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1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
几何语言：如图，点P在直线l上，∵直线l垂直平分AB，∴
相等
。几何语言：如图，点P在直线l上，∵直线l垂直平分AB，∴
PA=PB
。答案
1. 相等；PA=PB
解析
【分析】
这道题考查线段垂直平分线的性质的识记与几何语言表达。解题时首先回忆线段垂直平分线的性质内容，填写第一个空；再结合给出的条件，对应性质写出几何推导的结论即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，因此第一个空填“相等”。
已知直线l垂直平分AB，且点P在垂直平分线l上，因此点P到线段AB两个端点A、B的距离相等，即$PA=PB$，所以第二个空填$PA=PB$。
【答案】
相等；$\boldsymbol{PA=PB}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对线段垂直平分线性质的记忆和几何语言的规范书写，熟练掌握基础定理内容即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查线段垂直平分线的性质的识记与几何语言表达。解题时首先回忆线段垂直平分线的性质内容，填写第一个空；再结合给出的条件，对应性质写出几何推导的结论即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，因此第一个空填“相等”。
已知直线l垂直平分AB，且点P在垂直平分线l上，因此点P到线段AB两个端点A、B的距离相等，即$PA=PB$，所以第二个空填$PA=PB$。
【答案】
相等；$\boldsymbol{PA=PB}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对线段垂直平分线性质的记忆和几何语言的规范书写，熟练掌握基础定理内容即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的
几何语言：如图，∵
垂直平分线
上.几何语言：如图，∵
PA=PB
，∴点P在线段AB的垂直平分线上.答案
2. 垂直平分线；PA=PB
解析
【分析】
这道题考查线段垂直平分线的判定定理的记忆与几何语言应用。解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理内容，直接填写第一个空；再结合几何推理的逻辑，判定点在线段垂直平分线上的条件是该点到线段两个端点的距离相等，对应图中点P到A、B的距离相等，即PA=PB，即可填出第二个空。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此第一个空填“垂直平分线”；
几何推理中，要得到“点P在线段AB的垂直平分线上”的结论，需要满足的前提是点P到A、B两点的距离相等，即PA=PB，因此第二个空填“PA=PB”。
【答案】
垂直平分线；PA=PB
【知识点】
线段垂直平分线的判定，几何语言书写
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对线段垂直平分线判定定理的掌握情况和几何推理的规范表述，牢记相关定理即可快速解题，该知识点是几何中证明线段相等、位置关系的重要基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查线段垂直平分线的判定定理的记忆与几何语言应用。解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理内容，直接填写第一个空；再结合几何推理的逻辑，判定点在线段垂直平分线上的条件是该点到线段两个端点的距离相等，对应图中点P到A、B的距离相等，即PA=PB，即可填出第二个空。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此第一个空填“垂直平分线”；
几何推理中，要得到“点P在线段AB的垂直平分线上”的结论，需要满足的前提是点P到A、B两点的距离相等，即PA=PB，因此第二个空填“PA=PB”。
【答案】
垂直平分线；PA=PB
【知识点】
线段垂直平分线的判定，几何语言书写
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对线段垂直平分线判定定理的掌握情况和几何推理的规范表述，牢记相关定理即可快速解题，该知识点是几何中证明线段相等、位置关系的重要基础。
【难度系数】
0.9
例1 如图，CD所在直线是AB的垂直平分线。若AC=1.6 cm，BD=2.3 cm，则四边形ACBD的周长是
7.8 cm
。答案
例1 7.8 cm
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点C、D都在AB的垂直平分线CD上，因此可推出BC=AC、AD=BD。四边形ACBD的周长是四条边长度之和，将相等的线段替换后，代入已知的AC、BD长度即可求出周长。
【解析】
解：
∵CD是AB的垂直平分线，点C、D均在CD上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BC=AC=1.6 cm，AD=BD=2.3 cm，
∴四边形ACBD的周长 = AC+CB+BD+DA
=1.6+1.6+2.3+2.3
=7.8（cm）。
【答案】
7.8 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到等长线段，简化周长的计算，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点C、D都在AB的垂直平分线CD上，因此可推出BC=AC、AD=BD。四边形ACBD的周长是四条边长度之和，将相等的线段替换后，代入已知的AC、BD长度即可求出周长。
【解析】
解：
∵CD是AB的垂直平分线，点C、D均在CD上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BC=AC=1.6 cm，AD=BD=2.3 cm，
∴四边形ACBD的周长 = AC+CB+BD+DA
=1.6+1.6+2.3+2.3
=7.8（cm）。
【答案】
7.8 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到等长线段，简化周长的计算，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例2（教材改编）如图，$AB=AC$，$DB=DC$，点E在AD上. 求证：$EB=EC$. 
