10. (2023·内江改编)在$\triangle ABC$中,$\angle A,\angle B,\angle C$的对边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 12a - 36$,比较大小:$c^2 - a^2$
=
$b^2$(填“＞”“＜”或“=”).答案
10.$=$
解析
$a^2 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 12a - 36$，
移项得$a^2 - 12a + 36 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 0$，
即$(a - 6)^2 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 0$，
因为$(a - 6)^2 \geq 0$，$|c - 10| \geq 0$，$\sqrt{b - 8} \geq 0$，
所以$a - 6 = 0$，$c - 10 = 0$，$b - 8 = 0$，
解得$a = 6$，$c = 10$，$b = 8$，
则$c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$，$b^2 = 8^2 = 64$，
所以$c^2 - a^2 = b^2$。
$=$
移项得$a^2 - 12a + 36 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 0$，
即$(a - 6)^2 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 0$，
因为$(a - 6)^2 \geq 0$，$|c - 10| \geq 0$，$\sqrt{b - 8} \geq 0$，
所以$a - 6 = 0$，$c - 10 = 0$，$b - 8 = 0$，
解得$a = 6$，$c = 10$，$b = 8$，
则$c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$，$b^2 = 8^2 = 64$，
所以$c^2 - a^2 = b^2$。
$=$
11. 若$\sqrt{x + 3}$的值与$\sqrt{2y - 4}$的值互为相反数,求$(2x - 3y + 10)^2$的平方根.
答案
11.根据题意，得$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2y - 4} = 0$. $\because \sqrt{x + 3} \geqslant 0$，$\sqrt{2y - 4} \geqslant 0$，$\therefore \sqrt{x + 3} = 0$，$\sqrt{2y - 4} = 0$，即$\begin{cases}x + 3 = 0, \\2y - 4 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 3, \\y = 2, \end{cases}$$\therefore (2x - 3y + 10)^2 = 4$. $\because 4$的平方根为$\pm 2$，$\therefore (2x - 3y + 10)^2$的平方根为$\pm 2$
12. 若实数$a,b$满足$|a - b + 1| = -\sqrt{a + 2b + 4}$,求$3a + 3b$的立方根.
答案
12.根据题意，得$|a - b + 1| + \sqrt{a + 2b + 4} = 0$.
$\because |a - b + 1| \geqslant 0$，$\sqrt{a + 2b + 4} \geqslant 0$，$\therefore |a - b + 1| = 0$，$\sqrt{a + 2b + 4} = 0$，即$\begin{cases}a - b + 1 = 0, \\a + 2b + 4 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 2, \\b = - 1, \end{cases}$$\therefore 3a + 3b$的立方根为$\sqrt[3]{3a + 3b} = \sqrt[3]{-9} = - \sqrt[3]{9}$
$\because |a - b + 1| \geqslant 0$，$\sqrt{a + 2b + 4} \geqslant 0$，$\therefore |a - b + 1| = 0$，$\sqrt{a + 2b + 4} = 0$，即$\begin{cases}a - b + 1 = 0, \\a + 2b + 4 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 2, \\b = - 1, \end{cases}$$\therefore 3a + 3b$的立方根为$\sqrt[3]{3a + 3b} = \sqrt[3]{-9} = - \sqrt[3]{9}$
13. 若实数$x,y,z$满足$\frac{1}{2}|x - y| + z^2 + \frac{1}{4} - z + \sqrt{2y + z} = 0$,求$x(y + z)$的值.
答案
13.根据题意，得$\frac{1}{2}|x - y| + (z - \frac{1}{2})^2 + \sqrt{2y + z} = 0$.
$\because \frac{1}{2}|x - y| \geqslant 0$，$(z - \frac{1}{2})^2 \geqslant 0$，$\sqrt{2y + z} \geqslant 0$，$\therefore x - y = 0$，
$z - \frac{1}{2} = 0$，$2y + z = 0$.联立，解得$\begin{cases}x = - \frac{1}{4}, \\y = - \frac{1}{4}, \\z = \frac{1}{2}. \end{cases}$$\therefore x(y + z) = - \frac{1}{4} × (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16}$
$\because \frac{1}{2}|x - y| \geqslant 0$，$(z - \frac{1}{2})^2 \geqslant 0$，$\sqrt{2y + z} \geqslant 0$，$\therefore x - y = 0$，
$z - \frac{1}{2} = 0$，$2y + z = 0$.联立，解得$\begin{cases}x = - \frac{1}{4}, \\y = - \frac{1}{4}, \\z = \frac{1}{2}. \end{cases}$$\therefore x(y + z) = - \frac{1}{4} × (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16}$
14. 当$x = $
$-\frac{3}{2}$
时,$6 - \sqrt{2x + 3}$有最大值,最大值为6
.答案
14.$- \frac{3}{2}$
15. 若关于$x$的方程$-2x + m\sqrt{17 - x} + 26 = 0$存在整数解,则正整数$m$的值为
6
.答案
15.$6$
解析
设$\sqrt{17 - x} = t$，则$t \geq 0$，$x = 17 - t^2$。
代入原方程：$-2(17 - t^2) + mt + 26 = 0$
化简得：$2t^2 + mt + 26 - 34 = 0$，即$2t^2 + mt - 8 = 0$
解得$m = \frac{8 - 2t^2}{t} = \frac{8}{t} - 2t$
因为$m$为正整数，$t$为非负整数且$t ＞ 0$（$t=0$时方程无意义）。
当$t=1$时，$m = 8 - 2 = 6$；
当$t=2$时，$m = 4 - 4 = 0$（非正整数，舍去）；
$t \geq 3$时，$m$为负数（舍去）。
故$m=6$。
代入原方程：$-2(17 - t^2) + mt + 26 = 0$
化简得：$2t^2 + mt + 26 - 34 = 0$，即$2t^2 + mt - 8 = 0$
解得$m = \frac{8 - 2t^2}{t} = \frac{8}{t} - 2t$
因为$m$为正整数，$t$为非负整数且$t ＞ 0$（$t=0$时方程无意义）。
当$t=1$时，$m = 8 - 2 = 6$；
当$t=2$时，$m = 4 - 4 = 0$（非正整数，舍去）；
$t \geq 3$时，$m$为负数（舍去）。
故$m=6$。
16. 若$7m - \sqrt{4 - 2m} = 14$,求$\sqrt{m + 2}$的立方根.
答案
16.根据题意，得$\sqrt{4 - 2m} = 7m - 14$. $\because$算术平方根具有双重非负性，$\therefore \begin{cases}4 - 2m \geqslant 0, \\7m - 14 \geqslant 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}m \leqslant 2, \\m \geqslant 2, \end{cases}$$\therefore m = 2$，此时$\sqrt{m + 2} = \sqrt{4} = 2$，$\therefore \sqrt{m + 2}$的立方根为$\sqrt[3]{2}$
