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一、妈妈买了一瓶2 L的果汁,如果用下图中的玻璃杯装,可以装满几杯?(玻璃杯的厚度不计)
(单位:cm)
(单位:cm)
答案
8÷2=4(厘米)
4×4×3.14×15=753.6(立方厘米)
2升=2000立方厘米
2000÷753.6=2(杯)......492.8(立方厘米)
答：可以装满2杯。
解析
【分析】
要解决“2L果汁可以装满几杯玻璃杯”的问题，需按以下思路思考：
1. 玻璃杯是圆柱形且厚度不计，其容积等于圆柱体积，所以先根据圆柱体积公式计算单个杯子的容积；
2. 果汁的体积单位是升，需转换为立方厘米，与杯子容积单位统一；
3. 用果汁总体积除以单个杯子的容积，得到的商就是能装满的杯数（余数部分不足一杯，舍去）。
【解析】
1. 计算玻璃杯底面半径：
$8÷2=4$（厘米）
2. 根据圆柱体积公式$V=π r^2h$计算玻璃杯容积：
$3.14×4^2×15$
$=3.14×16×15$
$=50.24×15$
$=753.6$（立方厘米）
3. 单位换算：
因为$1$升$=1000$立方厘米，所以$2$升$=2×1000=2000$立方厘米
4. 计算能装满的杯数：
$2000÷753.6=2$（杯）$······492.8$（立方厘米）
由于余数$492.8$立方厘米不足以装满一杯，所以可以装满2杯。
【答案】
可以装满2杯。
【知识点】
圆柱体积计算，体积单位换算，有余数除法的实际应用
【点评】
本题考查圆柱体积公式在实际生活中的应用，同时涉及体积单位的换算，解题的关键是明确杯子容积的计算方法，以及结合实际情况对除法结果进行取舍，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决“2L果汁可以装满几杯玻璃杯”的问题，需按以下思路思考：
1. 玻璃杯是圆柱形且厚度不计，其容积等于圆柱体积，所以先根据圆柱体积公式计算单个杯子的容积；
2. 果汁的体积单位是升，需转换为立方厘米，与杯子容积单位统一；
3. 用果汁总体积除以单个杯子的容积，得到的商就是能装满的杯数（余数部分不足一杯，舍去）。
【解析】
1. 计算玻璃杯底面半径：
$8÷2=4$（厘米）
2. 根据圆柱体积公式$V=π r^2h$计算玻璃杯容积：
$3.14×4^2×15$
$=3.14×16×15$
$=50.24×15$
$=753.6$（立方厘米）
3. 单位换算：
因为$1$升$=1000$立方厘米，所以$2$升$=2×1000=2000$立方厘米
4. 计算能装满的杯数：
$2000÷753.6=2$（杯）$······492.8$（立方厘米）
由于余数$492.8$立方厘米不足以装满一杯，所以可以装满2杯。
【答案】
可以装满2杯。
【知识点】
圆柱体积计算，体积单位换算，有余数除法的实际应用
【点评】
本题考查圆柱体积公式在实际生活中的应用，同时涉及体积单位的换算，解题的关键是明确杯子容积的计算方法，以及结合实际情况对除法结果进行取舍，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
二、中央广场有一内直径是6 cm的水管,管内水流的速度是5米/秒。这根水管10秒可以流出多少立方米的水?
