7. 如图,某下水管道的横截面为圆形,直径为100cm,下雨前水面宽60cm.若一场大雨过后,水面宽80cm,求水面上升的高度.

7. 如图，设横截面的圆心为点O，作半径OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB.由垂径定理，得BC = $\frac{1}{2}$AB = 30cm.在Rt△OBC中，OB = $\frac{100}{2}$ = 50(cm)，
∴OC = $\sqrt{OB^{2}-BC^{2}}$ = $\sqrt{50^{2}-30^{2}}$ = 40(cm).①当水面上升到圆心以下(A'B'处)，水面宽80cm时，A'B'交OD于点C'，连接OB'.
∵A'B'//AB，OC⊥AB，
∴OC⊥A'B'，
∴B'C' = $\frac{80}{2}$ = 40(cm)，
∴OC' = $\sqrt{OB'^{2}-B'C'^{2}}$ = $\sqrt{50^{2}-40^{2}}$ = 30(cm).此时水面上升的高度为40 - 30 = 10(cm).②当水面上升到圆心以上(A"B"处)时，同理，可得水面上升的高度为40 + 30 = 70(cm).综上所述，水面上升的高度为10cm或70cm

8. 如图,将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB裁成弧长之比为$1:3$的两部分,用所得的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥底面圆的半径为 ()


A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.1或3
D.$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$

8. D

解：圆的周长为$2\pi×2 = 4\pi$。
弧长之比为$1:3$，则两部分弧长分别为：
短弧长：$\frac{1}{1 + 3}×4\pi=\pi$
长弧长：$\frac{3}{1 + 3}×4\pi = 3\pi$
设圆锥底面圆半径为$r$，则底面周长为$2\pi r$。
情况1：以短弧为侧面，$2\pi r=\pi\Rightarrow r = \frac{1}{2}$
情况2：以长弧为侧面，$2\pi r=3\pi\Rightarrow r=\frac{3}{2}$
答案：D

9. 已知一条弦将圆分为$1:4$的两部分,则这条弦所对的圆周角的度数为.

9. 36°或144°

10. 已知$\odot O$的直径$AB = 2$,弦$AC=\sqrt{2}$,则弦AC所对的圆周角的度数为.

10. 45°或135°

解：连接$BC$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$\angle ACB=90°$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=2$，$AC=\sqrt{2}$，
$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\angle BAC=45°$。
弦$AC$所对的圆周角有两种情况：
①当圆周角在优弧$ABC$上时，度数为$\angle BAC=45°$；
②当圆周角在劣弧$AC$上时，度数为$180°-45°=135°$。
综上，弦$AC$所对的圆周角的度数为$45°$或$135°$。

11. 如图,$\odot O$的直径为20,弦AB的长为10,求弦AB所对的圆周角的度数.

11. 如图，连接OA、OB.
∵⊙O的直径为20，
∴OA = OB = 10.
∵AB = 10，
∴OA = OB = AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB = 60°.①当弦AB所对的圆周角的顶点C在$\overset{\frown }{ACB}$上时，连接AC、BC，则∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°.②当弦AB所对的圆周角的顶点C'在$\overset{\frown }{AB}$上时，连接AC'、BC'，
∵四边形AC'BC内接于⊙O，
∴∠AC'B + ∠ACB = 180°，
∴∠AC'B = 180° - 30° = 150°.综上所述，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°

12. 已知$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$OD\perp BC$于点D,且$\angle BOD = 48^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为 ()

A.$48^{\circ}$
B.$132^{\circ}$
C.$48^{\circ}$或$132^{\circ}$
D.$24^{\circ}$或$156^{\circ}$

12. C

连接OC。
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴OD平分∠BOC，∠BOD=∠COD=48°，
∴∠BOC=2∠BOD=96°。
当点A在优弧BC上时，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=48°；
当点A在劣弧BC上时，∠BAC=180°-$\frac{1}{2}$∠BOC=132°。
∠BAC的度数为48°或132°。
C

13. 已知点O为$\triangle ABC$的外心.若$\angle BOC = 130^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为.

13. 65°或115°

∵点O为△ABC的外心，∠BOC=130°
当点A在优弧BC上时，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×130°=65°
当点A在劣弧BC上时，∠BAC=$\frac{1}{2}$(360°-∠BOC)=$\frac{1}{2}$×(360°-130°)=115°
∴∠BAC的度数为65°或115°

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 2$,$BC = 4$,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.设D是边BC上的动点,当$\triangle ACD$为直角三角形时,AD的长为.

14. $\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$　解析:如图，连接OA.
∵⊙O与AC相切于点A，
∴OA⊥AC.设⊙O的半径为r，则OA = r，OC = 4 - r.
∵AC = 2，
∴在Rt△AOC中，根据勾股定理，得r² + 4 = (4 - r)²，解得r = $\frac{3}{2}$.由题意，可知点D的位置分为两种情况:①当∠CAD = 90°时，点D与点O重合，
∴AD = AO = $\frac{3}{2}$.②当∠ADC = 90°时，过点A作AD⊥BC于点D.根据△OAC的面积的不同计算，得$\frac{1}{2}$AD·OC = $\frac{1}{2}$OA·AC.
∵OA = r = $\frac{3}{2}$，AC = 2，OC = 4 - r = $\frac{5}{2}$，
∴AD = $\frac{OA·AC}{OC}$ = $\frac{6}{5}$.综上所述，AD的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$.