1. 若$\frac{1}{4}a + 1$有算术平方根,则$a$能取的最小整数为 (
A.0
B.-4
C.4
D.-8
B
)A.0
B.-4
C.4
D.-8
答案
1.B
解析
要使$\frac{1}{4}a + 1$有算术平方根，则$\frac{1}{4}a + 1 \geq 0$。
解不等式：$\frac{1}{4}a + 1 \geq 0$
$\frac{1}{4}a \geq -1$
$a \geq -4$
所以$a$能取的最小整数为$-4$。
B
解不等式：$\frac{1}{4}a + 1 \geq 0$
$\frac{1}{4}a \geq -1$
$a \geq -4$
所以$a$能取的最小整数为$-4$。
B
2. (2023·孝感改编)已知$\sqrt{-10m}$是正整数,则满足条件的最大负整数$m$为 (
A.-10
B.-40
C.-90
D.-160
A
)A.-10
B.-40
C.-90
D.-160
答案
2.A
解析
要使$\sqrt{-10m}$是正整数，设$\sqrt{-10m}=k$（$k$为正整数），则$-10m = k^2$，即$m=-\dfrac{k^2}{10}$。
因为$m$是负整数，所以$k^2$必须是$10$的倍数，$k$最小取$10$（$k=10$时，$k^2=100$），此时$m=-\dfrac{100}{10}=-10$；$k=20$时，$m=-\dfrac{400}{10}=-40$；$k=30$时，$m=-\dfrac{900}{10}=-90$等。
比较这些负整数$-10$，$-40$，$-90$，$-160$，最大的是$-10$。
A
因为$m$是负整数，所以$k^2$必须是$10$的倍数，$k$最小取$10$（$k=10$时，$k^2=100$），此时$m=-\dfrac{100}{10}=-10$；$k=20$时，$m=-\dfrac{400}{10}=-40$；$k=30$时，$m=-\dfrac{900}{10}=-90$等。
比较这些负整数$-10$，$-40$，$-90$，$-160$，最大的是$-10$。
A
3. 若$a - 6 = \sqrt{3b - 1} - \sqrt{2 - 6b}$,则$ab$的算术平方根为 (
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.4
B
)A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.4
答案
3.B
解析
要使$\sqrt{3b - 1}$和$\sqrt{2 - 6b}$有意义，则：
$\begin{cases}3b - 1 \geq 0 \\2 - 6b \geq 0\end{cases}$
解得$b = \dfrac{1}{3}$。
将$b = \dfrac{1}{3}$代入$a - 6 = \sqrt{3b - 1} - \sqrt{2 - 6b}$，得$a - 6 = 0$，即$a = 6$。
所以$ab = 6×\dfrac{1}{3} = 2$，$ab$的算术平方根为$\sqrt{2}$。
B
$\begin{cases}3b - 1 \geq 0 \\2 - 6b \geq 0\end{cases}$
解得$b = \dfrac{1}{3}$。
将$b = \dfrac{1}{3}$代入$a - 6 = \sqrt{3b - 1} - \sqrt{2 - 6b}$，得$a - 6 = 0$，即$a = 6$。
所以$ab = 6×\dfrac{1}{3} = 2$，$ab$的算术平方根为$\sqrt{2}$。
B
4. 若$\sqrt{8 - x}$为整数,$x$为正整数,则$x$的值是
4或7或8
.答案
4.4或7或8 解析：根据题意，得$8 - x \geqslant 0$，$x$为正整数，$\therefore 1 \leqslant x \leqslant 8$，且$x$为正整数. $\because \sqrt{8 - x}$为整数，$\therefore x$的值是4或7或8.
