7. 如图，AB为$\odot O$的直径，PB，PC分别与$\odot O$相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交$\odot O$于点D.若$CD=PB=2\sqrt{3}$，则BE的长为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

第7题图

第8题图

第9题图

C

8.(2024·鼓楼区模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=58°,△ABC的内切圆⊙O与AB,AC分别相切于点D,E,连接DE,BO的延长线交DE于点F,则∠BFD=______.

$29^{\circ}$

9.如图,正方形ABCD的边长为6,$\odot O$的半径为1.若$\odot O$在正方形ABCD内平移($\odot O$可以与该正方形的边相切),则点A到$\odot O$上的点的距离的最大值为$\underline{\hspace{5em}}$.

$5\sqrt{2}+1$

10.如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C在$\odot O$上，连接OA，OC，AC.
(1)求证：$∠ AOC=2∠ PAC$；
(2)连接OB，若$AC// OB$，$\odot O$的半径为5，$AC=6$，求AP的长.

第10题图

证明：(1)过点$O$作$OH\perp AC$于点$H，$ $∴∠OHA = 90°，$$∴∠AOH+∠OAC = 90°.$ $∵PA$是$\odot O$的切线，$∴∠OAP = 90°，$ $∴∠OAC+∠PAC = 90°，$$∴∠AOH=∠PAC.$ $∵OA = OC，$$∴∠AOC = 2∠AOH，$$∴∠AOC = 2∠PAC.$ (2)解：连接$OB，$延长$AC$交$PB$于点$E.$ $∵PA，$$PB$是$\odot O$的切线， $∴OB\perp PB，$$PA = PB.$ $∵AC// OB，$$∴AC\perp PB，$$∴$四边形$OBEH$是矩形， $∴OH = BE，$$HE = OB = 5.$ $∵OH\perp AC，$$OA = OC，$$∴AH = CH=\frac{1}{2}AC = 3，$ $∴OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4，$ $∴BE = OH = 4，$$AE = AH + HE = 8.$ $∵AP^{2}=AE^{2}+PE^{2}，$$∴AP^{2}=8^{2}+(AP - 4)^{2}，$ 展开得$AP^{2}=64+AP^{2}-8AP + 16，$ 移项合并得$8AP = 80，$解得$AP = 10.$ ;

11. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,以 $BC$ 为直径的 $\odot O$ 交 $AB$ 于点 $D$,切线 $DE$ 交 $AC$ 于点 $E$.
(1)求证:$∠ A=∠ ADE$;
(2)若 $AD=8,DE=5$,求 $BC$ 的长.

第11题图

证明：(1)连接$OD.$ $∵DE$是切线，$∴∠ODE = 90°，$ $∴∠ADE+∠BDO = 90°.$ $∵∠ACB = 90°，$$∴∠A+∠B = 90°.$ $∵OD = OB，$$∴∠B=∠BDO，$$∴∠A=∠ADE.$ (2)解：连接$CD.$ $∵∠ADE=∠A，$$∴AE = DE.$ $∵BC$是$\odot O$的直径，$∠ACB = 90°，$ $∴EC$是$\odot O$的切线，$∴ED = EC，$$∴AE = EC.$ $∵DE = 5，$$∴AC = 2DE = 10.$ $∵BC$是$\odot O$的直径， $∴∠BDC = 90°=∠ADC.$ 在$Rt\triangle ADC$中，$DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6.$ 设$BD = x，$则$AB = 8 + x，$ 在$Rt\triangle BDC$中，$BC^{2}=x^{2}+6^{2}，$ 在$Rt\triangle ABC$中，$BC^{2}=(x + 8)^{2}-10^{2}，$ $∴x^{2}+6^{2}=(x + 8)^{2}-10^{2}，$ 展开得$x^{2}+36=x^{2}+16x + 64 - 100，$ 移项合并得$16x = 72，$解得$x=\frac{9}{2}，$ $∴BC=\sqrt{6^{2}+(\frac{9}{2})^{2}}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{144 + 81}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}}=\frac{15}{2}.$ ;