登录
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.
(1)若$a=9,b=5$,且$c$为整数,求$△ ABC$周长的最大值；
(2)化简:$|b+c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|$.
16.(6分)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.
(1)若$a=9,b=5$,且$c$为整数,求$△ ABC$周长的最大值；
(2)化简:$|b+c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|$.
答案
16. 解:(1)
∵a=9,b=5,
∴9-5＜c＜9+5,即4＜c＜14,
∵c为整数,
∴当c=13,△ABC周长的最大值为a+b+c=9+5+13=27;
(2)
∵△ABC的三边长为a,b,c,
∴b+c-a＞0,c-a-b＜0,a-b+c＞0,
∴|b+c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|
=b+c-a-(a+b-c)-(a-b+c)
=b+c-a-a-b+c-a+b-c
=-3a+b+c.
∵a=9,b=5,
∴9-5＜c＜9+5,即4＜c＜14,
∵c为整数,
∴当c=13,△ABC周长的最大值为a+b+c=9+5+13=27;
(2)
∵△ABC的三边长为a,b,c,
∴b+c-a＞0,c-a-b＜0,a-b+c＞0,
∴|b+c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|
=b+c-a-(a+b-c)-(a-b+c)
=b+c-a-a-b+c-a+b-c
=-3a+b+c.
解析
【分析】
（1）要计算△ABC周长的最大值，已知a、b的长度，周长为a+b+c，因此需先根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数的条件取c的最大整数值，代入即可求出最大周长。
（2）化简含绝对值的式子，首先要判断每个绝对值内代数式的正负：依据三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别判断三个代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1) 已知$a=9$，$b=5$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$9-5 ＜ c ＜ 9+5$，即$4 ＜ c ＜ 14$
∵$c$为整数，
∴$c$可取的最大整数值为13
此时△ABC的周长最大值为：$a+b+c=9+5+13=27$
(2)
∵$a,b,c$是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：
$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$
$a+b＞c$，即$c-a-b=c-(a+b)＜0$
$a+c＞b$，即$a-b+c=(a+c)-b＞0$
根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项：
$\begin{aligned}&|b+c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|\\=&(b+c-a)-[-(c-a-b)]-(a-b+c)\\=&b+c-a + c - a - b - a + b - c\\=&-3a + b + c\end{aligned}$
【答案】
(1) $△ ABC$周长的最大值为$\boldsymbol{27}$；
(2) 化简结果为$\boldsymbol{-3a + b + c}$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于三角形章节的基础题型，第一问是三边关系的直接应用，解题时注意题干中c为整数的限制条件；第二问结合绝对值化简，核心是利用三边关系判断代数式的正负，去绝对值时要注意符号变化，熟练掌握基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
（1）要计算△ABC周长的最大值，已知a、b的长度，周长为a+b+c，因此需先根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数的条件取c的最大整数值，代入即可求出最大周长。
（2）化简含绝对值的式子，首先要判断每个绝对值内代数式的正负：依据三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别判断三个代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1) 已知$a=9$，$b=5$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$9-5 ＜ c ＜ 9+5$，即$4 ＜ c ＜ 14$
∵$c$为整数，
∴$c$可取的最大整数值为13
此时△ABC的周长最大值为：$a+b+c=9+5+13=27$
(2)
∵$a,b,c$是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：
$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$
$a+b＞c$，即$c-a-b=c-(a+b)＜0$
$a+c＞b$，即$a-b+c=(a+c)-b＞0$
根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项：
$\begin{aligned}&|b+c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|\\=&(b+c-a)-[-(c-a-b)]-(a-b+c)\\=&b+c-a + c - a - b - a + b - c\\=&-3a + b + c\end{aligned}$
【答案】
(1) $△ ABC$周长的最大值为$\boldsymbol{27}$；
(2) 化简结果为$\boldsymbol{-3a + b + c}$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于三角形章节的基础题型，第一问是三边关系的直接应用，解题时注意题干中c为整数的限制条件；第二问结合绝对值化简，核心是利用三边关系判断代数式的正负，去绝对值时要注意符号变化，熟练掌握基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
17.(6分)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB:∠CNB=3:2，求∠CAB的度数. 
答案
17. 36°.
解析
【分析】
解题时首先明确点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，我们可以先利用三角形内角和定理、角平分线的性质，分别推导出∠CMB、∠CNB与∠CAB的数量关系，再结合已知的角度比例关系列方程，即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ CAB$
∵ 点M是△ABC两个内角平分线的交点
∴ $∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ MCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
在△CMB中，$∠ CMB = 180° - (∠ MBC + ∠ MCB)$
代入得：
$∠ CMB = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ CAB) = 90° + \frac{1}{2}∠ CAB$ ---①
∵ 点N是△ABC两个外角平分线的交点
△ABC与$∠ ABC$、$∠ ACB$相邻的两个外角和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - (180° - ∠ CAB) = 180° + ∠ CAB$
∴ $∠ NBC = \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC)$，$∠ NCB = \frac{1}{2}(180° - ∠ ACB)$
在△CNB中，$∠ CNB = 180° - (∠ NBC + ∠ NCB)$
代入得：
$∠ CNB = 180° - \frac{1}{2}(180° + ∠ CAB) = 90° - \frac{1}{2}∠ CAB$ ---②
已知$∠ CMB:∠ CNB = 3:2$，将①②代入得：
$\frac{90°+\frac{1}{2}∠ CAB}{90°-\frac{1}{2}∠ CAB} = \frac{3}{2}$
交叉相乘得：$2(90° + \frac{1}{2}∠ CAB) = 3(90° - \frac{1}{2}∠ CAB)$
展开：$180° + ∠ CAB = 270° - \frac{3}{2}∠ CAB$
移项合并：$\frac{5}{2}∠ CAB = 90°$
解得：$∠ CAB = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的典型题型，核心是掌握三角形内角平分线交点、外角平分线交点形成的夹角与原三角形内角的推导方法，结合比例关系即可快速求解，解题时注意角度推导的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，我们可以先利用三角形内角和定理、角平分线的性质，分别推导出∠CMB、∠CNB与∠CAB的数量关系，再结合已知的角度比例关系列方程，即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ CAB$
∵ 点M是△ABC两个内角平分线的交点
∴ $∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ MCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
在△CMB中，$∠ CMB = 180° - (∠ MBC + ∠ MCB)$
代入得：
$∠ CMB = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ CAB) = 90° + \frac{1}{2}∠ CAB$ ---①
∵ 点N是△ABC两个外角平分线的交点
△ABC与$∠ ABC$、$∠ ACB$相邻的两个外角和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - (180° - ∠ CAB) = 180° + ∠ CAB$
∴ $∠ NBC = \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC)$，$∠ NCB = \frac{1}{2}(180° - ∠ ACB)$
在△CNB中，$∠ CNB = 180° - (∠ NBC + ∠ NCB)$
代入得：
$∠ CNB = 180° - \frac{1}{2}(180° + ∠ CAB) = 90° - \frac{1}{2}∠ CAB$ ---②
已知$∠ CMB:∠ CNB = 3:2$，将①②代入得：
$\frac{90°+\frac{1}{2}∠ CAB}{90°-\frac{1}{2}∠ CAB} = \frac{3}{2}$
交叉相乘得：$2(90° + \frac{1}{2}∠ CAB) = 3(90° - \frac{1}{2}∠ CAB)$
展开：$180° + ∠ CAB = 270° - \frac{3}{2}∠ CAB$
移项合并：$\frac{5}{2}∠ CAB = 90°$
解得：$∠ CAB = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的典型题型，核心是掌握三角形内角平分线交点、外角平分线交点形成的夹角与原三角形内角的推导方法，结合比例关系即可快速求解，解题时注意角度推导的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
18.（6分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠A和∠D的度数；
(2)由(1)小题的计算结果,猜想∠A和∠D有什么数量关系,并加以证明.
(1)若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠A和∠D的度数；
(2)由(1)小题的计算结果,猜想∠A和∠D有什么数量关系,并加以证明.
答案
18. 解:(1)在△ABC中,
∠ABC=60°,∠ACB=40°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°,
∵BD为∠ABC的平分线,
CD为∠ACE的平分线,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,
∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)=$\frac{1}{2}$×140°=70°,
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-30°-40°-70°=40°,
∴∠A=80°,∠D=40°;
(2)通过第(1)小题的计算,得到∠A=2∠D.理由如下:
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
∴∠ACD+∠DCE=∠A+∠ABD+∠DBE,∠DCE=∠D+∠DBC,
又
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠ABD=∠DBE,∠ACD=∠DCE,
∴∠A=2(∠DCE-∠DBC),
∠D=∠DCE-∠DBC,
∴∠A=2∠D.