答案
6÷2=3(厘米)
3×3×3.14=28.26(平方厘米)
5米=500厘米
28.26×500×10=141300(立方厘米)
141300立方厘米=141.3立方分米=0.1413立方米
答：这根水管10秒可以流出0.1413立方米的水。
3×3×3.14=28.26(平方厘米)
5米=500厘米
28.26×500×10=141300(立方厘米)
141300立方厘米=141.3立方分米=0.1413立方米
答：这根水管10秒可以流出0.1413立方米的水。
解析
【分析】
我们可以把水管中流出的水看作是一个圆柱体，解题思路如下：
1. 先根据水管的内直径求出内半径，再利用圆的面积公式算出水管的横截面积，也就是圆柱的底面积；
2. 由于水流速度单位是米/秒，而水管直径单位是厘米，要先统一单位，避免单位不统一导致计算错误；
3. 最后根据“圆柱体积=底面积×高”，这里的高就是10秒内水流的长度（水流速度×时间），计算出体积后再转换为立方米即可。
【解析】
1. 计算水管内半径：
$6÷2 = 3$（厘米）
2. 计算水管横截面积（圆柱底面积）：
$3×3×3.14 = 28.26$（平方厘米）
3. 统一单位：
$5$米$= 500$厘米
4. 计算10秒流出水的体积：
$28.26×500×10 = 141300$（立方厘米）
5. 单位转换为立方米：
$141300$立方厘米$= 141.3$立方分米$= 0.1413$立方米
答：这根水管10秒可以流出0.1413立方米的水。
【答案】
0.1413立方米
【知识点】
圆柱体积计算，单位换算，圆的面积计算
【点评】
本题是圆柱体积在生活中的实际应用，核心是将流动的水抽象为圆柱体，解题时需注意单位的统一，这是容易出错的关键点，同时考查了圆的面积公式和体积单位的换算能力。
【难度系数】
0.6
我们可以把水管中流出的水看作是一个圆柱体，解题思路如下：
1. 先根据水管的内直径求出内半径，再利用圆的面积公式算出水管的横截面积，也就是圆柱的底面积；
2. 由于水流速度单位是米/秒，而水管直径单位是厘米，要先统一单位，避免单位不统一导致计算错误；
3. 最后根据“圆柱体积=底面积×高”，这里的高就是10秒内水流的长度（水流速度×时间），计算出体积后再转换为立方米即可。
【解析】
1. 计算水管内半径：
$6÷2 = 3$（厘米）
2. 计算水管横截面积（圆柱底面积）：
$3×3×3.14 = 28.26$（平方厘米）
3. 统一单位：
$5$米$= 500$厘米
4. 计算10秒流出水的体积：
$28.26×500×10 = 141300$（立方厘米）
5. 单位转换为立方米：
$141300$立方厘米$= 141.3$立方分米$= 0.1413$立方米
答：这根水管10秒可以流出0.1413立方米的水。
【答案】
0.1413立方米
【知识点】
圆柱体积计算，单位换算，圆的面积计算
【点评】
本题是圆柱体积在生活中的实际应用，核心是将流动的水抽象为圆柱体，解题时需注意单位的统一，这是容易出错的关键点，同时考查了圆的面积公式和体积单位的换算能力。
【难度系数】
0.6
三、一个密封的瓶子里装着一些水(如下图),瓶子的底面积为10 cm²,那么这个瓶子的容积是多少毫升?(瓶子的厚度忽略不计)
答案
10×(18-16)=20(毫升)
11×10+20=130(毫升)
答：那么这个瓶子的容积是130毫升。
解析
【分析】
要计算瓶子的容积，可将其转化为“水的体积 + 倒放时空余部分的体积”来求解。首先观察图形：正放时水的高度为11cm，倒放后，瓶子总高度是18cm，此时水的高度是16cm，由此可算出空余部分的高度为$18-16=2\mathrm{cm}$。已知瓶子底面积为$10\mathrm{cm}^2$，分别计算水的体积和空余部分的体积，两者相加就是瓶子的容积。
【解析】
1. 计算倒放时空余部分的高度：
$18 - 16 = 2(\mathrm{cm})$
2. 计算空余部分的体积：
$10×2 = 20(\mathrm{cm}^3) = 20(\mathrm{毫升})$
3. 计算水的体积：
$11×10 = 110(\mathrm{cm}^3) = 110(\mathrm{毫升})$
4. 计算瓶子的容积：
$110 + 20 = 130(\mathrm{毫升})$
答：这个瓶子的容积是130毫升。
【答案】
130毫升
【知识点】
圆柱体积计算、不规则容器容积计算
【点评】
本题运用转化思想，将不规则的瓶子容积转化为规则的圆柱体积之和，关键是通过正放和倒放的图形找到空余部分的高度，进而利用圆柱体积公式完成计算。
【难度系数】
0.6
