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1.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=40°$,以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧交于点F,作射线BF交边AC于点M,则$∠ BMC$的度数为(
A.$65°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
A
).A.$65°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
A
解析
【分析】
首先观察尺规作图的步骤，可判断所作射线BM是∠ABC的角平分线。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABC的度数；第二步，根据角平分线的定义求出∠MBC的度数；第三步，在Rt△MBC中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠BMC的度数。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ABC = 90° - ∠ A = 90° - 40° = 50°$
由题中的尺规作图步骤可知，BM是∠ABC的角平分线，因此：
$∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
在Rt△MBC中，∠C=90°，同理可得：
$∠ BMC = 90° - ∠ MBC = 90° - 25° = 65°$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线的尺规作图识别和角度的基本计算，解题的关键是准确判断出BM为∠ABC的角平分线，再结合直角三角形的角度性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察尺规作图的步骤，可判断所作射线BM是∠ABC的角平分线。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABC的度数；第二步，根据角平分线的定义求出∠MBC的度数；第三步，在Rt△MBC中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠BMC的度数。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ABC = 90° - ∠ A = 90° - 40° = 50°$
由题中的尺规作图步骤可知，BM是∠ABC的角平分线，因此：
$∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
在Rt△MBC中，∠C=90°，同理可得：
$∠ BMC = 90° - ∠ MBC = 90° - 25° = 65°$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线的尺规作图识别和角度的基本计算，解题的关键是准确判断出BM为∠ABC的角平分线，再结合直角三角形的角度性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.8
2.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是(
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
C
).A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目的核心要求：集贸市场要到三条公路（即三角形ABC的三条边）的距离相等，接下来我们可以通过回忆三角形不同线段交点的性质逐一匹配选项。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推断三角形三个内角的角平分线交点，到三条边的距离都相等；再逐一排除其他不符合要求的选项，最终就能锁定正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项对应交点的性质：
1. 选项A：三条高线的交点是垂心，没有到三角形三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，和到三边距离相等无关，不符合要求；
3. 选项C：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线交点，到三角形三条边的距离都相等，符合题意；
4. 选项D：三边垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不符合到三边距离相等的要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形特殊点性质
【点评】
本题是基础概念考察题，核心考点是区分三角形不同特殊线段交点的性质，解题关键是要分清“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”分别对应的位置，牢记相关性质就能快速得分。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的核心要求：集贸市场要到三条公路（即三角形ABC的三条边）的距离相等，接下来我们可以通过回忆三角形不同线段交点的性质逐一匹配选项。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推断三角形三个内角的角平分线交点，到三条边的距离都相等；再逐一排除其他不符合要求的选项，最终就能锁定正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项对应交点的性质：
1. 选项A：三条高线的交点是垂心，没有到三角形三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，和到三边距离相等无关，不符合要求；
3. 选项C：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线交点，到三角形三条边的距离都相等，符合题意；
4. 选项D：三边垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不符合到三边距离相等的要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形特殊点性质
【点评】
本题是基础概念考察题，核心考点是区分三角形不同特殊线段交点的性质，解题关键是要分清“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”分别对应的位置，牢记相关性质就能快速得分。
【难度系数】
0.8
3.如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
A
）。A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
答案
A
解析
【分析】
本题可依据角平分线的判定定理解题，我们知道：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只要判断四个点中哪个点位于∠AOB的角平分线上即可。解题时先观察∠AOB两边在网格中的走向，再逐一对比四个点的位置，判断其到OA、OB两边的距离是否相等，即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
观察网格中∠AOB的形态：OA是从O向右上方延伸的射线，OB是从O向右下方延伸的射线。
点P、Q位置靠近OA边，到OA的距离远小于到OB的距离，不符合要求；
点N位置靠近OB边，到OB的距离远小于到OA的距离，不符合要求；
点M位于∠AOB内部，到OA、OB两边的距离相等，在∠AOB的平分线上，符合要求。
因此到∠AOB两边距离相等的点是点M。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查角平分线判定定理的应用，无需精确计算距离，通过观察点与角两边的位置关系即可快速判断，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.7
本题可依据角平分线的判定定理解题，我们知道：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只要判断四个点中哪个点位于∠AOB的角平分线上即可。解题时先观察∠AOB两边在网格中的走向，再逐一对比四个点的位置，判断其到OA、OB两边的距离是否相等，即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
观察网格中∠AOB的形态：OA是从O向右上方延伸的射线，OB是从O向右下方延伸的射线。
