学习任务一 余角和补角的概念
1.余角:如果两个角的和等于,就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.
2.补角:如果两个角的和等于,就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.

1. 90°(直角)
2. 180°(平角)

【分析】
本题为余角、补角概念的基础识记题，解题思路为回忆课本中两个概念的定义内容：首先回忆余角的核心判定条件是两个角的和为直角，其次回忆补角的核心判定条件是两个角的和为平角，对应填入对应数值即可。
【解析】
1. 根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，因此此处填90°(直角)。
2. 根据补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，因此此处填180°(平角)。
【答案】
1. 90°(直角)
2. 180°(平角)
【知识点】
余角的概念；补角的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，是几何角度相关知识的入门内容，熟练掌握余角、补角的定义是后续开展角度计算、相关几何性质推导的前提，只要准确记忆概念即可得分。
【难度系数】
0.9

学习任务二 余角和补角的性质
1.余角的性质:同角(等角)的余角.
2.补角的性质:同角(等角)的补角.

1. 相等
2. 相等

【分析】
本题考查余角和补角的性质，解题时可先结合余角、补角的定义推导性质：①先回忆余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角是同一个角的余角，二者都等于90°减去这个同角，因此大小相等；若两个角是相等角的余角，二者分别等于90°减去两个相等的角，结果也相等。②再回忆补角定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，同理可推导同角（等角）的补角的性质，结合推导结果填空即可。
【解析】
1. 设两个角都是∠α的余角，根据余角定义可得：第一个角=90°-∠α，第二个角=90°-∠α，因此两个角相等；若∠α=∠β，∠1是∠α的余角，∠2是∠β的余角，则∠1=90°-∠α，∠2=90°-∠β，结合∠α=∠β可得∠1=∠2，因此同角（等角）的余角相等。
2. 设两个角都是∠α的补角，根据补角定义可得：第一个角=180°-∠α，第二个角=180°-∠α，因此两个角相等；若∠α=∠β，∠1是∠α的补角，∠2是∠β的补角，则∠1=180°-∠α，∠2=180°-∠β，结合∠α=∠β可得∠1=∠2，因此同角（等角）的补角相等。
【答案】
1. 相等
2. 相等
【知识点】
余角的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对余角、补角性质的识记与简单推导，该性质是后续几何中角度计算、关系证明的常用基础结论，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

【例1】一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的补角和这个角的余角的度数.
解:
【规律方法】
余角、补角的相关计算往往利用方程思想，即设一个角的度数为$a°$，则它的余角和补角的度数分别为$90°-a°,180°-a°$，再根据题目所给的条件列方程求解.

设这个角的度数为$x°$,则其补角为$(180-x)°$,余角为$(90-x)°$.根据题意,得$180-x=4(90-x)$,解得$x=60$,所以这个角的补角的度数为$180°-60°=120°$,这个角的余角的度数为$90°-60°=30°$.

【分析】
解题时首先回忆余角、补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。题目给出了一个角的补角和它的余角的倍数关系，我们可以采用方程思想求解：第一步先设这个角的度数为未知数，根据余角、补角的定义分别用含未知数的式子表示出它的余角和补角；第二步根据“补角是余角的4倍”这一等量关系列方程；第三步解方程求出这个角的度数，再代入表达式分别计算补角和余角的度数即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则其补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$180-x=4(90-x)$
展开右侧得：$180-x=360-4x$
移项合并同类项得：$3x=180$
解得：$x=60$
因此这个角的补角度数为$180°-60°=120°$，余角度数为$90°-60°=30°$。
【答案】
这个角的补角为$120°$，余角为$30°$
【知识点】
1.余角与补角的定义
2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，核心考查余角补角的性质和方程思想的运用，熟练掌握余角、补角的表达式，准确提取题目中的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

变式训练
1.如果∠α的补角是∠α的余角的3倍，求∠α的度数。

1. 解:∠α=45°.

【分析】
解题时首先回忆余角和补角的基本定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。据此我们可以用含∠α的式子分别表示出它的余角和补角，再结合题目给出的“补角是余角的3倍”这一等量关系列方程，最后解方程即可求出∠α的度数。
【解析】
解：根据余角、补角的定义可得：
∠α的余角为$90°-∠α$，
∠α的补角为$180°-∠α$，
根据题意列方程：
$180°-∠α=3×(90°-∠α)$
去括号得：$180°-∠α=270°-3∠α$
移项、合并同类项得：$2∠α=90°$
系数化为1得：$∠α=45°$
【答案】
$∠α=45°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对余角、补角概念的掌握，解题关键是找准等量关系建立方程求解，熟练掌握相关定义就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8

【例2】如图，A，O，B三点在一条直线上，$∠ AOC=∠ DOE=90°$.
(1)图中互余的角有哪些？
(2)相等的角有哪些(小于$90°$的角)？
解：

【规律方法】
正确理解互余、互补
(1)共同点:互余、互补都是反映两个角的数量关系,与角的位置无关,单独的一个角既不能说互余也不能说互补.
(2)不同点:互余的两角之和等于$90°$,其中任何一角都小于$90°$;互补的两角之和等于$180°$,这两个角不可能都小于$90°$.

(1) 因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1+∠4=180°−∠DOE=90°.
又因为∠COB=180°−∠AOC=180°−90°=90°,所以∠3+∠4=90°,
所以∠1与∠2互余,∠3与∠2互余,∠1与∠4互余,∠3与∠4互余.
(2) 由余角的性质可得:∠1=∠3,∠2=∠4.

【分析】
解决本题首先要明确核心概念：①互余的定义：两个角的和为90°则两角互余；②同角的余角相等。第一问找互余的角时，先结合已知的∠AOC=∠DOE=90°，以及A、O、B共线得∠AOB=180°，推导得出所有和为90°的角对即可。第二问找相等的小于90°的角时，利用第一问得到的互余关系，根据“同角的余角相等”推导即可。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC=∠ DOE=90°$，
因此$∠1+∠2=∠ AOC=90°$，$∠2+∠3=∠ DOE=90°$。
因为A，O，B三点在同一直线上，所以$∠ AOB=180°$，
则$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=180°-90°=90°$，可得$∠3+∠4=∠ COB=90°$，
同时$∠1+∠4=∠ AOB-∠ DOE=180°-90°=90°$。
根据互余的定义可得：$∠1$与$∠2$互余，$∠2$与$∠3$互余，$∠3$与$∠4$互余，$∠1$与$∠4$互余。
(2) 由(1)的结论可知，$∠1$和$∠3$都是$∠2$的余角，根据同角的余角相等，得$∠1=∠3$；
$∠2$和$∠4$都是$∠1$（或$∠3$）的余角，根据同角的余角相等，得$∠2=∠4$，且$∠1、∠2、∠3、∠4$均小于$90°$，符合要求。
【答案】
(1) 互余的角：$∠1$与$∠2$，$∠2$与$∠3$，$∠3$与$∠4$，$∠1$与$∠4$；
(2) 相等的小于$90°$的角：$∠1=∠3$，$∠2=∠4$。
【知识点】
余角的定义，余角的性质，平角的概念
【点评】
本题是角度关系的基础题型，解题时要结合图形特征和已知条件，先根据定义识别互余的角，再利用余角的性质推导相等的角，注意不要漏数互余的角对。
【难度系数】
0.8