答案
证明：$\because AB=AC$，$DB=DC$，$\therefore$ 点$A$，$D$均在线段$BC$的垂直平分线上. $\therefore AD$所在直线是线段$BC$的垂直平分线. $\because$ 点$E$在$AD$上，$\therefore EB=EC$.
解析
【分析】
要证明$EB=EC$，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点$E$在$BC$的垂直平分线上即可。首先根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由$AB=AC$可知点$A$在$BC$的垂直平分线上，由$DB=DC$可知点$D$也在$BC$的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，可得$AD$所在直线就是$BC$的垂直平分线，已知点$E$在$AD$上，即可推导出$EB=EC$。
【解析】
证明：$\because AB=AC$，$DB=DC$，
$\therefore$ 点$A$、$D$均在线段$BC$的垂直平分线上，
$\therefore AD$所在直线是线段$BC$的垂直平分线，
$\because$ 点$E$在$AD$上，
$\therefore EB=EC$。
【答案】
$EB=EC$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 线段垂直平分线的性质
3. 两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质与判定的综合运用，解题的关键是先通过判定定理确定线段的垂直平分线，再利用性质得到对应线段相等，熟练掌握两个定理的内容和适用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明$EB=EC$，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点$E$在$BC$的垂直平分线上即可。首先根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由$AB=AC$可知点$A$在$BC$的垂直平分线上，由$DB=DC$可知点$D$也在$BC$的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，可得$AD$所在直线就是$BC$的垂直平分线，已知点$E$在$AD$上，即可推导出$EB=EC$。
【解析】
证明：$\because AB=AC$，$DB=DC$，
$\therefore$ 点$A$、$D$均在线段$BC$的垂直平分线上，
$\therefore AD$所在直线是线段$BC$的垂直平分线，
$\because$ 点$E$在$AD$上，
$\therefore EB=EC$。
【答案】
$EB=EC$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 线段垂直平分线的性质
3. 两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质与判定的综合运用，解题的关键是先通过判定定理确定线段的垂直平分线，再利用性质得到对应线段相等，熟练掌握两个定理的内容和适用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.8
例3 关于命题“内错角相等，两直线平行”，下列说法错误的是(
A.逆命题为“两直线平行，内错角相等”
B.原命题是真命题
C.逆命题为“两直线不平行，内错角不相等”
D.逆命题是真命题
C
).A.逆命题为“两直线平行，内错角相等”
B.原命题是真命题
C.逆命题为“两直线不平行，内错角不相等”
D.逆命题是真命题
答案
例3 C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确命题的结构、逆命题的改写方法，再结合平行线的相关定理判断命题真假。首先，任何命题都可以拆分为“条件+结论”的结构，逆命题就是把原命题的条件和结论互换位置。接着我们逐一分析每个选项，找出错误的说法即可。
【解析】
1. 拆分原命题的条件和结论：命题“内错角相等，两直线平行”中，条件为“内错角相等”，结论为“两直线平行”。
2. 改写逆命题：将条件和结论互换，可得逆命题为“两直线平行，内错角相等”，因此A选项说法正确，C选项说法错误。
3. 判断命题真假：原命题是平行线的判定定理，是经过证明的真命题，B选项说法正确；逆命题是平行线的性质定理，也是真命题，D选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
原命题与逆命题；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查命题相关的基础概念，解题关键是准确区分原命题的条件和结论，熟练掌握平行线的判定和性质定理，这类题型属于基础考点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先明确命题的结构、逆命题的改写方法，再结合平行线的相关定理判断命题真假。首先，任何命题都可以拆分为“条件+结论”的结构，逆命题就是把原命题的条件和结论互换位置。接着我们逐一分析每个选项，找出错误的说法即可。
【解析】
1. 拆分原命题的条件和结论：命题“内错角相等，两直线平行”中，条件为“内错角相等”，结论为“两直线平行”。
2. 改写逆命题：将条件和结论互换，可得逆命题为“两直线平行，内错角相等”，因此A选项说法正确，C选项说法错误。
3. 判断命题真假：原命题是平行线的判定定理，是经过证明的真命题，B选项说法正确；逆命题是平行线的性质定理，也是真命题，D选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
原命题与逆命题；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查命题相关的基础概念，解题关键是准确区分原命题的条件和结论，熟练掌握平行线的判定和性质定理，这类题型属于基础考点。
