1. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$OE=OF$。
求证：$AE=BF$。

; 证明：过点$O$作$OM\perp AB$于点$M，$ 因为垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AM = BM。$ 又因为$OE = OF，$
根据等腰三角形三线合一的性质（$\triangle OEF$中$OM\perp EF$），可得$EM = FM。$ 由$AM - EM=BM - FM，$
所以$AE = BF。$

2. 如图，$\odot O$的半径为 2，弦$AB=2\sqrt{3}$，点$C$在弦$AB$上，$AC=\dfrac{1}{4}AB$，求$OC$的长.

第2题图

解：作$OH\perp AB$于点$H，$ 根据垂径定理，$AH = BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}。$ 在$Rt\triangle BOH$中，$OB = 2，$$BH=\sqrt{3}，$ 由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（这里$OB$为斜边$c，$$BH$为直角边$b，$$OH$为直角边$a$）可得： $OH = \sqrt{OB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 1。$ 因为$AC=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}×2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$ 所以$CH = AH - AC=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}。$ 在$Rt\triangle OHC$中，由勾股定理可得： $OC = \sqrt{OH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}。$ ;

3. 如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D,OC,OD的延长线分别交大圆于点E,F.求证:$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.

第3题图

; 证明：连接$OA，$$OB。$ 因为$OC = OD，$根据等边对等角，所以$∠OCD = ∠ODC。$ 又因为$OA = OB，$
所以$∠OAB = ∠OBA。$ 因为$∠OCD=∠OAC + ∠AOC，$$∠ODC=∠OBD + ∠BOD，$ 所以$∠AOC=∠BOD，$即$∠AOE=∠BOF。$ 根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}。$