解析
要使$\sqrt{8 - x}$为整数，需满足：
1. 被开方数非负：$8 - x \geq 0$，即$x \leq 8$；
2. $x$为正整数，故$1 \leq x \leq 8$；
3. $\sqrt{8 - x}$为整数，设$\sqrt{8 - x} = k$（$k$为整数），则$8 - x = k^2$，$x = 8 - k^2$。
$k$可取$0,1,2$（$k^2 \leq 8$）：
$k=0$时，$x=8 - 0^2=8$；
$k=1$时，$x=8 - 1^2=7$；
$k=2$时，$x=8 - 2^2=4$。
综上，$x$的值是4或7或8。
1. 被开方数非负：$8 - x \geq 0$，即$x \leq 8$；
2. $x$为正整数，故$1 \leq x \leq 8$；
3. $\sqrt{8 - x}$为整数，设$\sqrt{8 - x} = k$（$k$为整数），则$8 - x = k^2$，$x = 8 - k^2$。
$k$可取$0,1,2$（$k^2 \leq 8$）：
$k=0$时，$x=8 - 0^2=8$；
$k=1$时，$x=8 - 1^2=7$；
$k=2$时，$x=8 - 2^2=4$。
综上，$x$的值是4或7或8。
5. 若$a,b$都是实数,$b = \sqrt{1 - 2a} + \sqrt{2a - 1} - 2$,则$a^b$的值为
4
.答案
5.$4$ 解析：根据题意，得$\begin{cases}1 - 2a \geqslant 0, \\2a - 1 \geqslant 0, \end{cases}$即$\begin{cases}a \leqslant \frac{1}{2}, \\a \geqslant \frac{1}{2}. \end{cases}$$\therefore a = \frac{1}{2}$，$\therefore b = 0 + 0 - 2 = - 2$，$\therefore a^b = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$.
解析
要使$b = \sqrt{1 - 2a} + \sqrt{2a - 1} - 2$有意义，则$\begin{cases}1 - 2a \geq 0 \\2a - 1 \geq 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a \leq \frac{1}{2} \\a \geq \frac{1}{2}\end{cases}$，所以$a = \frac{1}{2}$。将$a = \frac{1}{2}$代入$b$的表达式，得$b = \sqrt{1 - 2×\frac{1}{2}} + \sqrt{2×\frac{1}{2} - 1} - 2 = 0 + 0 - 2 = -2$。则$a^b = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$。
4
4
6. 已知实数$m,n$满足$n = \frac{\sqrt{m^2 - 4} - \sqrt{4 - m^2}}{m - 2}$,求$\sqrt{mn}$的值.
答案
6.根据算术平方根的被开方数是非负数，得$m^2 - 4 \geqslant 0$，$4 - m^2 \geqslant 0$，即$m^2 \geqslant 4$，$m^2 \leqslant 4$，$\therefore m^2 = 4$，解得$m = \pm 2$.根据分母不能为$0$，得$m - 2 \neq 0$，解得$m \neq 2$，因此$m = - 2$.此时$n = \frac{0}{-2 - 2} = 0$，$\therefore \sqrt{mn} = \sqrt{-2 × 0} = 0$
解析
解：由算术平方根的被开方数非负，得$m^2 - 4 \geq 0$且$4 - m^2 \geq 0$，即$m^2 \geq 4$且$m^2 \leq 4$，故$m^2 = 4$，解得$m = \pm 2$。
又分母不为$0$，则$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$，因此$m = -2$。
将$m = -2$代入$n = \frac{\sqrt{m^2 - 4} - \sqrt{4 - m^2}}{m - 2}$，得$n = \frac{0 - 0}{-2 - 2} = 0$。
所以$\sqrt{mn} = \sqrt{(-2) × 0} = 0$。
又分母不为$0$，则$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$，因此$m = -2$。
将$m = -2$代入$n = \frac{\sqrt{m^2 - 4} - \sqrt{4 - m^2}}{m - 2}$，得$n = \frac{0 - 0}{-2 - 2} = 0$。
所以$\sqrt{mn} = \sqrt{(-2) × 0} = 0$。
7. 已知$a$为实数,求代数式$\sqrt{a + 1} - \sqrt{3 - 4a} + \sqrt{-3a^2}$的值.
