练习3已知点A的坐标为$(a+1,3-a)$.下列说法正确的是 （）

A.若点A在y轴上,则$a=3$
B.若点A在第一、三象限角平分线上,则$a=1$
C.若点A到x轴的距离是3,则$a=\pm 6$
D.若点A在第四象限,则a的值可以为−2

B

逐个验证选项：
1. 验证A：点在y轴上时横坐标为0，即$a+1=0$，解得$a=-1$，A错误。
2. 验证B：第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，即$a+1=3-a$，移项得$2a=2$，解得$a=1$，B正确。
3. 验证C：点A到x轴的距离为3，即纵坐标的绝对值为3，$|3-a|=3$，解得$a=0$或$a=6$，C错误。
4. 验证D：点A在第四象限需满足$\begin{cases}a+1＞0 \\ 3-a＜0\end{cases}$，解得$a＞3$，$a=-2$不满足该条件，D错误。

练习4已知点$P(a+5,a-1)$在第四象限.
(1)求$a$的取值范围.
(2)若点$P$到$x$轴的距离为2,求点$P$的坐标.

解：(1) ∵点$P(a+5,a-1)$在第四象限，
∴$\begin{cases}a+5＞0 \\ a-1＜0\end{cases}$
解不等式$a+5＞0$，得$a＞-5$，
解不等式$a-1＜0$，得$a＜1$，
∴$a$的取值范围是$-5＜a＜1$。
(2) ∵点$P$到$x$轴的距离为2，
∴$|a-1|=2$，
解得$a=3$或$a=-1$，
又∵由(1)知$-5＜a＜1$，
∴$a=-1$，
则$a+5=-1+5=4$，$a-1=-1-1=-2$，
∴点$P$的坐标为$(4,-2)$。

三、坐标平面内图形的轴对称与平移
【例3】如图，$△ ABC$的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点).
(1)请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，
①写出$C$的对应点$C_{1}$的坐标.
②已知点$P$是线段$AA_{1}$上任意一点，用恰当的方式表示点$P$的坐标.
(2)若$△ ABC$平移后得$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，$A$的对应点$A_{2}$的坐标为$(-1,-1)$，画出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，写出点$B$的对应点$B_{2}$的坐标.
(3)求出$△ BB_{1}B_{2}$的面积.

解：
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接三点，得到$△ A_1B_1C_1$。
① 由图得点C的坐标为$(3,2)$，关于y轴对称的点$C_1$的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$。
② 点A的坐标为$(2,4)$，其关于y轴对称的点$A_1$坐标为$(-2,4)$，线段$AA_1$上所有点的纵坐标均为4，横坐标取值范围是$-2≤ x≤ 2$，因此点P的坐标可表示为$\boldsymbol{(x,4)（-2≤ x≤ 2）}$。
(2) 已知$A(2,4)$平移后得到$A_2(-1,-1)$，可得平移规则为：横坐标减3，纵坐标减5，即图形向左平移3个单位，向下平移5个单位。按此规则作出点$A_2$、$B_2$、$C_2$，顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
点B的坐标为$(1,1)$，代入平移规则得$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$。
(3) 由上述过程可知：$B(1,1)$，$B_1(-1,1)$，$B_2(-2,-4)$。
线段$BB_1$的长度为$1-(-1)=2$，且$BB_1$平行于x轴，点$B_2$到直线$BB_1$（即直线$y=1$）的距离为$1-(-4)=5$。
因此$S_{△ BB_1B_2}=\frac{1}{2}× 2× 5=5$。

练习5在平面直角坐标系中，已知点$A(2,1),B(3,-1)$，平移线段$AB$，使点$A$落在点$A_1(-2,2)$处，则点$B$的对应点$B_1$的坐标为（）

A.$(-1,-1)$
B.$(1,0)$
C.$(-1,0)$
D.$(3,0)$

C

先确定平移规则：点A(2,1)平移到A₁(-2,2)，横坐标变化为-2-2=-4，即向左平移4个单位；纵坐标变化为2-1=1，即向上平移1个单位。将点B(3,-1)按该规则平移，横坐标为3-4=-1，纵坐标为-1+1=0，可得点B₁的坐标为(-1,0)。