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1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，点 $E$，$F$ 在边 $BC$ 上，$DE// AB$，$AF// DC$，$AE// DF$。
(1)$AD$ 与 $BC$ 有何数量关系？请说明理由；
(2)当四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，四边形 $AEFD$ 是矩形，请说明理由；
(3)当四边形 $ABCD$ 满足条件
(1)$AD$ 与 $BC$ 有何数量关系？请说明理由；
(2)当四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，四边形 $AEFD$ 是矩形，请说明理由；
(3)当四边形 $ABCD$ 满足条件
$ ∠ B = ∠ C = 45° $
时，四边形 $AEFD$ 是正方形。(只写结论，不需证明)答案
∠ B=∠ C=45°
解：
$ (1)AD=\frac {1}{3}BC$。
理由：∵AD// BC， DE// AB， AF// DC， AE// DF，
∴四边形ABED，四边形AFCD，四边形AEFD均为平行四边形，
∴AD=BE=EF=CF，∴$AD=\frac {1}{3}BC$。
(2)当四边形ABCD满足条件AB=CD时，四边形AEFD是矩形。
理由：∵AB=CD，四边形ABED，四边形AFCD是平行四边形，
∴AB=DE， AF=CD，∴DE=AF。
由(1)知四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形。
解：
$ (1)AD=\frac {1}{3}BC$。
理由：∵AD// BC， DE// AB， AF// DC， AE// DF，
∴四边形ABED，四边形AFCD，四边形AEFD均为平行四边形，
∴AD=BE=EF=CF，∴$AD=\frac {1}{3}BC$。
(2)当四边形ABCD满足条件AB=CD时，四边形AEFD是矩形。
理由：∵AB=CD，四边形ABED，四边形AFCD是平行四边形，
∴AB=DE， AF=CD，∴DE=AF。
由(1)知四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形。
2. 如图，分别以$△ ABC$ 的三边为边在 $BC$ 的同侧作等边三角形，即$△ ABD$，$△ BCE$，$△ ACF$。请解答下列问题：
(1)试说明四边形 $ADEF$ 的形状，并说明理由；
(2)当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADEF$ 是矩形？
(3)当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADEF$ 是菱形？
(4)当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADEF$ 是正方形？
(5)当$△ ABC$ 满足什么条件时，以 $A$，$D$，$E$，$F$ 为顶点的四边形不存在？
(1)试说明四边形 $ADEF$ 的形状，并说明理由；
(2)当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADEF$ 是矩形？
(3)当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADEF$ 是菱形？
(4)当$△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADEF$ 是正方形？
(5)当$△ ABC$ 满足什么条件时，以 $A$，$D$，$E$，$F$ 为顶点的四边形不存在？
答案
解：
(1)四边形ADEF 是平行四边形。
理由：∵△ BCE和△ ABD均为等边三角形，
∴BE=BC， BD=BA， ∠ ABD=60°， ∠ CBE=60°。
又∵∠ DBE=60°-∠ ABE， ∠ ABC=60°-∠ ABE，
∴∠ DBE=∠ ABC。
在△BDE和△BAC中：
$\begin {cases}{BE=BC} \\{∠DBE=∠ABC} \\{BD=BA}\end {cases}$
∴$△BDE≌△BAC(\mathrm {SAS})$
∵在等边$△ ACF_{中}$，AC=AF，∴DE=AF。
同理可得DA=EF，
∴四边形ADEF 是平行四边形。
(2)当∠ BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形。
理由：∵∠ DAF=360°-∠ DAB-∠ BAC-∠ CAF=90°，
∴▱ ADEF 是矩形。
(3)当AB=AC时，四边形ADEF 是菱形。
理由：∵AB=AC，∴AD=AF，∴▱ ADEF 是菱形。
(4)当∠ BAC=150°且AB=AC或∠ ABC=∠ ACB=15°时，
四边形ADEF 是正方形。
(5)当∠ BAC=60°时，以A，D，E，F 为顶点的四边形不存在。
