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1. 已知点P不在$\odot O$上.若点P到$\odot O$上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则$\odot O$的半径为
6.5cm或2.5cm
.答案
1. 6.5cm或2.5cm
解析
当点P在$\odot O$外时，半径$r=\frac{9-4}{2}=2.5\ cm$；当点P在$\odot O$内时，半径$r=\frac{9+4}{2}=6.5\ cm$。故$\odot O$的半径为$6.5\ cm$或$2.5\ cm$。
2. 在半径为$\sqrt{5}$的$\odot O$中,弦$AB\perp CD$,垂足为P,$AB = CD = 4$,则$S_{\triangle ACP}=$
$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$
.答案
2. $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$ 解析:连接OB、OC、OP，过点O作OE⊥AB 于点E，OF⊥CD于点F，分如图①②③所示的三种情况讨论.
3. (2023·绥化)已知P是$\odot O$外一点.
(1) 尺规作图:如图,过点P作出$\odot O$的两条切线PE、PF,切点分别为E、F(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2) 在(1)的条件下,若点D在$\odot O$上(点D不与E、F两点重合),且$\angle EPF = 30^{\circ}$,则$\angle EDF$的度数为
(1) 尺规作图:如图,过点P作出$\odot O$的两条切线PE、PF,切点分别为E、F(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2) 在(1)的条件下,若点D在$\odot O$上(点D不与E、F两点重合),且$\angle EPF = 30^{\circ}$,则$\angle EDF$的度数为
75°或105°
.答案
3. (1)如图，PE、PF即为所作 (2)75°或105°
4. 如图,$\odot O$的半径为1,P为$\odot O$外的一点,PA与$\odot O$相切于点A,$PA = 1$.若AB是$\odot O$的弦,且$AB=\sqrt{2}$,则PB的长为 (
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.1或$\sqrt{5}$
D
)A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.1或$\sqrt{5}$
答案
4. D
解析
解：连接OA，OB，OP。
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴OA⊥PA，OA=1，PA=1，
∴OP=$\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵AB是$\odot O$的弦，AB=$\sqrt{2}$，OA=OB=1，
∴OA²+OB²=1+1=2=AB²，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°。
分两种情况：
①当点B在直线OP上时，
∵OP=$\sqrt{2}$，OB=1，
∴PB=OP-OB=$\sqrt{2}-1$（舍去，非选项）或PB=OP+OB=$\sqrt{2}+1$（舍去，非选项）。
②当点B关于直线OP对称时，
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，OP=$\sqrt{2}$，
∴点A，O，P共线时不成立，正确为：
由OA=1，OP=$\sqrt{2}$，∠AOP=45°（
∵tan∠AOP=PA/OA=1），
∠AOB=90°，则∠POB=∠AOP+∠AOB=135°或∠POB=∠AOB-∠AOP=45°。
当∠POB=45°时，
PB²=OP²+OB²-2·OP·OB·cos45°=$(\sqrt{2})^2+1^2-2×\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=2+1-2=1$，
∴PB=1。
当∠POB=135°时，
PB²=OP²+OB²-2·OP·OB·cos135°=$(\sqrt{2})^2+1^2-2×\sqrt{2}×1×(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2+1+2=5$，
∴PB=$\sqrt{5}$。
综上，PB的长为1或$\sqrt{5}$。
答案：D
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴OA⊥PA，OA=1，PA=1，
∴OP=$\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵AB是$\odot O$的弦，AB=$\sqrt{2}$，OA=OB=1，
∴OA²+OB²=1+1=2=AB²，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°。
分两种情况：
①当点B在直线OP上时，
∵OP=$\sqrt{2}$，OB=1，
∴PB=OP-OB=$\sqrt{2}-1$（舍去，非选项）或PB=OP+OB=$\sqrt{2}+1$（舍去，非选项）。
②当点B关于直线OP对称时，
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，OP=$\sqrt{2}$，
∴点A，O，P共线时不成立，正确为：
由OA=1，OP=$\sqrt{2}$，∠AOP=45°（
∵tan∠AOP=PA/OA=1），
∠AOB=90°，则∠POB=∠AOP+∠AOB=135°或∠POB=∠AOB-∠AOP=45°。
当∠POB=45°时，
PB²=OP²+OB²-2·OP·OB·cos45°=$(\sqrt{2})^2+1^2-2×\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=2+1-2=1$，
∴PB=1。
当∠POB=135°时，
PB²=OP²+OB²-2·OP·OB·cos135°=$(\sqrt{2})^2+1^2-2×\sqrt{2}×1×(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2+1+2=5$，
∴PB=$\sqrt{5}$。
综上，PB的长为1或$\sqrt{5}$。
答案：D
5. 若$\odot O$的半径为17cm,弦$AB// CD$,且$AB = 30cm$,$CD = 16cm$,则AB与CD之间的距离为
7或23
cm.答案
5. 7或23
解析
解：过圆心$O$作$OE \perp AB$于$E$，交$CD$于$F$。
因为$AB // CD$，所以$OF \perp CD$。
连接$OA$，$OC$，$OA=OC=17\, cm$。
$AE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{30}{2}=15\, cm$，在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8\, cm$。
$CF=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{16}{2}=8\, cm$，在$Rt\triangle COF$中，$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15\, cm$。
当$AB$，$CD$在圆心$O$同侧时，距离为$OF - OE=15 - 8=7\, cm$；
当$AB$，$CD$在圆心$O$两侧时，距离为$OF + OE=15 + 8=23\, cm$。
故$AB$与$CD$之间的距离为$7$或$23\, cm$。
因为$AB // CD$，所以$OF \perp CD$。
连接$OA$，$OC$，$OA=OC=17\, cm$。
$AE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{30}{2}=15\, cm$，在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8\, cm$。
$CF=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{16}{2}=8\, cm$，在$Rt\triangle COF$中，$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15\, cm$。
当$AB$，$CD$在圆心$O$同侧时，距离为$OF - OE=15 - 8=7\, cm$；
当$AB$，$CD$在圆心$O$两侧时，距离为$OF + OE=15 + 8=23\, cm$。
故$AB$与$CD$之间的距离为$7$或$23\, cm$。
6. 已知$\odot O$的直径$CD = 10$,AB是$\odot O$的弦,$AB\perp CD$,垂足为M.若$OM:OC = 3:5$,求弦AC的长.
答案
6. 连接OA.
∵CD = 10，
∴OA = OC = OD = 5.
∵OM:OC = 3:5，
∴OM = 3，
∴在Rt△AMO中，AM = $\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4.如图①，当点M在半径OD上时，CM = OC + OM = 5 + 3 = 8.
∴在Rt△AMC中，AC = $\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$.如图②，当点M在半径OC上时，CM = OC - OM = 5 - 3 = 2.
∴在Rt△AMC中，AC = $\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$.综上所述，弦AC的长为4$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$