∠ABC=60°,∠ACB=40°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°,
∵BD为∠ABC的平分线,
CD为∠ACE的平分线,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,
∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)=$\frac{1}{2}$×140°=70°,
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-30°-40°-70°=40°,
∴∠A=80°,∠D=40°;
(2)通过第(1)小题的计算,得到∠A=2∠D.理由如下:
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
∴∠ACD+∠DCE=∠A+∠ABD+∠DBE,∠DCE=∠D+∠DBC,
又
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠ABD=∠DBE,∠ACD=∠DCE,
∴∠A=2(∠DCE-∠DBC),
∠D=∠DCE-∠DBC,
∴∠A=2∠D.
解析
【分析】
(1)求∠A时，可直接利用三角形内角和为180°的性质，用180°减去已知的两个内角度数即可得到结果。求∠D时，先根据角平分线的定义，分别算出∠ABC的一半即∠DBC，以及∠ACB的外角∠ACE的一半即∠ACD，再结合三角形内角和定理，在包含∠D的三角形中计算即可得到∠D的度数。
(2)观察(1)的计算结果可猜想∠A=2∠D，证明时利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，分别得到∠ACE与∠A、∠ABC的关系，∠DCE与∠D、∠DBC的关系，再结合角平分线的定义做等量代换，消去公共项即可推导出两角的数量关系。
【解析】
(1)在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，
根据三角形内角和定理：
$∠ A=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-60°-40°=80°$
∵BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$∠ ACE=180°-∠ ACB=140°$，$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△BCD中，$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=40°+70°=110°$，
根据三角形内角和定理：
$∠ D=180°-∠ DBC-∠ BCD=180°-30°-110°=40°$
(2)猜想：$∠ A=2∠ D$，证明如下：
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴$∠ ACE=∠ A+∠ ABC$，
∵CD平分∠ACE，
∴$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$，
又
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴$∠ DCE=∠ D+∠ DBC$，
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
代入上式得：$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ D+\frac{1}{2}∠ ABC$，
化简可得：$\frac{1}{2}∠ A=∠ D$，即$∠ A=2∠ D$。
【答案】
(1)$∠ A=80°$，$∠ D=40°$；
(2)$∠ A=2∠ D$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形章节的典型综合题，既考查了基础的角度计算能力，也锻炼了从特殊实例猜想一般规律、再通过逻辑推理验证的数学思维，熟练掌握三角形外角的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)求∠A时，可直接利用三角形内角和为180°的性质，用180°减去已知的两个内角度数即可得到结果。求∠D时，先根据角平分线的定义，分别算出∠ABC的一半即∠DBC，以及∠ACB的外角∠ACE的一半即∠ACD，再结合三角形内角和定理，在包含∠D的三角形中计算即可得到∠D的度数。
(2)观察(1)的计算结果可猜想∠A=2∠D，证明时利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，分别得到∠ACE与∠A、∠ABC的关系，∠DCE与∠D、∠DBC的关系，再结合角平分线的定义做等量代换，消去公共项即可推导出两角的数量关系。
【解析】
(1)在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，
根据三角形内角和定理：
$∠ A=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-60°-40°=80°$
∵BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$∠ ACE=180°-∠ ACB=140°$，$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△BCD中，$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=40°+70°=110°$，
根据三角形内角和定理：
$∠ D=180°-∠ DBC-∠ BCD=180°-30°-110°=40°$
(2)猜想：$∠ A=2∠ D$，证明如下：
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴$∠ ACE=∠ A+∠ ABC$，
∵CD平分∠ACE，
∴$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$，
又
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴$∠ DCE=∠ D+∠ DBC$，
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
代入上式得：$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ D+\frac{1}{2}∠ ABC$，
化简可得：$\frac{1}{2}∠ A=∠ D$，即$∠ A=2∠ D$。
【答案】
(1)$∠ A=80°$，$∠ D=40°$；
(2)$∠ A=2∠ D$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形章节的典型综合题，既考查了基础的角度计算能力，也锻炼了从特殊实例猜想一般规律、再通过逻辑推理验证的数学思维，熟练掌握三角形外角的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且DC=CE,DF⊥BE于点F.求证:F是BE的中点. 
答案
19. 证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵DC=CE,
∴∠E=∠CDE,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠DBC=∠E,
∴DB=DE,
∵DF⊥BE,
∴∠BFD=∠EFD=90°,
在Rt△BDF与Rt△EDF中,
{ DB = DE , DF = DF ,
∴Rt△BDF≌Rt△EDF(HL),
∴BF=EF,
∴F是BE的中点.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵DC=CE,
∴∠E=∠CDE,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠DBC=∠E,
∴DB=DE,
∵DF⊥BE,
∴∠BFD=∠EFD=90°,
在Rt△BDF与Rt△EDF中,
{ DB = DE , DF = DF ,
∴Rt△BDF≌Rt△EDF(HL),
∴BF=EF,
∴F是BE的中点.
