1. 若等腰三角形有两条边的长度分别为 5 和 8，则此等腰三角形的周长为()

A.18 或 21
B.21
C.24 或 18
D.18

1. A

2. 等腰三角形的周长为 18，其中一边长为 4，则其他两边长分别为()

A.4，10
B.7，7
C.4，10 或 7，7
D.无法确定

2. B

3. 新考法 新定义 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰三角形 ABC 是“倍长三角形”，底边 BC 的长为 3，则腰 AB 的长为。

3. 6

4. 如果等腰三角形的一个角是 80°，那么它的底角是()

A.80°或 20°
B.50°或 20°
C.80°或 50°
D.50°

4. C

5. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”。若某等腰三角形的一个内角为 36°，则这个等腰三角形的“特征值”为。

5. $\frac{1}{2}$或 3

6. 如图 3 - ZT - 1，△ABC 中，∠B = 50°，∠C = 90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ADC 的度数为。

6. $70°$或$100°$或$20°$

7. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，那么该等腰三角形顶角的度数是。

7. $60°$或$120°$

8. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，AC 的垂直平分线交直线 AB 于点 E，连接 CE，如果∠AEC = 80°，那么∠B 的度数为。

8. $65°$或$25°$

9. 等腰三角形的一个内角为 30°，腰长为 4，则这个等腰三角形腰上的高为。

9. 2 或$2\sqrt{3}$

10. 如图 3 - ZT - 2，P 是射线 ON 上一动点，∠O = 45°，当∠A 的度数为时，△AOP 为等腰三角形。

10. $45°$或$67.5°$或$90°$

11. 如图 3 - ZT - 3，在△ABC 中，已知∠ACB = 90°，AB = 10 cm，AC = 8 cm，动点 P 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度沿线段 AB 向点 B 运动。在运动过程中，当△APC 为等腰三角形时，点 P 运动的时间为()

A.5 s
B.5 s 或 4 s
C.$\frac{5}{2}$ s
D.4 s 或 $\frac{5}{2}$ s

11. D

12. 如图 3 - ZT - 4，在△ABC 中，AB = 8，BC = 10，AC = 6，动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB 向点 B 运动，速度为每秒 2 个单位长度，到达点 B 时停止运动，设运动时间为 t 秒，请解答下列问题：
(1)求 BC 边上的高；
(2)当 t 为何值时，△ACP 为等腰三角形？

1. （1）求$BC$边上的高：
设$BC$边上的高为$h$。
已知$AB = 8$，$BC = 10$，$AC = 6$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△ ABC$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· h=\frac{1}{2}AC· AB$。
即$\frac{1}{2}×10× h=\frac{1}{2}×6×8$。
化简可得$10h = 48$，解得$h=\frac{24}{5}$。
2. （2）当$△ ACP$为等腰三角形时：
已知$CP = 2t$。
①当$AC = CP$时：
因为$AC = 6$，$CP = 2t$，所以$2t = 6$，解得$t = 3$。
②当$AP = CP$时：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，由（1）知$AD=\frac{24}{5}$。
因为$AP = CP = 2t$，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\sqrt{36 - \frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{900 - 576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
则$PD = CD - CP=\frac{18}{5}-2t$（此时$t＜\frac{9}{5}$）或$PD = CP - CD=2t-\frac{18}{5}$（此时$t＞\frac{9}{5}$）。
在$Rt△ APD$中，根据$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}$，当$PD=\frac{18}{5}-2t$时，$(2t)^{2}=(\frac{24}{5})^{2}+(\frac{18}{5}-2t)^{2}$。
展开得$4t^{2}=\frac{576}{25}+\frac{324}{25}- \frac{72}{5}t + 4t^{2}$，此方程无解。
当$PD = 2t-\frac{18}{5}$时，$(2t)^{2}=(\frac{24}{5})^{2}+(2t-\frac{18}{5})^{2}$。
展开得$4t^{2}=\frac{576}{25}+4t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{324}{25}$。
移项可得$\frac{72}{5}t=\frac{576 + 324}{25}$，$\frac{72}{5}t=\frac{900}{25}$，$t=\frac{5}{4}$。
③当$AC = AP$时：
因为$AC = 6$，$AP = 6$，$AD=\frac{24}{5}$，在$Rt△ APD$中，$PD=\sqrt{AP^{2}-AD^{2}}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\frac{18}{5}$。
所以$CP = 2CD$（等腰三角形三线合一），$CD=\frac{18}{5}$，则$CP=\frac{36}{5}$，$2t=\frac{36}{5}$，解得$t=\frac{18}{5}$。
综上，（1）$BC$边上的高为$\frac{24}{5}$；（2）当$t = 3$或$t=\frac{5}{4}$或$t=\frac{18}{5}$时，$△ ACP$为等腰三角形。