7. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 4x + m - 1 = 0 $ 有两个实数根，分别为 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1)求 $ m $ 的取值范围。
(2)若 $ 2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0 $，求 $ m $ 的值。

解：​$(1)$​∵方程有两个实数根∴​$b^2-4ac≥0，$​即​$4^2-4(m-1)≥0$​解得​$m≤5$​​$(2)$​由根与系数的关系，得​$x_{1}+x_{2}=-4，$​​$x_{1}x_{2}=m-1$​又∵​$2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}+10=0$​∴​$2×(-4)+(m-1)+10=0$​解得​$m=-1$​经检验，​$m=-1$​符合题意故​$m $​的值是​$-1$​

8. 已知$a、b$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个根，则$a^2b + ab^2$的值是 （ ）
A. $-1$
B. $-5$
C. $-6$
D. $6$

C

9. 已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx + m - 3 = 0$的两个根，若$x_1 + x_2 = 2$，则$x_1x_2$的值为______．

-1

10. 已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 + kx - 2 = 0$的两个实数根，且$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，则$k=\underline{\hspace{3em}}$．

7

11. 若$α$、$β$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$的两个实数根，则$α^2 + 3α + β$的值为（ ）
A. 2015
B. 2022
C. $-2015$
D. 4010

B

12. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + (2m + 1)x + m^2 - 1 = 0 $有两个不相等的实数根.
(1)求$ m $的取值范围.
(2)设$ x_1 $、$ x_2 $是方程的两个根，且$ x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 - 6 = 0 $，求$ m $的值.

解：​$(1)$​对于方程​$x^2+(2m + 1)x +\mathrm {m^2}-1 = 0$​​$∆=b^2-4ac=(2m + 1)^2-4(\mathrm {m^2}-1)=4\ \mathrm {m^2}+4m + 1-4\ \mathrm {m^2}+4=4m + 5$​∵方程有两个不相等的实数根∴​$∆＞0，$​即​$4m + 5＞0，$​​$4m＞-5，$​解得​$m＞-\frac 54$​​$ (2)$​由根与系数的关系得​$x_{1} + x_{2}=-2m - 1，$​​$x_{1}x_{2}=\mathrm {m^2}-1$​∵​$x_{1}^2+x_{2}^2+x_{1}x_{2}-6 = 0，$​又​$x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1} + x_{2})^2-2x_{1}x_{2}$​∴​$(x_{1} + x_{2})^2-x_{1}x_{2}-6 = 0，$​即​$(-2m - 1)^2-(\mathrm {m^2}-1)-6 = 0$​​$ $​展开得​$4\ \mathrm {m^2}+4m + 1-\mathrm {m^2}+1-6 = 0，$​​$3\ \mathrm {m^2}+4m - 4 = 0$​​$ $​因式分解得​$(3m - 2)(m + 2)=0$​∴​$3m - 2 = 0$​或​$m + 2 = 0，$​解得​$m_{1}=\frac 23，$​​$m_{2}=-2$​ 又∵​$m＞-\frac 54，$​∴​$m=\frac 23$​

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,方程总有实数根.
(2)若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是方程的两个实数根,且 $ \dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = -\dfrac{5}{2} $,求 $ m $ 的值.

​$(1)$​证明：∵​$b²-4ac=[-(2m-1)]²-4×1×(-3m²+m)=(4m-1)²≥0$​∴无论​$m $​为何值， 方程总有实数根​$(2)$​解：由题意得​$x_{1}+x_{2}=2m-1，$​​$x_{1}x_{2}=-3\ \mathrm {m^2}+m$​∵​$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{1}^2+x_{2}^2}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^2}{x_{1}x_{2}}-2=-\frac {5}{2}$​∴​$\frac {(2m-1)^2}{-3\ \mathrm {m^2}+m}=-\frac {5}{2}，$​即​$5\ \mathrm {m^2}-7m+2=0，$​解得​$m=1$​或​$m=\frac {2}{5}$​