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3. 求下列各数的算术平方根：
(1) $\frac{4}{81}$；
(2) $10^4$；
(3) $(-2)^2$。
(1) $\frac{4}{81}$；
(2) $10^4$；
(3) $(-2)^2$。
答案
解：
(1) ∵ $(\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}$，
∴ $\frac{4}{81}$的算术平方根是$\frac{2}{9}$，即$\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{2}{9}$。
(2) ∵ $(10^2)^2 = 10^4$，即$100^2=10^4$，
∴ $10^4$的算术平方根是$10^2$，即$\sqrt{10^4}=100$。
(3) ∵ $(-2)^2=4$，$2^2=4$，
∴ $(-2)^2$的算术平方根是2，即$\sqrt{(-2)^2}=2$。
(1) ∵ $(\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}$，
∴ $\frac{4}{81}$的算术平方根是$\frac{2}{9}$，即$\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{2}{9}$。
(2) ∵ $(10^2)^2 = 10^4$，即$100^2=10^4$，
∴ $10^4$的算术平方根是$10^2$，即$\sqrt{10^4}=100$。
(3) ∵ $(-2)^2=4$，$2^2=4$，
∴ $(-2)^2$的算术平方根是2，即$\sqrt{(-2)^2}=2$。
解析
【分析】
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。解题步骤如下：1. 对于分数形式的数，分别找分子、分母对应的正平方根再作商；2. 对于幂形式的数，利用幂的乘方规律反推符合条件的正数；3. 对于带运算的数，先计算出原数的结果，再求其算术平方根，注意不要误取负数作为结果。
【解析】
(1)
∵ $(\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}$，
∴ $\frac{4}{81}$的算术平方根是$\frac{2}{9}$，即$\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{2}{9}$。
(2)
∵ $(10^2)^2 = 10^4$，即$100^2=10^4$，
∴ $10^4$的算术平方根是$10^2$，即$\sqrt{10^4}=100$。
(3)
∵ $(-2)^2=4$，$2^2=4$，
∴ $(-2)^2$的算术平方根是2，即$\sqrt{(-2)^2}=2$。
【答案】
(1)$\frac{2}{9}$；(2)$100$；(3)$2$
【知识点】
算术平方根、乘方运算、幂的运算
【点评】
本题是算术平方根的基础计算题，重点考察对算术平方根非负性的理解，遇到含有运算的数求算术平方根时，先化简原数再计算，可有效避免符号错误。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。解题步骤如下：1. 对于分数形式的数，分别找分子、分母对应的正平方根再作商；2. 对于幂形式的数，利用幂的乘方规律反推符合条件的正数；3. 对于带运算的数，先计算出原数的结果，再求其算术平方根，注意不要误取负数作为结果。
【解析】
(1)
∵ $(\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}$，
∴ $\frac{4}{81}$的算术平方根是$\frac{2}{9}$，即$\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{2}{9}$。
(2)
∵ $(10^2)^2 = 10^4$，即$100^2=10^4$，
∴ $10^4$的算术平方根是$10^2$，即$\sqrt{10^4}=100$。
(3)
∵ $(-2)^2=4$，$2^2=4$，
∴ $(-2)^2$的算术平方根是2，即$\sqrt{(-2)^2}=2$。
【答案】
(1)$\frac{2}{9}$；(2)$100$；(3)$2$
【知识点】
算术平方根、乘方运算、幂的运算
【点评】
本题是算术平方根的基础计算题，重点考察对算术平方根非负性的理解，遇到含有运算的数求算术平方根时，先化简原数再计算，可有效避免符号错误。
【难度系数】
0.9
4. 已知正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$.
(1)当$b=8$时,求$m$;
(2)若$m^2+(m+b)^2=8$,求$m$与$b$的值.
(1)当$b=8$时,求$m$;
(2)若$m^2+(m+b)^2=8$,求$m$与$b$的值.
