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1. 如图 4-ZT-1，在△ABC 中，AB = AC，点 E 在 AC 上，点 D 在 BA 的延长线上，且 AD = AE，DE 的延长线与 BC 相交于点 F. 求证：DF⊥BC.
答案
证明：如图，过点A作AM⊥BC于点M.
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠BAM.
∵AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，
∴∠BAM=∠D，
∴DF//AM.
∵AM⊥BC，
∴DF⊥BC.
2. 如图 4-ZT-2，在△ABC 中，过点 A 作 AD⊥AB，交 BC 于点 D.
(1)若∠B = 30°，AB = 2√{3}，求 BD 的长；
(2)在(1)的条件下，若∠C = 45°，求△ABC 的面积.
(1)若∠B = 30°，AB = 2√{3}，求 BD 的长；
(2)在(1)的条件下，若∠C = 45°，求△ABC 的面积.
答案
1. （1）
解：
在$Rt△ ABD$中，$\cos B=\frac{AB}{BD}$（余弦的定义：在直角三角形中，邻边与斜边的比值）。
已知$∠ B = 30°$，$AB = 2\sqrt{3}$，根据$\cos B=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由$\cos B=\frac{AB}{BD}$可得$BD=\frac{AB}{\cos B}$。
把$AB = 2\sqrt{3}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入上式，$BD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$。
2. （2）
解：
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{BD}$（正弦的定义：在直角三角形中，对边与斜边的比值），因为$∠ B = 30°$，$BD = 4$，所以$AD=\frac{1}{2}BD = 2$。
又因为$AB = 2\sqrt{3}$，根据$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2 = 2\sqrt{3}$，且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE$，即$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4× AE$，解得$AE=\sqrt{3}$。
在$Rt△ AEC$中，$∠ C = 45°$，$\tan C=\frac{AE}{EC}$，因为$\tan45°=1$，$AE=\sqrt{3}$，所以$EC = AE=\sqrt{3}$。
$BC=BD + DC$，$DC=\sqrt{AD^{2}+AC^{2}-2AD· AC·\cos∠ ADC}$，又因为$∠ ADC = 180°-∠ ADB$，$∠ ADB = 60°$，$AD = 2$，$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}$（这里也可根据$∠ C = 45°$，$∠ AEC = 90°$，$AE=\sqrt{3}$得$EC=\sqrt{3}$），$BC=BD + EC=4+\sqrt{3}$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE$，把$BC = 4+\sqrt{3}$，$AE=\sqrt{3}$代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(4 + \sqrt{3})×\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\frac{3}{2}$。
综上，（1）$BD$的长为$4$；（2）$△ ABC$的面积为$2\sqrt{3}+\frac{3}{2}$。
解：
在$Rt△ ABD$中，$\cos B=\frac{AB}{BD}$（余弦的定义：在直角三角形中，邻边与斜边的比值）。
已知$∠ B = 30°$，$AB = 2\sqrt{3}$，根据$\cos B=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由$\cos B=\frac{AB}{BD}$可得$BD=\frac{AB}{\cos B}$。
把$AB = 2\sqrt{3}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入上式，$BD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$。
2. （2）
解：
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{BD}$（正弦的定义：在直角三角形中，对边与斜边的比值），因为$∠ B = 30°$，$BD = 4$，所以$AD=\frac{1}{2}BD = 2$。
又因为$AB = 2\sqrt{3}$，根据$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2 = 2\sqrt{3}$，且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE$，即$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4× AE$，解得$AE=\sqrt{3}$。
在$Rt△ AEC$中，$∠ C = 45°$，$\tan C=\frac{AE}{EC}$，因为$\tan45°=1$，$AE=\sqrt{3}$，所以$EC = AE=\sqrt{3}$。
$BC=BD + DC$，$DC=\sqrt{AD^{2}+AC^{2}-2AD· AC·\cos∠ ADC}$，又因为$∠ ADC = 180°-∠ ADB$，$∠ ADB = 60°$，$AD = 2$，$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}$（这里也可根据$∠ C = 45°$，$∠ AEC = 90°$，$AE=\sqrt{3}$得$EC=\sqrt{3}$），$BC=BD + EC=4+\sqrt{3}$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE$，把$BC = 4+\sqrt{3}$，$AE=\sqrt{3}$代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(4 + \sqrt{3})×\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\frac{3}{2}$。
综上，（1）$BD$的长为$4$；（2）$△ ABC$的面积为$2\sqrt{3}+\frac{3}{2}$。
3. 如图 4-ZT-3，在△ABC 中，AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E，交 AB 于点 F，D 为线段 CE 的中点，BE = AC.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠B = 25°，求∠DAC 的度数.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠B = 25°，求∠DAC 的度数.