要计算瓶子的容积，可将其转化为“水的体积 + 倒放时空余部分的体积”来求解。首先观察图形：正放时水的高度为11cm，倒放后，瓶子总高度是18cm，此时水的高度是16cm，由此可算出空余部分的高度为$18-16=2\mathrm{cm}$。已知瓶子底面积为$10\mathrm{cm}^2$，分别计算水的体积和空余部分的体积，两者相加就是瓶子的容积。
【解析】
1. 计算倒放时空余部分的高度：
$18 - 16 = 2(\mathrm{cm})$
2. 计算空余部分的体积：
$10×2 = 20(\mathrm{cm}^3) = 20(\mathrm{毫升})$
3. 计算水的体积：
$11×10 = 110(\mathrm{cm}^3) = 110(\mathrm{毫升})$
4. 计算瓶子的容积：
$110 + 20 = 130(\mathrm{毫升})$
答：这个瓶子的容积是130毫升。
【答案】
130毫升
【知识点】
圆柱体积计算、不规则容器容积计算
【点评】
本题运用转化思想，将不规则的瓶子容积转化为规则的圆柱体积之和，关键是通过正放和倒放的图形找到空余部分的高度，进而利用圆柱体积公式完成计算。
【难度系数】
0.6
四、一瓶550 mL的矿泉水,小杨喝了一些(如下图),把瓶盖拧紧后倒置放平,无水部分高10 cm,内直径是6 cm。还剩多少毫升矿泉水?
答案
6÷2=3(厘米)
3×3×3.14=28.26(平方厘米)
550-28.26×10=267.4(毫升)
答：还剩267.4毫升矿泉水。
3×3×3.14=28.26(平方厘米)
550-28.26×10=267.4(毫升)
答：还剩267.4毫升矿泉水。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“倒置后无水部分的体积等于喝掉的水的体积”这一关键思路：
1. 首先，倒置后无水部分是一个圆柱体，已知内直径，先求出底面半径；
2. 再根据圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算出无水部分的体积，也就是喝掉的水的体积；
3. 最后用矿泉水的总容积减去喝掉的体积，就能得到剩余矿泉水的体积。
【解析】
1. 计算圆柱底面半径：
$6÷2 = 3$（厘米）
2. 计算圆柱底面积：
$3.14×3^2 = 28.26$（平方厘米）
3. 计算喝掉的水的体积（即无水部分体积）：
$28.26×10 = 282.6$（立方厘米），因为1立方厘米=1毫升，所以282.6立方厘米=282.6毫升
4. 计算剩余矿泉水的体积：
$550 - 282.6 = 267.4$（毫升）
答：还剩267.4毫升矿泉水。
【答案】
267.4毫升
【知识点】
圆柱体积计算、容积应用
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，核心是利用“倒置法”将不规则的无水部分转化为规则的圆柱来计算体积，体现了转化的数学思想，需要学生灵活运用圆柱体积公式解决实际问题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用“倒置后无水部分的体积等于喝掉的水的体积”这一关键思路：
1. 首先，倒置后无水部分是一个圆柱体，已知内直径，先求出底面半径；
2. 再根据圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算出无水部分的体积，也就是喝掉的水的体积；
3. 最后用矿泉水的总容积减去喝掉的体积，就能得到剩余矿泉水的体积。
【解析】
1. 计算圆柱底面半径：
$6÷2 = 3$（厘米）
2. 计算圆柱底面积：
$3.14×3^2 = 28.26$（平方厘米）
3. 计算喝掉的水的体积（即无水部分体积）：
$28.26×10 = 282.6$（立方厘米），因为1立方厘米=1毫升，所以282.6立方厘米=282.6毫升
4. 计算剩余矿泉水的体积：
$550 - 282.6 = 267.4$（毫升）
答：还剩267.4毫升矿泉水。
【答案】
267.4毫升
【知识点】
圆柱体积计算、容积应用
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，核心是利用“倒置法”将不规则的无水部分转化为规则的圆柱来计算体积，体现了转化的数学思想，需要学生灵活运用圆柱体积公式解决实际问题。
【难度系数】
0.6
五、如图所示,丽丽想知道一个内直径是10 cm的瓶子里最多能装多少毫升水。于是她往瓶子里装了一些水,测量了水的高度是8 cm,接着又把瓶盖拧紧倒置放平,测量了无水部分的高度是20 cm。你能帮她算一算这个瓶子的容积吗?
