∴∠DOF=∠COD - ∠COF=120°-70°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；余角的定义
【点评】
本题是角的计算的常规题型，需要结合已知条件梳理不同角之间的和差、比例关系，逐步推导计算，掌握基础的角的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知 O 是直线 AB 上的一点,∠BOC=40°,OD,OE 分别是∠BOC,∠AOC的平分线.
(1)求∠AOE 的度数.
(2)写出图中与∠EOC 互余的角.
(3)∠COE 有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
(1)求∠AOE 的度数.
(2)写出图中与∠EOC 互余的角.
(3)∠COE 有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
答案
11. 解:(1)因为∠BOC=40°,
所以∠AOC=180°−∠BOC=180°−40°=140°.
因为OE是∠AOC的平分线,
所以∠AOE=1/2∠AOC=1/2×140°=70°.
(2)因为OD,OE分别是∠BOC,∠AOC的平分线,
所以∠AOE=∠EOC=1/2∠AOC,
∠COD=∠BOD=1/2∠BOC.
所以∠EOC+∠COD
=1/2∠AOC+1/2∠BOC
=1/2(∠AOC+∠BOC)
=1/2×180°=90°.
因为∠BOD=∠COD,
所以∠BOD+∠EOC=90°.
所以图中与∠EOC互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角为∠BOE.理由如下.
因为∠AOE=∠COE,
∠AOE+∠BOE=180°,
所以∠COE+∠BOE=180°.
所以∠COE的补角是∠BOE.
所以∠AOC=180°−∠BOC=180°−40°=140°.
因为OE是∠AOC的平分线,
所以∠AOE=1/2∠AOC=1/2×140°=70°.
(2)因为OD,OE分别是∠BOC,∠AOC的平分线,
所以∠AOE=∠EOC=1/2∠AOC,
∠COD=∠BOD=1/2∠BOC.
所以∠EOC+∠COD
=1/2∠AOC+1/2∠BOC
=1/2(∠AOC+∠BOC)
=1/2×180°=90°.
因为∠BOD=∠COD,
所以∠BOD+∠EOC=90°.
所以图中与∠EOC互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角为∠BOE.理由如下.
因为∠AOE=∠COE,
∠AOE+∠BOE=180°,
所以∠COE+∠BOE=180°.
所以∠COE的补角是∠BOE.
解析
【分析】
(1) 首先根据O在直线AB上可得∠AOB是180°的平角，结合已知∠BOC的度数，可先求出∠AOC的度数；再根据OE是∠AOC的角平分线，利用角平分线平分角的性质，计算∠AOE的度数即可。
(2) 互余的两个角和为90°，先通过角平分线的性质，推导∠EOC与∠COD的和为平角的一半即90°，再找出与∠COD相等的角，即可得到所有与∠EOC互余的角。
(3) 互补的两个角和为180°，先由角平分线得到∠COE=∠AOE，观察可得∠AOE的补角是∠BOE，通过等量代换即可确定∠COE的补角。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，∠AOB为平角等于180°，已知∠BOC=40°，
所以∠AOC=180°−∠BOC=180°−40°=140°，
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 因为OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的平分线，
所以∠EOC=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
则∠EOC+∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
又因为∠BOD=∠COD，所以∠EOC+∠BOD=90°，
因此与∠EOC互余的角为∠COD、∠BOD。
(3) ∠COE有补角，为∠BOE，理由如下：
由角平分线的性质可得∠COE=∠AOE，
又因为∠AOE+∠BOE=180°（平角的定义），
等量代换得∠COE+∠BOE=180°，
所以∠COE的补角是∠BOE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$
(2) $\boldsymbol{∠ COD、∠ BOD}$
(3) 有，补角是$\boldsymbol{∠ BOE}$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于角的计算基础题，结合平角的隐含条件，考察角平分线、余角、补角的概念与应用，解题时需熟练掌握互余、互补的数量关系，合理利用角平分线得到相等的角进行推导。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据O在直线AB上可得∠AOB是180°的平角，结合已知∠BOC的度数，可先求出∠AOC的度数；再根据OE是∠AOC的角平分线，利用角平分线平分角的性质，计算∠AOE的度数即可。
(2) 互余的两个角和为90°，先通过角平分线的性质，推导∠EOC与∠COD的和为平角的一半即90°，再找出与∠COD相等的角，即可得到所有与∠EOC互余的角。
(3) 互补的两个角和为180°，先由角平分线得到∠COE=∠AOE，观察可得∠AOE的补角是∠BOE，通过等量代换即可确定∠COE的补角。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，∠AOB为平角等于180°，已知∠BOC=40°，
所以∠AOC=180°−∠BOC=180°−40°=140°，
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 因为OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的平分线，
所以∠EOC=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
则∠EOC+∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
又因为∠BOD=∠COD，所以∠EOC+∠BOD=90°，
因此与∠EOC互余的角为∠COD、∠BOD。
(3) ∠COE有补角，为∠BOE，理由如下：
由角平分线的性质可得∠COE=∠AOE，
又因为∠AOE+∠BOE=180°（平角的定义），
等量代换得∠COE+∠BOE=180°，
所以∠COE的补角是∠BOE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$
(2) $\boldsymbol{∠ COD、∠ BOD}$
(3) 有，补角是$\boldsymbol{∠ BOE}$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于角的计算基础题，结合平角的隐含条件，考察角平分线、余角、补角的概念与应用，解题时需熟练掌握互余、互补的数量关系，合理利用角平分线得到相等的角进行推导。
【难度系数】
0.8
