6. 如图，正方形纸片 $ABCD$ 的边长为 $3$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CD$ 上，将 $AB$，$AD$ 分别沿 $AE$，$AF$ 折叠，点 $B$，$D$ 恰好都落在点 $G$ 处，已知 $BE = 1$，则 $EF$ 的长为.

$\frac{5}{2}$

7. 如图，将边长为 $8\ \mathrm{cm}$ 的正方形纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $D$ 落在 $BC$ 边的中点 $E$ 处，点 $A$ 落在点 $F$ 处，折痕为 $MN$，则线段 $CN$ 的长度为.

3 cm

8.(2024·南京玄外)【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图①，在正方形 $ABCD$ 中，$P$ 为线段 $BC$ 上一个动点，若线段 $MN$ 垂直 $AP$ 于点 $E$，交线段 $AB$ 于点 $M$，交线段 $CD$ 于点 $N$，则 $AP = MN$.
(1)如图②，将边长为 $40$ 的正方形 $ABCD$ 折叠，使得点 $B$ 落在 $CD$ 上的点 $E$ 处.若折痕 $FG = 41$，则 $CE=$；
【继续探索】
(2)如图③，在正方形 $ABCD$ 中，$P$ 为线段 $BC$ 上一动点，若 $MN$ 垂直平分线段 $AP$，分别交 $AB$，$AP$，$BD$，$DC$ 于点 $M$，$E$，$F$，$N$.求证：$EF = ME + FN$；
(3)如图④，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AD$，$BC$ 上的点，作 $DM⊥ EF$ 于点 $M$，在 $MF$ 上截取 $MN = DM$，连接 $BN$，$G$ 为 $BN$ 的中点，连接 $CG$，$CM$.请依题意补全图形，若 $CG = 1$，求 $CM$ 的长.

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