(1)四边形ADEF 是平行四边形。
理由：∵△ BCE和△ ABD均为等边三角形，
∴BE=BC， BD=BA， ∠ ABD=60°， ∠ CBE=60°。
又∵∠ DBE=60°-∠ ABE， ∠ ABC=60°-∠ ABE，
∴∠ DBE=∠ ABC。
在△BDE和△BAC中：
$\begin {cases}{BE=BC} \\{∠DBE=∠ABC} \\{BD=BA}\end {cases}$
∴$△BDE≌△BAC(\mathrm {SAS})$
∵在等边$△ ACF_{中}$，AC=AF，∴DE=AF。
同理可得DA=EF，
∴四边形ADEF 是平行四边形。
(2)当∠ BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形。
理由：∵∠ DAF=360°-∠ DAB-∠ BAC-∠ CAF=90°，
∴▱ ADEF 是矩形。
(3)当AB=AC时，四边形ADEF 是菱形。
理由：∵AB=AC，∴AD=AF，∴▱ ADEF 是菱形。
(4)当∠ BAC=150°且AB=AC或∠ ABC=∠ ACB=15°时，
四边形ADEF 是正方形。
(5)当∠ BAC=60°时，以A，D，E，F 为顶点的四边形不存在。
3. 如图，在$△ ABC$ 中，$F$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是线段 $AB$ 延长线上的一个动点，连接 $EF$，过点 $C$ 作 $AB$ 的平行线 $CD$，与线段 $EF$ 的延长线交于点 $D$，连接 $CE$，$BD$。
(1)求证：四边形 $BECD$ 是平行四边形。
(2)若$∠ ABC = 120°$，$AB = BC = 4$，则在点 $E$ 的运动过程中：
①当 $BE$ 的长为多少时，四边形 $BECD$ 是矩形，并说明理由；
②当 $BE$ 的长为多少时，四边形 $BECD$ 是菱形，并说明理由。
(1)求证：四边形 $BECD$ 是平行四边形。
(2)若$∠ ABC = 120°$，$AB = BC = 4$，则在点 $E$ 的运动过程中：
①当 $BE$ 的长为多少时，四边形 $BECD$ 是矩形，并说明理由；
②当 $BE$ 的长为多少时，四边形 $BECD$ 是菱形，并说明理由。
答案
(1)证明：$\because AB// CD$，
$ \therefore ∠ CDF=∠ FEB, ∠ DCF=∠ EBF$。
$ \because F$是BC的中点，$\therefore BF=CF$。
在△ DCF和△ EBF中，
$\begin{cases} ∠ CDF=∠ BEF \\ ∠ DCF=∠ EBF \\ FC=FB \end{cases}$，
$ \therefore △ DCF≌△ EBF(\mathrm{AAS})$，$\therefore DC=BE$。
又$\because DC// BE$，$\therefore$四边形BECD是平行四边形。
(2)解：①BE=2。
理由：当四边形BECD是矩形时，∠ CEB=90°。
$ \because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ CBE=60°$，
$ \therefore ∠ ECB=30°$，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2$。
②BE=4。
理由：当四边形BECD是菱形时，BE=EC。
$ \because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ CBE=60°$，
$ \therefore △ CBE$是等边三角形，$\therefore BE=BC=4$。
$ \therefore ∠ CDF=∠ FEB, ∠ DCF=∠ EBF$。
$ \because F$是BC的中点，$\therefore BF=CF$。
在△ DCF和△ EBF中，
$\begin{cases} ∠ CDF=∠ BEF \\ ∠ DCF=∠ EBF \\ FC=FB \end{cases}$，
$ \therefore △ DCF≌△ EBF(\mathrm{AAS})$，$\therefore DC=BE$。
又$\because DC// BE$，$\therefore$四边形BECD是平行四边形。
(2)解：①BE=2。
理由：当四边形BECD是矩形时，∠ CEB=90°。
$ \because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ CBE=60°$，
$ \therefore ∠ ECB=30°$，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2$。
②BE=4。
理由：当四边形BECD是菱形时，BE=EC。
$ \because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ CBE=60°$，
$ \therefore △ CBE$是等边三角形，$\therefore BE=BC=4$。