答案
10÷2=5(厘米)
5×5×3.14=78.5(平方厘米)
78.5×(8+20)=2198(毫升)
答：瓶子的容积是2198毫升。
解析
【分析】
要计算瓶子的容积，观察瓶子形状可知它是不规则容器，我们可以利用转化思想：正放时水的体积是一个圆柱，倒置后无水部分的体积也是一个圆柱，且这两个圆柱的底面积都等于瓶子的底面积。因此瓶子的容积等于水的体积加上无水部分的体积，也就是底面积乘以（水的高度+无水部分的高度）。解题步骤为：先根据内直径算出底面半径，再计算底面积，最后用底面积乘总高度得到容积，再将单位转换为毫升。
【解析】
1. 计算瓶子底面半径：
$10÷2 = 5$（厘米）
2. 计算瓶子的底面积：
$3.14×5^2 = 3.14×25 = 78.5$（平方厘米）
3. 计算瓶子的总高度（水的高度+无水部分高度）：
$8 + 20 = 28$（厘米）
4. 计算瓶子的容积：
$78.5×28 = 2198$（立方厘米）
因为1立方厘米=1毫升，所以2198立方厘米=2198毫升
答：瓶子的容积是2198毫升。
【答案】
2198毫升
【知识点】
圆柱体积计算，不规则容器容积转化，体积与容积单位换算
【点评】
本题通过转化思想，将不规则的瓶子容积转化为两个圆柱体积之和来求解，重点考查对圆柱体积公式的灵活运用，以及对不规则容器容积计算方法的理解，需要学生具备一定的空间想象能力和转化思维。
【难度系数】
0.6
要计算瓶子的容积，观察瓶子形状可知它是不规则容器，我们可以利用转化思想：正放时水的体积是一个圆柱，倒置后无水部分的体积也是一个圆柱，且这两个圆柱的底面积都等于瓶子的底面积。因此瓶子的容积等于水的体积加上无水部分的体积，也就是底面积乘以（水的高度+无水部分的高度）。解题步骤为：先根据内直径算出底面半径，再计算底面积，最后用底面积乘总高度得到容积，再将单位转换为毫升。
【解析】
1. 计算瓶子底面半径：
$10÷2 = 5$（厘米）
2. 计算瓶子的底面积：
$3.14×5^2 = 3.14×25 = 78.5$（平方厘米）
3. 计算瓶子的总高度（水的高度+无水部分高度）：
$8 + 20 = 28$（厘米）
4. 计算瓶子的容积：
$78.5×28 = 2198$（立方厘米）
因为1立方厘米=1毫升，所以2198立方厘米=2198毫升
答：瓶子的容积是2198毫升。
【答案】
2198毫升
【知识点】
圆柱体积计算，不规则容器容积转化，体积与容积单位换算
【点评】
本题通过转化思想，将不规则的瓶子容积转化为两个圆柱体积之和来求解，重点考查对圆柱体积公式的灵活运用，以及对不规则容器容积计算方法的理解，需要学生具备一定的空间想象能力和转化思维。
【难度系数】
0.6