答案
1. （1）证明：
连接$AE$。
因为$EF$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE = BE$。
又因为$BE = AC$，所以$AE = AC$。
由于$D$为线段$CE$的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），在$△ AEC$中，$AE = AC$，$D$是$CE$中点，所以$AD⊥ BC$。
2. （2）
因为$AE = BE$，$∠ B = 25°$，根据等边对等角，所以$∠ BAE=∠ B = 25°$。
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，所以$∠ AEC=∠ B+∠ BAE$。
则$∠ AEC = 25°+25°=50°$。
又因为$AE = AC$，根据等边对等角，所以$∠ C=∠ AEC = 50°$。
因为$AD⊥ BC$，在$Rt△ ADC$中，根据直角三角形两锐角互余，$∠ DAC + ∠ C=90°$。
所以$∠ DAC=90°-∠ C$。
把$∠ C = 50°$代入得$∠ DAC = 90°-50°=40°$。
综上，（1）已证$AD⊥ BC$；（2）$∠ DAC$的度数为$40°$。
连接$AE$。
因为$EF$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE = BE$。
又因为$BE = AC$，所以$AE = AC$。
由于$D$为线段$CE$的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），在$△ AEC$中，$AE = AC$，$D$是$CE$中点，所以$AD⊥ BC$。
2. （2）
因为$AE = BE$，$∠ B = 25°$，根据等边对等角，所以$∠ BAE=∠ B = 25°$。
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，所以$∠ AEC=∠ B+∠ BAE$。
则$∠ AEC = 25°+25°=50°$。
又因为$AE = AC$，根据等边对等角，所以$∠ C=∠ AEC = 50°$。
因为$AD⊥ BC$，在$Rt△ ADC$中，根据直角三角形两锐角互余，$∠ DAC + ∠ C=90°$。
所以$∠ DAC=90°-∠ C$。
把$∠ C = 50°$代入得$∠ DAC = 90°-50°=40°$。
综上，（1）已证$AD⊥ BC$；（2）$∠ DAC$的度数为$40°$。
4. 如图 4-ZT-4，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠C = 90°，E 是 BC 的中点，AE 平分∠DAB，求证：DE 是∠ADC 的平分线.
答案
证明：
过点E作$EF ⊥ AD$于点$F$。
因为$AE$平分$∠ DAB$，$∠ B = 90°$，$EF ⊥ AD$，
所以$EB = EF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
因为$E$是$BC$的中点，
所以$EB = EC$，
所以$EF = EC$。
又因为$∠ C = 90°$，即$EC ⊥ DC$，$EF ⊥ AD$，
所以点$E$在$∠ ADC$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
所以$DE$是$∠ ADC$的平分线。
过点E作$EF ⊥ AD$于点$F$。
因为$AE$平分$∠ DAB$，$∠ B = 90°$，$EF ⊥ AD$，
所以$EB = EF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
因为$E$是$BC$的中点，
所以$EB = EC$，
所以$EF = EC$。
又因为$∠ C = 90°$，即$EC ⊥ DC$，$EF ⊥ AD$，
所以点$E$在$∠ ADC$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
所以$DE$是$∠ ADC$的平分线。