答案
7.根据$\sqrt{-3a^2}$的被开方数是非负数，得$-3a^2 \geqslant 0$，即$3a^2 \leqslant 0$，$a^2 \leqslant 0$. $\because$对于任意实数$a$，都有$a^2 \geqslant 0$，$\therefore a^2 = 0$，即$a = 0$.此时$\sqrt{a + 1} - \sqrt{3 - 4a} + \sqrt{-3a^2} = 1 - \sqrt{3} + 0 = 1 - \sqrt{3}$
解析
要使代数式有意义，需满足被开方数非负。对于$\sqrt{-3a^2}$，有$-3a^2 \geq 0$，即$3a^2 \leq 0$，所以$a^2 \leq 0$。
因为对于任意实数$a$，$a^2 \geq 0$，所以$a^2 = 0$，即$a = 0$。
将$a = 0$代入代数式：$\sqrt{0 + 1} - \sqrt{3 - 4×0} + \sqrt{-3×0^2} = \sqrt{1} - \sqrt{3} + \sqrt{0} = 1 - \sqrt{3} + 0 = 1 - \sqrt{3}$。
答案：$1 - \sqrt{3}$
因为对于任意实数$a$，$a^2 \geq 0$，所以$a^2 = 0$，即$a = 0$。
将$a = 0$代入代数式：$\sqrt{0 + 1} - \sqrt{3 - 4×0} + \sqrt{-3×0^2} = \sqrt{1} - \sqrt{3} + \sqrt{0} = 1 - \sqrt{3} + 0 = 1 - \sqrt{3}$。
答案：$1 - \sqrt{3}$
8. (2023·湘潭改编)实数$a,b$满足$\sqrt{a + 1} + 4a^2 + 4ab + b^2 = 0$,则$b^a$的值为 (
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.-2
D.$-\frac{1}{2}$
B
)A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.-2
D.$-\frac{1}{2}$
答案
8.B
解析
$\sqrt{a + 1} + 4a^2 + 4ab + b^2 = 0$可变形为$\sqrt{a + 1} + (2a + b)^2 = 0$。
因为$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$(2a + b)^2 \geq 0$，所以$\begin{cases}a + 1 = 0 \\ 2a + b = 0\end{cases}$。
解得$a = -1$，将$a = -1$代入$2a + b = 0$，得$2×(-1) + b = 0$，$b = 2$。
则$b^a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
B
因为$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$(2a + b)^2 \geq 0$，所以$\begin{cases}a + 1 = 0 \\ 2a + b = 0\end{cases}$。
解得$a = -1$，将$a = -1$代入$2a + b = 0$，得$2×(-1) + b = 0$，$b = 2$。
则$b^a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
B
9. 已知实数$a,b,c$满足$(a - \sqrt{17})^2 + \sqrt{5 - b} + |c - 3×\sqrt{2}| = 0$,则实数$a,b,c$的大小关系为
a ＜ c ＜ b
(用“＜”连接).答案
9.$a ＜ c ＜ b$
解析
因为$(a - \sqrt{17})^2 \geq 0$，$\sqrt{5 - b} \geq 0$，$|c - 3\sqrt{2}| \geq 0$，且$(a - \sqrt{17})^2 + \sqrt{5 - b} + |c - 3\sqrt{2}| = 0$，所以$a - \sqrt{17} = 0$，$5 - b = 0$，$c - 3\sqrt{2} = 0$，解得$a = \sqrt{17}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{17} \approx 4.123$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，$5 ＞ 4.242 ＞ 4.123$，所以$a ＜ c ＜ b$。
$a ＜ c ＜ b$
因为$\sqrt{17} \approx 4.123$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，$5 ＞ 4.242 ＞ 4.123$，所以$a ＜ c ＜ b$。
$a ＜ c ＜ b$
