登录
1. 在下列二次函数中，其图像的对称轴过$(-2,0)$的是(
A.$y=(x + 2)^2$
B.$y = 2x^2 - 2$
C.$y = -2x^2 - 2$
D.$y = 2(x - 2)^2$
A
)A.$y=(x + 2)^2$
B.$y = 2x^2 - 2$
C.$y = -2x^2 - 2$
D.$y = 2(x - 2)^2$
答案
1. A
2. 下列函数中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大的是(
A.$y = -x + 1$
B.$y = x^2 - 1$
C.$y=\frac{1}{x}$
D.$y = -x^2 - 1$
B
)A.$y = -x + 1$
B.$y = x^2 - 1$
C.$y=\frac{1}{x}$
D.$y = -x^2 - 1$
答案
2. B
3. 将抛物线$y = x^2$向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式是(
A.$y = x^2 + 3$
B.$y = x^2 - 3$
C.$y=(x + 3)^2$
D.$y=(x - 3)^2$
A
)A.$y = x^2 + 3$
B.$y = x^2 - 3$
C.$y=(x + 3)^2$
D.$y=(x - 3)^2$
答案
3. A
4. 对于二次函数$y = -2(x + 3)^2$的图像，下列说法不正确的是(
A.开口向下
B.对称轴是直线$x = -3$
C.顶点坐标为$(-3,0)$
D.当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而减小
D
)A.开口向下
B.对称轴是直线$x = -3$
C.顶点坐标为$(-3,0)$
D.当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
4. D
解析
对于二次函数$y = -2(x + 3)^2$：
因为$a=-2＜0$，所以开口向下，A正确；
对称轴为直线$x=-3$，B正确；
顶点坐标为$(-3,0)$，C正确；
当$x＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大，D不正确。
D
因为$a=-2＜0$，所以开口向下，A正确；
对称轴为直线$x=-3$，B正确；
顶点坐标为$(-3,0)$，C正确；
当$x＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大，D不正确。
D
5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + c$和二次函数$y = ax^2 + c$的图像大致为(
D
)答案
5. D
解析
解：二次函数$y = ax^2 + c$的顶点为$(0,c)$，一次函数$y = ax + c$与$y$轴交点为$(0,c)$，故两函数图像交于$y$轴同一点。
当$a＞0$时，二次函数开口向上，一次函数$y$随$x$增大而增大；当$a＜0$时，二次函数开口向下，一次函数$y$随$x$增大而减小。
选项D中，二次函数开口向下（$a＜0$），一次函数$y$随$x$增大而减小（$a＜0$），且均过$y$轴同一点，符合题意。
D
当$a＞0$时，二次函数开口向上，一次函数$y$随$x$增大而增大；当$a＜0$时，二次函数开口向下，一次函数$y$随$x$增大而减小。
选项D中，二次函数开口向下（$a＜0$），一次函数$y$随$x$增大而减小（$a＜0$），且均过$y$轴同一点，符合题意。
D
6. (2023·南充)若点$P(m,n)$在抛物线$y = ax^2(a≠0)$上，则下列各点在抛物线$y = a(x + 1)^2$上的是(
A.$(m,n + 1)$
B.$(m + 1,n)$
C.$(m,n - 1)$
D.$(m - 1,n)$
D
)A.$(m,n + 1)$
B.$(m + 1,n)$
C.$(m,n - 1)$
D.$(m - 1,n)$
答案
6. D
解析
∵点$P(m,n)$在抛物线$y = ax^2$上，
$\therefore n = am^2$。
对于抛物线$y = a(x + 1)^2$，令$y = n$，则$n = a(x + 1)^2$。
$\because n = am^2$，
$\therefore am^2 = a(x + 1)^2$。
$\because a ≠ 0$，
$\therefore m^2 = (x + 1)^2$，
$\therefore x + 1 = \pm m$，
$\therefore x = m - 1$或$x = -m - 1$。
$\therefore$点$(m - 1,n)$在抛物线$y = a(x + 1)^2$上。
D
7. (1) 函数$y = x^2 - 3$的图像是
抛物线
，它的开口方向向上
，对称轴是y轴
，顶点坐标是$(0,-3)$
；答案
7. (1) 抛物线 向上 y轴 $(0,-3)$
(2) 函数$y = -(x + 3)^2$，当$x$
＜-3
时，$y$随$x$的增大而增大；当$x =$-3
时，函数值$y$有最大
值0
.答案
(2) $＜-3$ $-3$ 大 0
解析
＜-3；-3；大；0
8. (1) 函数$y = -2x^2 + 5$，当$x$
＞0
时，$y$随$x$的增大而减小；当$x =$0
时，函数值$y$有最大
值5
；答案
8. (1) $＞0$ 0 大 5
解析
＞0；0；大；5
(2) 函数$y=(x - 2)^2$的图像是
抛物线
，它的开口方向向上
，对称轴是过点(2
，0
)且平行于y轴
的直线，顶点坐标是$(2,0)$
.答案
(2) 抛物线 向上 $(2,0)$ y轴 $(2,0)$
解析
抛物线；向上；2；0；y轴；$(2,0)$
9. 已知二次函数$y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$，当$1≤ x≤5$时，$y$的最大值是
$\dfrac{5}{3}$
.答案
9. $\dfrac{5}{3}$
解析
对于二次函数$y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$，其中$a=-\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=0$。
当$1≤x≤5$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x=1$时，$y$取得最大值。
$y_{max}=-\frac{1}{3}×1^2 + 2=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$
$\dfrac{5}{3}$
当$1≤x≤5$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x=1$时，$y$取得最大值。
$y_{max}=-\frac{1}{3}×1^2 + 2=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$
$\dfrac{5}{3}$
10. 已知点$P(m,a)$是抛物线$y = a(x - 1)^2$上的点，且点$P$在第一象限内.
(1) 求$m$的值；
(2) 过$P$点作$PQ// x$轴交抛物线$y = a(x - 1)^2$于点$Q$，若$a$的值为 3，试求$P$点、$Q$点及原点$O$围成的三角形的面积.
(1) 求$m$的值；
(2) 过$P$点作$PQ// x$轴交抛物线$y = a(x - 1)^2$于点$Q$，若$a$的值为 3，试求$P$点、$Q$点及原点$O$围成的三角形的面积.
答案
10. (1) $\because$ 点 $P(m,a)$ 是抛物线 $y = a(x - 1)^2$ 上的点，$\therefore a = a(m - 1)^2$，解得：$m = 2$ 或 $m = 0$。$\because$ 点 $P$ 在第一象限内，$\therefore m = 2$；(2) $\because a$ 的值为 3，$\therefore$ 二次函数的解析式为 $y = 3(x - 1)^2$。$\because$ 点 $P$ 的横坐标为 2，$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标 $y = 3(x - 1)^2 = 3$，$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(2,3)$。$\because PQ // x$ 轴交抛物线 $y = a(x - 1)^2$ 于点 $Q$，$\therefore 3 = 3(x - 1)^2$，解得 $x = 2$ 或 $x = 0$，$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为 $(0,3)$，$\therefore PQ = 2$，$\therefore S_{△ PQO} = \dfrac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