解析
【分析】
要证明F是BE的中点，本质是证明BF=EF。观察图形可知DF⊥BE，我们可先推导△BDE为等腰三角形（即DB=DE），再结合垂直条件证明三角形全等得到线段相等。推导DB=DE可通过证明∠DBC=∠E实现：首先由AB=AC可得△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB；结合BD平分∠ABC，可得∠DBC等于∠ABC的一半；再由DC=CE可知△DCE是等腰三角形，∠E=∠CDE，根据三角形外角的性质，∠ACB是△DCE的外角，等于∠E与∠CDE的和，因此∠E等于∠ACB的一半；结合∠ABC=∠ACB，即可推出∠DBC=∠E，得到DB=DE，最后利用HL证明两个直角三角形全等即可得BF=EF。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵DC=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE，
∵DF⊥BE，
∴∠BFD=∠EFD=90°，
在Rt△BDF与Rt△EDF中，
$\begin{cases} DB = DE \\ DF = DF \end{cases}$
∴Rt△BDF≌Rt△EDF(HL)，
∴BF=EF，即F是BE的中点。
【答案】
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵DC=CE,
∴∠E=∠CDE,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠DBC=∠E,
∴DB=DE,
∵DF⊥BE,
∴∠BFD=∠EFD=90°,
在Rt△BDF与Rt△EDF中,
$\begin{cases} DB = DE \\ DF = DF \end{cases}$,
∴Rt△BDF≌Rt△EDF(HL),
∴BF=EF,
∴F是BE的中点。
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查学生对等腰三角形、角平分线、全等三角形相关性质的综合运用能力，解题的关键是通过角的等量代换得到边相等，对培养几何逻辑推导能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7
要证明F是BE的中点，本质是证明BF=EF。观察图形可知DF⊥BE，我们可先推导△BDE为等腰三角形（即DB=DE），再结合垂直条件证明三角形全等得到线段相等。推导DB=DE可通过证明∠DBC=∠E实现：首先由AB=AC可得△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB；结合BD平分∠ABC，可得∠DBC等于∠ABC的一半；再由DC=CE可知△DCE是等腰三角形，∠E=∠CDE，根据三角形外角的性质，∠ACB是△DCE的外角，等于∠E与∠CDE的和，因此∠E等于∠ACB的一半；结合∠ABC=∠ACB，即可推出∠DBC=∠E，得到DB=DE，最后利用HL证明两个直角三角形全等即可得BF=EF。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵DC=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE，
∵DF⊥BE，
∴∠BFD=∠EFD=90°，
在Rt△BDF与Rt△EDF中，
$\begin{cases} DB = DE \\ DF = DF \end{cases}$
∴Rt△BDF≌Rt△EDF(HL)，
∴BF=EF，即F是BE的中点。
【答案】
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵DC=CE,
∴∠E=∠CDE,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠DBC=∠E,
∴DB=DE,
∵DF⊥BE,
∴∠BFD=∠EFD=90°,
在Rt△BDF与Rt△EDF中,
$\begin{cases} DB = DE \\ DF = DF \end{cases}$,
∴Rt△BDF≌Rt△EDF(HL),
∴BF=EF,
∴F是BE的中点。
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查学生对等腰三角形、角平分线、全等三角形相关性质的综合运用能力，解题的关键是通过角的等量代换得到边相等，对培养几何逻辑推导能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7
20.(8分)如图，已知△ABC，作射线AP//BC，E，F分别为BC，AP上的点，且AF=CE.连接EF交AC于点D，连接BD并延长，交AP于点M.
(1)求证：△ADF≌△CDE；
(2)求证：AM=BC.
(1)求证：△ADF≌△CDE；
(2)求证：AM=BC.
答案
20. 证明:(1)
∵AP//BC,
∴∠AFD=∠CED,∠FAD=∠ECD,
在△ADF和△CDE中,
{ ∠AFD = ∠CED , AF = CE , ∠FAD = ∠ECD ,
∴△ADF≌△CDE(ASA);
(2)由(1)知,△ADF≌△CDE,∠FAD=∠ECD,
∴AD=CD,
在△ADM和△CDB中,
{ ∠MAD = ∠BCD , AD = CD , ∠ADM = ∠CDB ,
∴△ADM≌△CDB(ASA),
∴AM=BC.
