7. 如图，$AD=AE$，$BE=CD$，$∠ 1=∠ 2=110°$，$∠ BAE=60°$，则$∠ CAE$的度数为 （ ）
A. $20°$
B. $30°$
C. $40°$
D. $50°$

A

8. 如图,已知$AB=AC$,$BD=CD$,$∠ BAC=60°$,$∠ BDC=140°$,则$∠ B$的度数为（ ）
A. $50°$
B. $40°$
C. $40°$或$70°$
D. $30°$

B

9. 在$△ ABC$中，$AC=5$，中线$AD=7$，则边$AB$的长的取值范围是______．

$9\lt AB\lt19$

10. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ADB=90°$,$∠ ACB=90°$,$E$ 是 $AB$ 的中点.
(1)求证:$DE=CE$.
(2)若 $∠ CAB=30°$,$∠ DBA=40°$,求 $∠ DEC$ 的度数.

解：(1)证明：因为在$Rt\triangle ADB$和$Rt\triangle ABC$中，$\angle ADB = 90^{\circ}，$$\angle ACB = 90^{\circ}，$$E$是$AB$的中点， 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}AB，$$CE=\frac{1}{2}AB，$所以$DE = CE。$ (2)在$Rt\triangle ADB$和$Rt\triangle ABC$中，$\angle ADB = 90^{\circ}，$$\angle ACB = 90^{\circ}，$$\angle CAB = 30^{\circ}，$$\angle DBA = 40^{\circ}，$ 所以$\angle DAB=90^{\circ}-\angle DBA=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}，$
$\angle ABC=90^{\circ}-\angle CAB=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}。$ 由
(1)知，$DE=\frac{1}{2}AB，$$CE=\frac{1}{2}AB。$又因为$E$为$AB$的中点，所以$AE = BE=\frac{1}{2}AB，$所以$DE = AE，$$CE = BE，$ 所以$\angle ADE=\angle DAB = 50^{\circ}，$$\angle ECB=\angle ABC = 60^{\circ}，$ 所以$\angle DEA=180^{\circ}-\angle DAB-\angle ADE=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}，$$\angle CEB=180^{\circ}-\angle ECB-\angle CBA=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$ 所以$\angle DEC=180^{\circ}-\angle DEA-\angle CEB=180^{\circ}-80^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}。$

11. 如图 1，$AB=7\ \mathrm{cm}$，$AC ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$，垂足分别为 $A$、$B$，$AC=5\ \mathrm{cm}$。点 $P$ 在线段 $AB$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $Q$ 在射线 $BD$ 上运动。它们运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$（当点 $P$ 运动结束时，点 $Q$ 运动随之结束）。
(1) 若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等，当 $t=1$ 时，$△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 是否全等？并判断此时线段 $PC$ 和线段 $PQ$ 的位置关系，请分别说明理由。
(2) 如图 2，若“$AC ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$”改为“$∠ CAB = ∠ DBA$”，点 $Q$ 的运动速度为 $x\ \mathrm{cm/s}$，其他条件不变，当点 $P$、$Q$ 运动到何处时，有 $△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 全等？求出相应的 $x$ 的值。

解：(1)$\triangle ACP\cong\triangle BPQ，$$PC\perp PQ。$理由如下： 因为$AC\perp AB，$$BD\perp AB，$所以$\angle A=\angle B = 90^{\circ}，$$\angle C+\angle APC = 90^{\circ}。$ 由题意得，$AP = BQ = 2\ cm。$因为$AB = 7\ cm，$
所以$BP=AB - AP=7 - 2 = 5(cm)。$
又因为$AC = 5\ cm，$所以$BP = AC。$ 在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中， $\begin{cases}AC = BP\\\angle A=\angle B\\AP = BQ\end{cases}，$ 所以$\triangle ACP\cong\triangle BPQ(SAS)，$
所以$\angle C=\angle BPQ，$ 所以$\angle APC+\angle BPQ = 90^{\circ}，$
所以$\angle CPQ=180^{\circ}-(\angle APC+\angle BPQ)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}，$所以$PC\perp PQ。$ (2)分两种情况：
①若$\triangle ACP\cong\triangle BPQ，$则$AC = BP，$$AP = BQ，$
可得$5 = 7 - 2t，$$2t = xt，$解得$t = 1，$$x = 2；$ ②若$\triangle ACP\cong\triangle BQP，$则$AP = BP，$$AC = BQ，$
可得$2t = 7 - 2t，$$5 = xt，$解得$t=\frac{7}{4}，$$x=\frac{20}{7}。$ 综上所述，当$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等时，$x$的值为$2$或$\frac{20}{7}。$