答案
解：
(1) ∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m$与$m+b$互为相反数，即 $m + (m + b) = 0$。
当$b=8$时，代入得：
$2m + 8 = 0$，
解得 $m=-4$。
(2) ∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m^2 = x$，$(m+b)^2 = x$。
∵ $m^2 + (m+b)^2 = 8$，
∴ $x + x = 8$，即 $2x=8$，
解得 $x=4$。
∴ $m^2=4$，且 $m + (m+b)=0$，即 $m+b=-m$。
代入得 $m^2 + (-m)^2 = 8$，即 $2m^2=8$，$m^2=4$。
∵ 正实数的两个平方根一正一负，且$m+b ＞ m$，
∴ $m＜0$，$m+b＞0$，
∴ $m=-2$。
将$m=-2$代入$m+b=-m$，得 $-2 + b = 2$，
解得 $b=4$。
综上，(1) $m=-4$；(2) $m=-2$，$b=4$。
(1) ∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m$与$m+b$互为相反数，即 $m + (m + b) = 0$。
当$b=8$时，代入得：
$2m + 8 = 0$，
解得 $m=-4$。
(2) ∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m^2 = x$，$(m+b)^2 = x$。
∵ $m^2 + (m+b)^2 = 8$，
∴ $x + x = 8$，即 $2x=8$，
解得 $x=4$。
∴ $m^2=4$，且 $m + (m+b)=0$，即 $m+b=-m$。
代入得 $m^2 + (-m)^2 = 8$，即 $2m^2=8$，$m^2=4$。
∵ 正实数的两个平方根一正一负，且$m+b ＞ m$，
∴ $m＜0$，$m+b＞0$，
∴ $m=-2$。
将$m=-2$代入$m+b=-m$，得 $-2 + b = 2$，
解得 $b=4$。
综上，(1) $m=-4$；(2) $m=-2$，$b=4$。
解析
【分析】
解题的核心依据是正实数的平方根的性质：正实数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正实数。对于第(1)问，先根据互为相反数的两个数和为0列出关于m和b的方程，再代入b=8即可求解m；对于第(2)问，先利用“两个平方根的平方都等于原数x”，将已知等式转化为关于x的方程求出x，再结合平方根互为相反数、正负平方根的符号特征求出m，最后代入求b即可。
【解析】
(1)
∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m$与$m+b$互为相反数，即 $m + (m + b) = 0$。
当$b=8$时，代入得：
$2m + 8 = 0$，
解得 $m=-4$。
(2)
∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m^2 = x$，$(m+b)^2 = x$。
∵ $m^2 + (m+b)^2 = 8$，
∴ $x + x = 8$，即 $2x=8$，
解得 $x=4$。
∴ $m^2=4$，又
∵正实数的两个平方根一正一负，且$m+b ＞ m$，
∴ $m＜0$，$m+b＞0$，
∴ $m=-2$。
将$m=-2$代入$m + (m+b)=0$，得 $-2 + (-2 + b) = 0$，
解得 $b=4$。
【答案】
(1) $m=-4$；(2) $m=-2$，$b=4$
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 相反数的性质
【点评】
本题围绕平方根的核心性质命题，解题的关键是熟练掌握正实数的两个平方根互为相反数、平方根的平方等于原数这两个核心结论，解题时注意结合平方根的正负性确定m的符号即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是正实数的平方根的性质：正实数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正实数。对于第(1)问，先根据互为相反数的两个数和为0列出关于m和b的方程，再代入b=8即可求解m；对于第(2)问，先利用“两个平方根的平方都等于原数x”，将已知等式转化为关于x的方程求出x，再结合平方根互为相反数、正负平方根的符号特征求出m，最后代入求b即可。
【解析】
(1)
∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m$与$m+b$互为相反数，即 $m + (m + b) = 0$。
当$b=8$时，代入得：
$2m + 8 = 0$，
解得 $m=-4$。
(2)
∵ 正实数$x$的平方根是$m$和$m+b$，
∴ $m^2 = x$，$(m+b)^2 = x$。
∵ $m^2 + (m+b)^2 = 8$，
∴ $x + x = 8$，即 $2x=8$，
解得 $x=4$。
∴ $m^2=4$，又
∵正实数的两个平方根一正一负，且$m+b ＞ m$，
∴ $m＜0$，$m+b＞0$，
∴ $m=-2$。
将$m=-2$代入$m + (m+b)=0$，得 $-2 + (-2 + b) = 0$，
解得 $b=4$。
【答案】
(1) $m=-4$；(2) $m=-2$，$b=4$
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 相反数的性质
【点评】
本题围绕平方根的核心性质命题，解题的关键是熟练掌握正实数的两个平方根互为相反数、平方根的平方等于原数这两个核心结论，解题时注意结合平方根的正负性确定m的符号即可避免出错。
【难度系数】
0.8
5*. 为庆祝建校30周年,某校开展了30周年手抄报展览活动. 为制作出精美的校庆主题展览作品,要求:用一张面积为400 cm²的正方形卡纸(如图),沿着边的方向裁出一张面积为300 cm²的长方形,用于制作展览作品的背景.
(1)正方形卡纸的边长是cm.
(2)嘉琪设计了一种方案:使长方形的长宽之比为5:3,嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗? 若能,请你帮助嘉琪设计裁剪方案;若不能,请说明理由.
(3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案:长方形的长是cm,宽是cm.
(1)正方形卡纸的边长是cm.
(2)嘉琪设计了一种方案:使长方形的长宽之比为5:3,嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗? 若能,请你帮助嘉琪设计裁剪方案;若不能,请说明理由.
(3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案:长方形的长是cm,宽是cm.
答案
解：
(1) 正方形卡纸的边长为$\sqrt{400}=20$，故填$\boldsymbol{20}$。
(2) 设长方形的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$，根据题意得：
$5x · 3x = 300$
整理得$15x^2=300$，即$x^2=20$。
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{20}$，
则长方形的长为$5\sqrt{20}=10\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
因为$10\sqrt{5}＞20$，即长方形的长大于正方形卡纸的边长，
所以嘉琪不能用这张卡纸裁出符合要求的长方形。
(3) 取长方形的长为$20\ \mathrm{cm}$，则宽为$300÷20=15\ \mathrm{cm}$，满足裁剪要求，故依次填$\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{15}$。
(1) 正方形卡纸的边长为$\sqrt{400}=20$，故填$\boldsymbol{20}$。
(2) 设长方形的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$，根据题意得：
$5x · 3x = 300$
整理得$15x^2=300$，即$x^2=20$。
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{20}$，
则长方形的长为$5\sqrt{20}=10\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
因为$10\sqrt{5}＞20$，即长方形的长大于正方形卡纸的边长，
所以嘉琪不能用这张卡纸裁出符合要求的长方形。
(3) 取长方形的长为$20\ \mathrm{cm}$，则宽为$300÷20=15\ \mathrm{cm}$，满足裁剪要求，故依次填$\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{15}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知正方形面积求边长，根据正方形面积公式$S=a^2$，边长就是面积的算术平方根，直接计算400的算术平方根即可。
2. 第(2)问：已知长方形长宽比和面积，可按比例设未知数，把长设为$5x\ \mathrm{cm}$，宽设为$3x\ \mathrm{cm}$，利用长方形面积公式列方程求出$x$的值，进而得到长方形的长，再和正方形的边长20cm比较，若长大于20cm则无法裁出，反之可以。
3. 第(3)问：属于开放性问题，只要保证长方形的长不超过正方形边长20cm，且长与宽的乘积为$300\ \mathrm{cm^2}$即可，最简单的方案是取长等于正方形边长20cm，再计算对应宽。
【解析】
(1) 正方形面积等于边长的平方，因此边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 设长方形的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），根据长方形面积公式列方程：
$5x· 3x=300$
整理得$15x^2=300$，即$x^2=20$。
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{20}$，则长方形的长为$5\sqrt{20}=10\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
由于$(10\sqrt{5})^2=500$，$20^2=400$，$500＞400$，因此$10\sqrt{5}＞20$，即长方形的长大于正方形卡纸的边长，所以嘉琪不能裁出符合要求的长方形。
(3) 若取长方形的长等于正方形的边长$20\ \mathrm{cm}$，则宽为$300÷20=15\ \mathrm{cm}$，此时长不超过正方形边长，满足裁剪要求。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$
(2) 不能，理由见解析
(3) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{15}$（答案不唯一）
【知识点】
算术平方根计算，图形面积计算，无理数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查平方根的实际应用，解题时需要结合实际约束条件（裁剪出的长方形边长不能超过原正方形的边长）进行判断，第三问为开放性问题，只要满足面积和边长约束即可，整体较为基础。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：已知正方形面积求边长，根据正方形面积公式$S=a^2$，边长就是面积的算术平方根，直接计算400的算术平方根即可。
2. 第(2)问：已知长方形长宽比和面积，可按比例设未知数，把长设为$5x\ \mathrm{cm}$，宽设为$3x\ \mathrm{cm}$，利用长方形面积公式列方程求出$x$的值，进而得到长方形的长，再和正方形的边长20cm比较，若长大于20cm则无法裁出，反之可以。
3. 第(3)问：属于开放性问题，只要保证长方形的长不超过正方形边长20cm，且长与宽的乘积为$300\ \mathrm{cm^2}$即可，最简单的方案是取长等于正方形边长20cm，再计算对应宽。
【解析】
(1) 正方形面积等于边长的平方，因此边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 设长方形的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），根据长方形面积公式列方程：
$5x· 3x=300$
整理得$15x^2=300$，即$x^2=20$。
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{20}$，则长方形的长为$5\sqrt{20}=10\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
由于$(10\sqrt{5})^2=500$，$20^2=400$，$500＞400$，因此$10\sqrt{5}＞20$，即长方形的长大于正方形卡纸的边长，所以嘉琪不能裁出符合要求的长方形。
(3) 若取长方形的长等于正方形的边长$20\ \mathrm{cm}$，则宽为$300÷20=15\ \mathrm{cm}$，此时长不超过正方形边长，满足裁剪要求。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$
(2) 不能，理由见解析
(3) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{15}$（答案不唯一）
【知识点】
算术平方根计算，图形面积计算，无理数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查平方根的实际应用，解题时需要结合实际约束条件（裁剪出的长方形边长不能超过原正方形的边长）进行判断，第三问为开放性问题，只要满足面积和边长约束即可，整体较为基础。
【难度系数】
0.7