点P、Q位置靠近OA边，到OA的距离远小于到OB的距离，不符合要求；
点N位置靠近OB边，到OB的距离远小于到OA的距离，不符合要求；
点M位于∠AOB内部，到OA、OB两边的距离相等，在∠AOB的平分线上，符合要求。
因此到∠AOB两边距离相等的点是点M。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查角平分线判定定理的应用，无需精确计算距离，通过观察点与角两边的位置关系即可快速判断，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.7
4.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=60°,则∠BOC=
$120°$
.答案
$120°$
解析
【分析】
解题首先从已知条件“点O到△ABC三边距离相等”入手，根据角平分线的判定定理，可得出BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线；接下来利用三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的度数和，再推导得到△BOC中两个底角的和，最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，已知$∠ A=60°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC+∠ OBC+∠ OCB=180°$，
∴$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考点是角平分线的判定和三角形内角和的综合运用，解题的关键是根据点到三边距离相等的特征判断出该点是三角形内角平分线的交点，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知条件“点O到△ABC三边距离相等”入手，根据角平分线的判定定理，可得出BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线；接下来利用三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的度数和，再推导得到△BOC中两个底角的和，最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，已知$∠ A=60°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC+∠ OBC+∠ OCB=180°$，
∴$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考点是角平分线的判定和三角形内角和的综合运用，解题的关键是根据点到三边距离相等的特征判断出该点是三角形内角平分线的交点，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点F，点F到边BC的距离为5 cm，则点F到边AC的距离为
5
cm.答案
5
解析
【分析】
解题时我们需要利用角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确已知条件：AD、BE都是△ABC的角平分线，二者交点为F，已知F到BC的距离为5cm。第一步，根据BE是角平分线，可得F到AB的距离和F到BC的距离相等；第二步，根据AD是角平分线，可得F到AB的距离和F到AC的距离相等；最后通过等量代换就能得出F到AC的距离等于F到BC的距离。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，点F在AD上，
∴点F到AB、AC两边的距离相等。
又
∵BE是△ABC的角平分线，点F在BE上，
∴点F到AB、BC两边的距离相等。
∴点F到AC的距离=点F到AB的距离=点F到BC的距离。
已知点F到BC的距离为5cm，因此点F到AC的距离为5cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题核心是掌握三角形角平分线的交点到三角形三边距离相等的特点，无需复杂计算，结合已知条件直接推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时我们需要利用角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确已知条件：AD、BE都是△ABC的角平分线，二者交点为F，已知F到BC的距离为5cm。第一步，根据BE是角平分线，可得F到AB的距离和F到BC的距离相等；第二步，根据AD是角平分线，可得F到AB的距离和F到AC的距离相等；最后通过等量代换就能得出F到AC的距离等于F到BC的距离。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，点F在AD上，
∴点F到AB、AC两边的距离相等。
又
∵BE是△ABC的角平分线，点F在BE上，
∴点F到AB、BC两边的距离相等。
∴点F到AC的距离=点F到AB的距离=点F到BC的距离。
已知点F到BC的距离为5cm，因此点F到AC的距离为5cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题核心是掌握三角形角平分线的交点到三角形三边距离相等的特点，无需复杂计算，结合已知条件直接推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
6.如图，已知$△ ABC$的周长是21，$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，$OD ⊥ BC$，垂足为$D$，且$OD=4$，则$△ ABC$的面积是
42
。答案
42
解析
【分析】
遇到角平分线的题目，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，且OD⊥BC，因此我们可以过点O分别作AB、AC边上的高，可知这两条高与OD长度相等，均为4。接下来将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，代入面积公式后，结合△ABC的周长即可快速算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD = 4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD = 4。
△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
分别代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=4代入，提取公因式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=21$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×21=42$
【答案】
42
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作辅助线将大三角形面积拆分为三个同高的小三角形面积之和，结合周长条件简化计算，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线的题目，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，且OD⊥BC，因此我们可以过点O分别作AB、AC边上的高，可知这两条高与OD长度相等，均为4。接下来将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，代入面积公式后，结合△ABC的周长即可快速算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD = 4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD = 4。
△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
分别代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=4代入，提取公因式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=21$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×21=42$
【答案】
42
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作辅助线将大三角形面积拆分为三个同高的小三角形面积之和，结合周长条件简化计算，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
