1. （2025·合肥模拟）如图，抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(4,0)$，与$y$轴交于点$C$，连结$BC$，若点$P$为线段$BC$上的动点（与$B,C$不重合），作射线$AP$交抛物线于点$Q$，连结$CQ,BQ$，在点$P$的运动过程中，$\dfrac{PQ}{AP}$的最大值为。

1. $\dfrac{4}{5}$

【分析】
解题思路分为三步：首先利用抛物线与x轴的交点A、B求出抛物线解析式，得到点C坐标，再求出直线BC的解析式；其次设动点Q的横坐标为t，求出直线AQ的解析式，联立BC解析式得到点P的横坐标；最后利用共线线段的长度比等于横坐标差的比，将$\frac{PQ}{AP}$转化为关于t的二次函数，求该二次函数的最大值即可。
【解析】
1. 求抛物线解析式与点C坐标
已知抛物线过$A(-1,0)$、$B(4,0)$，可写成交点式：
$y=-\frac{1}{2}(x+1)(x-4)$，展开得$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+2$
令$x=0$，得$y=2$，即$C(0,2)$。
2. 求直线BC的解析式
设直线BC解析式为$y=kx+m$，代入$B(4,0)$、$C(0,2)$：
$\begin{cases}m=2 \\ 4k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2} \\ m=2\end{cases}$
故BC解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
3. 求直线AQ解析式与点P坐标
设Q的横坐标为$t$（$0＜t＜4$），则Q的纵坐标为$y_Q=-\frac{1}{2}(t+1)(t-4)$
直线AQ的斜率$k_{AQ}=\frac{y_Q}{t+1}=\frac{4-t}{2}$，故AQ解析式为$y=\frac{4-t}{2}(x+1)$
联立AQ与BC的方程：
$\frac{4-t}{2}(x+1)=-\frac{1}{2}x+2$
两边乘2整理得：$(5-t)x=t$，解得$x_P=\frac{t}{5-t}$
4. 求$\frac{PQ}{AP}$的最大值
共线线段的长度比等于横坐标差的比：
$\frac{PQ}{AP}=\frac{x_Q-x_P}{x_P-x_A}$
代入$x_Q=t$、$x_P=\frac{t}{5-t}$、$x_A=-1$：
$x_Q-x_P=t-\frac{t}{5-t}=\frac{4t-t^2}{5-t}$，$x_P-x_A=\frac{t}{5-t}+1=\frac{5}{5-t}$
故$\frac{PQ}{AP}=\frac{4t-t^2}{5}=-\frac{1}{5}(t-2)^2+\frac{4}{5}$
$\because -\frac{1}{5}＜0$，$\therefore$当$t=2$时，$\frac{PQ}{AP}$取最大值$\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
二次函数最值，一次函数解析式，二次函数几何综合
【点评】
本题核心是将线段比值问题转化为二次函数最值问题，通过坐标法实现几何关系到代数函数的转化，体现了转化思想和函数思想的应用，解题关键是利用共线线段比与坐标差的关系建立函数表达式。
【难度系数】
0.6

2. 如图①,点A为抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上第一象限内的动点,点M在y轴上.
(1)若点A的横坐标为4,求点A的坐标;
(2)如图②,若$B(-2,1)$,连结AB交y轴于点M,过点B作$BN⊥x$轴于点N,当BO平分$∠NBA$时,求$\frac{BM}{AM}$的值.