∵AP//BC,
∴∠AFD=∠CED,∠FAD=∠ECD,
在△ADF和△CDE中,
{ ∠AFD = ∠CED , AF = CE , ∠FAD = ∠ECD ,
∴△ADF≌△CDE(ASA);
(2)由(1)知,△ADF≌△CDE,∠FAD=∠ECD,
∴AD=CD,
在△ADM和△CDB中,
{ ∠MAD = ∠BCD , AD = CD , ∠ADM = ∠CDB ,
∴△ADM≌△CDB(ASA),
∴AM=BC.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADF≌△CDE，首先从已知条件出发：AP//BC，根据平行线的性质可得到两组内错角分别相等，再结合题目给出的AF=CE的边相等条件，刚好满足ASA全等判定的要求，即可完成第一问的证明。
(2) 要证明AM=BC，可通过证明两条线段所在的△ADM和△CDB全等来推导。由(1)的全等结论可得到AD=CD，再结合AP//BC得到的内错角相等，以及对顶角相等的条件，可通过ASA证明△ADM≌△CDB，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵AP//BC，
∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠ECD（两直线平行，内错角相等），
在△ADF和△CDE中：
$\begin{cases}∠AFD = ∠CED \\AF = CE \\∠FAD = ∠ECD\end{cases}$
∴△ADF≌△CDE（ASA）；
(2) 由(1)知△ADF≌△CDE，根据全等三角形对应边相等可得AD=CD，
∵AP//BC，
∴∠MAD=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
在△ADM和△CDB中：
$\begin{cases}∠MAD = ∠BCD \\AD = CD \\∠ADM = ∠CDB（对顶角相等）\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴AM=BC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 证明：
∵AP//BC,
∴∠AFD=∠CED,∠FAD=∠ECD,
在△ADF和△CDE中,
$\begin{cases} ∠AFD = ∠CED \\ AF = CE \\ ∠FAD = ∠ECD \end{cases}$,
∴△ADF≌△CDE(ASA);
(2) 由(1)知,△ADF≌△CDE,
∴AD=CD,
在△ADM和△CDB中,
$\begin{cases} ∠MAD = ∠BCD \\ AD = CD \\ ∠ADM = ∠CDB \end{cases}$,
∴△ADM≌△CDB(ASA),
∴AM=BC.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，两问设置层层递进，第一问的结论为第二问的证明提供必要条件，解题核心是结合平行线、对顶角的性质找到全等三角形对应的等角、等边，只要熟练掌握全等三角形的判定定理即可顺利求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ADF≌△CDE，首先从已知条件出发：AP//BC，根据平行线的性质可得到两组内错角分别相等，再结合题目给出的AF=CE的边相等条件，刚好满足ASA全等判定的要求，即可完成第一问的证明。
(2) 要证明AM=BC，可通过证明两条线段所在的△ADM和△CDB全等来推导。由(1)的全等结论可得到AD=CD，再结合AP//BC得到的内错角相等，以及对顶角相等的条件，可通过ASA证明△ADM≌△CDB，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵AP//BC，
∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠ECD（两直线平行，内错角相等），
在△ADF和△CDE中：
$\begin{cases}∠AFD = ∠CED \\AF = CE \\∠FAD = ∠ECD\end{cases}$
∴△ADF≌△CDE（ASA）；
(2) 由(1)知△ADF≌△CDE，根据全等三角形对应边相等可得AD=CD，
∵AP//BC，
∴∠MAD=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
在△ADM和△CDB中：
$\begin{cases}∠MAD = ∠BCD \\AD = CD \\∠ADM = ∠CDB（对顶角相等）\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴AM=BC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 证明：
∵AP//BC,
∴∠AFD=∠CED,∠FAD=∠ECD,
在△ADF和△CDE中,
$\begin{cases} ∠AFD = ∠CED \\ AF = CE \\ ∠FAD = ∠ECD \end{cases}$,
∴△ADF≌△CDE(ASA);
(2) 由(1)知,△ADF≌△CDE,
∴AD=CD,
在△ADM和△CDB中,
$\begin{cases} ∠MAD = ∠BCD \\ AD = CD \\ ∠ADM = ∠CDB \end{cases}$,
∴△ADM≌△CDB(ASA),
∴AM=BC.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，两问设置层层递进，第一问的结论为第二问的证明提供必要条件，解题核心是结合平行线、对顶角的性质找到全等三角形对应的等角、等边，只要熟练掌握全等三角形的判定定理即可顺利求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
