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1. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF⊥ BD$，$EG⊥ AC$，点 $F$，$G$ 为垂足。若 $AC = 6$，$BD = 8$，则 $FG$ 的长为
2.5
。答案
1. 2.5
2. 已知四边形 $ABCD$ 是菱形，$∠ BAD = 60°$，$AB = 6$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 在 $AC$ 上。若 $OE=\sqrt{3}$，则 $CE$ 的长为
$4\sqrt{3}$或 $2\sqrt{3}$
。答案
2. $4\sqrt{3}$或 $2\sqrt{3}$
3. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$F$ 为边 $BC$ 上的一点，$DF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $M$，过点 $M$ 作 $ME⊥ CD$ 于点 $E$，$∠ 1=∠ 2$。若 $CE = 1$，则 $BC$ 的长为
2
。答案
3. 2
4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$∠ B = 60°$，$P$ 是边 $AB$ 上的一点，$BP = 3$，$Q$ 是边 $CD$ 上一动点，将四边形 $APQD$ 沿直线 $PQ$ 折叠，$A$ 的对应点为 $A'$。当 $CA'$ 的长度最小时，$CQ$ 的长为
7
。答案
4. 7
5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 1$，$∠ BAC = 45°$，$△ AEF$ 是由 $△ ABC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转得到的，连结 $BE$，$CF$ 相交于点 $D$。
(1) 求证：$BE = CF$。
(2) 当四边形 $ACDE$ 为菱形时，求 $BD$ 的长。
(1) 求证：$BE = CF$。
(2) 当四边形 $ACDE$ 为菱形时，求 $BD$ 的长。
答案
5. (1) 因为△AEF是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的，所以AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC。
所以DE=AE=AC=AB=1，AC//DE。
所以∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°。所以∠AEB=∠ABE=45°。
所以△ABE为等腰直角三角形。所以BE=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$。所以BD=BE−DE=$\sqrt{2}$−1
所以∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC。
又因为AB=AC，所以AE=AF=AB=AC。
在△AEB和△AFC中，
$\{\begin{array}{l}AE=AF\\∠EAB=∠FAC\\AB=AC\end{array} $
所以△AEB≌△AFC（SAS），因此BE=CF。
(2) 因为四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，所以DE=AE=AC=AB=1，AC//DE。
所以∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°。所以∠AEB=∠ABE=45°。
所以△ABE为等腰直角三角形。所以BE=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$。所以BD=BE−DE=$\sqrt{2}$−1