2. (1)依题意,当$x=4$时,$y=\frac{1}{4}×4^2=4$,
∴ 点A的坐标为$(4,4)$.
(2)过点 O 作 $OC ⊥ AB$ 于点 C,如图,
∵ $BN⊥x$ 轴,$OC ⊥ AB$,$BO$ 平分 $∠NBA$,
$B(-2,1)$,$\therefore CO=NO=2$,$BC=BN=1$,
设 $M(0,m)$, 则 $OM = m$, $\therefore CM = \sqrt{OM^2-CO^2} = \sqrt{m^2-4}$, $BM = \sqrt{(m-1)^2+4}$. 又 $\because CM + CB = BM$,
$\therefore \sqrt{m^2-4}+1 = \sqrt{(m-1)^2+4}$, 解得 $m=\frac{5}{2}$. 设直线 AB 的表达式为
$y=kx+b$, 再将 $B(-2,1)$,$M(0,\frac{5}{2})$ 代入得 $\begin{cases}1=-2k+b,\\\frac{5}{2}=b,\end{cases}$ 解得
$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{5}{2},\end{cases}$ $\therefore$ 直线 AB 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$.$\because$ 点 A 为直线 AB 与抛
物线的交点,$\therefore$ 联立方程组得 $\begin{cases}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2},\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$ 解得 $x_1=-2$,$x_2=5$,过
点 A,B 分别作 y 轴垂线交 y 轴于点 K,P,$\because ∠AKM=∠BPM=90°$,
$∠AMK=∠BMP$,$\therefore △ AKM ∽ △ BPM$,$\therefore \frac{BM}{AM}=\frac{BP}{AK}=\frac{2}{5}$.

【分析】
(1) 已知点A在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上，且横坐标为4，直接将x=4代入抛物线解析式计算对应的y值，即可得到点A的坐标。
(2) 遇到角平分线条件，优先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此过O作$OC⊥AB$于点C，可得$CO=NO$、$BC=BN$两组相等线段。接下来设点M坐标为$(0,m)$，根据线段和的关系$CM+CB=BM$列方程，求解得到M点坐标。再用待定系数法求直线AB的解析式，将其与抛物线解析式联立，求出点A的横坐标。最后过A、B分别作y轴的垂线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BM}{AM}$的比值。
【解析】
(1) 把$x=4$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{4}x^2$，得：
$y=\frac{1}{4}×4^2=4$，
∴点A的坐标为$(4,4)$。
(2) 过点O作$OC ⊥ AB$于点C，如图，
∵ $BN⊥x$ 轴，$OC ⊥ AB$，$BO$ 平分 $∠NBA$，$B(-2,1)$，
根据角平分线的性质可得：$CO=NO=2$，$BC=BN=1$。
设 $M(0,m)$，则 $OM = m$，
在$Rt△ OCM$中，由勾股定理得$CM = \sqrt{OM^2-CO^2} = \sqrt{m^2-4}$，
由两点间距离公式得$BM = \sqrt{(m-1)^2+2^2}=\sqrt{(m-1)^2+4}$。
又$\because CM + CB = BM$，
$\therefore \sqrt{m^2-4}+1 = \sqrt{(m-1)^2+4}$，
两边平方化简解得 $m=\frac{5}{2}$，即$M(0,\frac{5}{2})$。
设直线AB的表达式为$y=kx+b$，将 $B(-2,1)$、$M(0,\frac{5}{2})$ 代入得：
$\begin{cases}1=-2k+b\\\frac{5}{2}=b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$，
∴ 直线AB的表达式为 $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$。
∵点A为直线AB与抛物线的交点，联立方程组得：
$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}\\y=\frac{1}{4}x^2\end{cases}$
消去y整理得$x^2-3x-10=0$，解得 $x_1=-2$（对应点B），$x_2=5$（对应点A），即点A的横坐标为5。
过点A、B分别作y轴垂线交y轴于点K、P，
∵ $∠AKM=∠BPM=90°$，$∠AMK=∠BMP$（对顶角相等），
$\therefore △ AKM ∽ △ BPM$，
$\therefore \frac{BM}{AM}=\frac{BP}{AK}=\frac{|-2|}{5}=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,4)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$，辅助线如图
【知识点】
二次函数的图象与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查二次函数与几何的结合应用，解题时需要逐层拆解条件，先利用角平分线性质得到线段等量关系，再通过方程思想求点坐标，最后借助相似三角形求解线段比值，能够锻炼综合运用代数、几何知识的能力。
【难度系数】
0.6