27. (本题满分 14 分)发现问题
小明买菠萝时发现,通常情况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽,除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道理呢?
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在侧面展开图上可以看成点,每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列,每行有$n$个籽,每列有$k$个籽,行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为$d$($n$,$k$均为正整数,$n＞ k≥ 3$,$d＞ 0$),如图 1 所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.

方案 1:图 2 是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为,共铲行,则铲除全部籽的路径总长为;
方案 2:图 3 是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为;
方案 3:图 4 是销售员斜着铲示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中,哪种方案铲籽路径总长最短? 请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价.

27. 方案1：$(n - 1)d$；$2k$；$2(n - 1)dk$；方案2：$2(k - 1)dn$；方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为$\frac{\sqrt{d^{2}+d^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}d}{2}$，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段，同时有$(2k - 1)$个，$\therefore$ 铲除全部籽的路径总长为$\frac{\sqrt{2}}{2}× (2k - 1)nd$；解决问题：由上得$2(n - 1)dk - 2(k - 1)dn = 2ndk - 2dk - 2ndk + 2dn = 2d(n - k) ＞ 0$，$\therefore$ 方案1的路径总长大于方案2的路径总长；$2(k - 1)dn - \frac{\sqrt{2}}{2}× (2k - 1)dn = [(2 - \sqrt{2})k - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}]dn$，$\because n ＞ k≥ 3$，当$k = 3$时，$(2 - \sqrt{2})× 3 - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}=4 - \frac{5\sqrt{2}}{2}＞0$，$2(k - 1)dn - \frac{\sqrt{2}}{2}× (2k - 1)dn＞0$，$\therefore$ 方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗.