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例2 已知$x^2+y^2-2x+4y+5=0$，求$x+y$的值.
解:原方程可化为$x^2-2x+1+y^2+4y+4=0$，即$(x-1)^2+(y+2)^2=0$.
$\because (x-1)^2≥0,(y+2)^2≥0,\therefore x=1,y=-2.\therefore x+y=-1$.
③用配方法确定范围.
例3 $M=x^2-2x-1$，利用配方法求$M$的最小值.
解:$M=x^2-2x-1=x^2-2x+1-2=(x-1)^2-2$.
$\because (x-1)^2≥0,\therefore$当$x=1$时，$M$有最小值$-2$.
【解决问题】
(1)用配方法分解因式$a^2-2a-3$.
(2)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且满足$a^2+b^2-8a-10b+41=0$，求边$c$的取值范围.
(3)已知$P=2m^2+4n+13,Q=m^2-n^2+6m-1$，试比较$P,Q$的大小.
解:原方程可化为$x^2-2x+1+y^2+4y+4=0$，即$(x-1)^2+(y+2)^2=0$.
$\because (x-1)^2≥0,(y+2)^2≥0,\therefore x=1,y=-2.\therefore x+y=-1$.
③用配方法确定范围.
例3 $M=x^2-2x-1$，利用配方法求$M$的最小值.
解:$M=x^2-2x-1=x^2-2x+1-2=(x-1)^2-2$.
$\because (x-1)^2≥0,\therefore$当$x=1$时，$M$有最小值$-2$.
【解决问题】
(1)用配方法分解因式$a^2-2a-3$.
(2)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且满足$a^2+b^2-8a-10b+41=0$，求边$c$的取值范围.
(3)已知$P=2m^2+4n+13,Q=m^2-n^2+6m-1$，试比较$P,Q$的大小.
答案
24.(1)$a^2-2a-3$
$=a^2-2a+1-1-3$
$=(a-1)^2-4$
$=(a-1+2)(a-1-2)$
$=(a+1)(a-3)$.
(2)$\because a^2+b^2-8a-10b+41=(a^2-8a+16)+(b^2-10b+25)=(a-4)^2+(b-5)^2=0$,
$\therefore a-4=0,b-5=0$.
$\therefore a=4,b=5$.
$\therefore5-4＜c＜4+5$.
$\therefore$边 $c$ 的取值范围为 $1＜c＜9$.
(3)$P-Q=2m^2+4n+13-(m^2-n^2+6m-1)$
$=2m^2+4n+13-m^2+n^2-6m+1$
$=m^2-6m+9+n^2+4n+4+1$
$=(m-3)^2+(n+2)^2+1＞0$,
$\therefore P＞Q$.
$=a^2-2a+1-1-3$
$=(a-1)^2-4$
$=(a-1+2)(a-1-2)$
$=(a+1)(a-3)$.
(2)$\because a^2+b^2-8a-10b+41=(a^2-8a+16)+(b^2-10b+25)=(a-4)^2+(b-5)^2=0$,
$\therefore a-4=0,b-5=0$.
$\therefore a=4,b=5$.
$\therefore5-4＜c＜4+5$.
$\therefore$边 $c$ 的取值范围为 $1＜c＜9$.
(3)$P-Q=2m^2+4n+13-(m^2-n^2+6m-1)$
$=2m^2+4n+13-m^2+n^2-6m+1$
$=m^2-6m+9+n^2+4n+4+1$
$=(m-3)^2+(n+2)^2+1＞0$,
$\therefore P＞Q$.
解析
【分析】
(1) 分解因式$a^2-2a-3$时，先对二次项和一次项凑完全平方：给$a^2-2a$加1凑成$(a-1)^2$，同时减1保证原式值不变，将原式转化为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 先对等式左侧的式子分组配方，得到两个完全平方的和，根据偶次幂的非负性，两个非负数相加和为0则各自为0，求出$a$、$b$的取值，再根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”即可求出$c$的取值范围。
(3) 比较两个代数式大小常用作差法，计算$P-Q$后将所得式子配方，转化为几个非负数加正数的形式，判断差的正负：差为正则$P＞Q$，差为负则$P＜Q$，差为0则$P=Q$。
【解析】
(1) 对$a^2-2a-3$配方变形：
$\begin{aligned}a^2-2a-3&=a^2-2a+1-1-3\\&=(a-1)^2-4\\&=(a-1+2)(a-1-2)\\&=(a+1)(a-3)\end{aligned}$
(2) 对已知等式左边配方：
$\begin{aligned}a^2+b^2-8a-10b+41&=0\\(a^2-8a+16)+(b^2-10b+25)&=0\\(a-4)^2+(b-5)^2&=0\end{aligned}$
$\because (a-4)^2≥0,(b-5)^2≥0$，两个非负数和为0则每一项均为0
$\therefore a-4=0,b-5=0$，解得$a=4,b=5$
根据三角形三边关系可得：
$5-4＜c＜5+4$，即$1＜c＜9$
(3) 作差计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=2m^2+4n+13-(m^2-n^2+6m-1)\\&=2m^2+4n+13-m^2+n^2-6m+1\\&=m^2-6m+9+n^2+4n+4+1\\&=(m-3)^2+(n+2)^2+1\end{aligned}$
$\because (m-3)^2≥0,(n+2)^2≥0$
$\therefore (m-3)^2+(n+2)^2+1≥1＞0$，即$P-Q＞0$
$\therefore P＞Q$
【答案】
(1) $\boxed{(a+1)(a-3)}$
(2) $\boxed{1＜c＜9}$
(3) $\boxed{P＞Q}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题围绕配方法的应用展开，综合考查了因式分解、作差法比较代数式大小等知识，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对代数式进行配方变形。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式$a^2-2a-3$时，先对二次项和一次项凑完全平方：给$a^2-2a$加1凑成$(a-1)^2$，同时减1保证原式值不变，将原式转化为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 先对等式左侧的式子分组配方，得到两个完全平方的和，根据偶次幂的非负性，两个非负数相加和为0则各自为0，求出$a$、$b$的取值，再根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”即可求出$c$的取值范围。
(3) 比较两个代数式大小常用作差法，计算$P-Q$后将所得式子配方，转化为几个非负数加正数的形式，判断差的正负：差为正则$P＞Q$，差为负则$P＜Q$，差为0则$P=Q$。
【解析】
(1) 对$a^2-2a-3$配方变形：
$\begin{aligned}a^2-2a-3&=a^2-2a+1-1-3\\&=(a-1)^2-4\\&=(a-1+2)(a-1-2)\\&=(a+1)(a-3)\end{aligned}$
(2) 对已知等式左边配方：
$\begin{aligned}a^2+b^2-8a-10b+41&=0\\(a^2-8a+16)+(b^2-10b+25)&=0\\(a-4)^2+(b-5)^2&=0\end{aligned}$
$\because (a-4)^2≥0,(b-5)^2≥0$，两个非负数和为0则每一项均为0
$\therefore a-4=0,b-5=0$，解得$a=4,b=5$
根据三角形三边关系可得：
$5-4＜c＜5+4$，即$1＜c＜9$
(3) 作差计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=2m^2+4n+13-(m^2-n^2+6m-1)\\&=2m^2+4n+13-m^2+n^2-6m+1\\&=m^2-6m+9+n^2+4n+4+1\\&=(m-3)^2+(n+2)^2+1\end{aligned}$
$\because (m-3)^2≥0,(n+2)^2≥0$
$\therefore (m-3)^2+(n+2)^2+1≥1＞0$，即$P-Q＞0$
$\therefore P＞Q$
【答案】
(1) $\boxed{(a+1)(a-3)}$
(2) $\boxed{1＜c＜9}$
(3) $\boxed{P＞Q}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题围绕配方法的应用展开，综合考查了因式分解、作差法比较代数式大小等知识，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对代数式进行配方变形。
【难度系数】
0.7
