1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的高，那么图中互余的角共有对，它们是。

1. 4；$∠A$ 和$∠B$，$∠ACD$ 和$∠BCD$，$∠A$ 和$∠ACD$，$∠B$ 和$∠BCD$.

【分析】
解题时首先要明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。接下来我们结合图形中的直角逐一排查：首先看大Rt△ABC，直角∠ACB对应的两个锐角和为90°，同时∠ACB本身被CD分成的两个角和也是90°；再看CD是斜边AB的高，得到两个小直角三角形△ACD和△BCD，每个小直角三角形的两个锐角和也为90°，逐一统计即可得到所有互余的角。
【解析】
根据互余的定义：和为90°的两个角互余，结合图形分析如下：
1. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据直角三角形两锐角和为$90°$，得$∠ A + ∠ B = 90°$，故$∠ A$与$∠ B$互余；
2. 由$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，得$∠ ACD$与$∠ BCD$互余；
3. 因为$CD$是斜边$AB$上的高，所以$∠ ADC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ A + ∠ ACD = 90°$，故$∠ A$与$∠ ACD$互余；
4. 同理，$∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ B + ∠ BCD = 90°$，故$∠ B$与$∠ BCD$互余。
综上，互余的角共有4对。
【答案】
4；$∠ A$ 和$∠ B$，$∠ ACD$ 和$∠ BCD$，$∠ A$ 和$∠ ACD$，$∠ B$ 和$∠ BCD$
【知识点】
互余的定义，直角三角形两锐角互余，直角的性质
【点评】
本题是基础的角度关系识别题，解题的关键是牢记互余的概念，结合图形中的所有直角拆分得到和为90°的角，统计时要注意不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.8

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B=40°$，则$∠ B=\_\_\_\_\_\_°$。

2. 25.

【分析】
解题先从已知条件入手，题目给出含直角的三角形，首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形的两个锐角互余，因此可得到∠A + ∠B = 90°；同时题目给出∠A与∠B的差为40°，此时我们得到了关于∠A和∠B的两个等量关系，联立两个关系通过简单代数运算就能求出∠B的度数，也可以直接用和差问题公式：较小数=(和-差)÷2快速计算。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又已知$∠ A - ∠ B = 40°$ ②
将①变形为$∠ A = 90° - ∠ B$，代入②式：
$90° - ∠ B - ∠ B = 40°$
整理得$2∠ B = 50°$
解得$∠ B = 25°$
【答案】
25
【知识点】
直角三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是对直角三角形基础性质的直接考察，属于几何基础计算类常规题型，只要熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质，结合已知角度差的关系，通过简单代数运算就能得出结果。
【难度系数】
0.9

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，$E$是边$AC$的中点。如果$DE = 2\ \mathrm{cm}$，$∠ BCD = 20°$，那么$AC =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$∠ ADE =\_\_\_\_\_\_°$。

3. 4；20.

【分析】
解题思路分为两步：①求AC长度：已知CD⊥AB可得△ADC是直角三角形，E是AC中点，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得DE是Rt△ADC斜边AC的中线，因此AC=2DE，代入数值即可求出AC；②求∠ADE：先利用同角的余角相等推导∠A和∠BCD相等，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半得AE=DE，根据等腰三角形两底角相等即可求出∠ADE的度数。
【解析】
1. 计算AC的长度：
∵ CD⊥AB，垂足为D，
∴ ∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形。
∵ E是AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $DE=\frac{1}{2}AC$。
已知$DE=2\ \mathrm{cm}$，代入得$AC=2DE=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
2. 计算∠ADE的度数：
∵ ∠ACB=90°，
∴ $∠A+∠B=90°$。
∵ CD⊥AB，
∴ $∠BCD+∠B=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠A=∠BCD=20°$。
又
∵ 在Rt△ADC中，E是AC中点，
∴ $AE=DE$，即△AED为等腰三角形，
∴ $∠ADE=∠A=20°$。
【答案】
4；20
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，同角的余角相等，等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查直角三角形和等腰三角形的核心性质，解题的关键是快速识别出直角三角形斜边中线的模型，再结合余角的性质推导角度关系，需要熟练掌握相关性质的应用场景。
【难度系数】
0.7

4. 如图，已知：在$△ ABC$中，$∠ B = \frac{1}{2}∠ A$，点D、E在边AB上，$∠ DCB = 90°$，$DE=EB$，连接CE. 求证：$AC=\frac{1}{2}BD$.

4. 提示：先证明$CE=BE=\frac{1}{2}BD$，推出$∠B=∠ECB$，从而$∠CEA=2∠B=∠A$，得$AC=CE$. 所以$AC=\frac{1}{2}BD$.

【分析】
拿到这道题我们可以从结论和已知条件双向推导：首先看要证$AC=\frac{1}{2}BD$，先找和$\frac{1}{2}BD$相等的线段，已知$∠ DCB=90°$，$DE=EB$，即E是直角三角形DCB斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得$CE=\frac{1}{2}BD$，此时只需证明$AC=CE$即可。证明两条边相等可通过证其所对的角相等，结合题目给出的$∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，再利用三角形外角的性质推出$∠ CEA=∠ A$，即可得到$AC=CE$，最后等量代换就能得出结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ DCB=90°$，$\therefore △ DCB$是直角三角形，
又$\because DE=EB$，即E是$Rt△ DCB$斜边BD的中点，
$\therefore CE=BE=DE=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
$\because CE=BE$，$\therefore ∠ B=∠ ECB$（等边对等角）。
$\because ∠ CEA$是$△ CEB$的外角，
$\therefore ∠ CEA=∠ B+∠ ECB=2∠ B$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
又$\because ∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，即$∠ A=2∠ B$，
$\therefore ∠ CEA=∠ A$，
$\therefore AC=CE$（等角对等边）。
$\because CE=\frac{1}{2}BD$，$\therefore AC=\frac{1}{2}BD$，得证。
【答案】
$AC=\frac{1}{2}BD$，证明成立。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 三角形外角性质
3. 等腰三角形的判定与性质
【点评】
这道题是几何基础综合题，解题的关键是抓住直角三角形斜边中点的特征，通过斜边中线性质搭建边的等量关系，再结合角的倍数关系和外角性质推导等角，进而得到等边，能有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7