【难度系数】
0.8
1.（教材改编）如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE。若$△ ABC$的周长为17 cm，BD＝3 cm，则$△ ACE$的周长为
11 cm
。答案
1. 11 cm
解析
【分析】
遇到含线段垂直平分线的题目，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。解题步骤可分为三步：第一步，根据DE是AB的垂直平分线，推出AE=BE，且AB的长度是BD的2倍，先计算AB的长度；第二步，拆解△ACE的周长为AC+CE+AE，利用AE=BE做等量代换，将△ACE的周长转化为AC+BC；第三步，结合△ABC的总周长，用总周长减去AB的长度即可得到所求结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE，AB=2BD
已知BD=3 cm，因此AB=2×3=6 cm
∵△ABC的周长为17 cm，即AB+BC+AC=17 cm
∴BC+AC=17-AB=17-6=11 cm
△ACE的周长=AC+CE+AE，将AE替换为等量的BE，可得：
△ACE的周长=AC+CE+BE=AC+BC=11 cm
【答案】
11 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过等量代换将未知三角形的周长转化为和已知条件相关的线段和，熟练掌握性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
遇到含线段垂直平分线的题目，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。解题步骤可分为三步：第一步，根据DE是AB的垂直平分线，推出AE=BE，且AB的长度是BD的2倍，先计算AB的长度；第二步，拆解△ACE的周长为AC+CE+AE，利用AE=BE做等量代换，将△ACE的周长转化为AC+BC；第三步，结合△ABC的总周长，用总周长减去AB的长度即可得到所求结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE，AB=2BD
已知BD=3 cm，因此AB=2×3=6 cm
∵△ABC的周长为17 cm，即AB+BC+AC=17 cm
∴BC+AC=17-AB=17-6=11 cm
△ACE的周长=AC+CE+AE，将AE替换为等量的BE，可得：
△ACE的周长=AC+CE+BE=AC+BC=11 cm
【答案】
11 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过等量代换将未知三角形的周长转化为和已知条件相关的线段和，熟练掌握性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上的一点，$O$是$AD$上的一点，且$OB=OC$。若$BC=4$，则$BD$的长是
2
。答案
2. 2
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。已知AB=AC，可得点A在BC的垂直平分线上；又OB=OC，可得点O也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可知直线AD就是BC的垂直平分线，因此D是BC的中点，代入BC的长度即可求出BD的数值。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵ $OB=OC$，
∴ 点O也在线段BC的垂直平分线上，
根据两点确定一条直线，可得直线AD是线段BC的垂直平分线，
∵ D在AD上，
∴ D是BC的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=4$，代入得$BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定与性质的综合应用，解题核心是通过线段相等的条件推导出AD是BC的垂直平分线，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。已知AB=AC，可得点A在BC的垂直平分线上；又OB=OC，可得点O也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可知直线AD就是BC的垂直平分线，因此D是BC的中点，代入BC的长度即可求出BD的数值。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵ $OB=OC$，
∴ 点O也在线段BC的垂直平分线上，
根据两点确定一条直线，可得直线AD是线段BC的垂直平分线，
∵ D在AD上，
∴ D是BC的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=4$，代入得$BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定与性质的综合应用，解题核心是通过线段相等的条件推导出AD是BC的垂直平分线，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 命题“垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题是，，这个逆命题（填“成立”或“不成立”）。
答案
3. 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线；不成立
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换得到的命题。解题步骤分为三步：第一步先把原命题改写为“如果……那么……”的形式，准确拆分出题设和结论；第二步将题设和结论互换，调整语句通顺后得到逆命题；第三步通过举反例判断逆命题是否成立，若存在不符合命题描述的情况，说明命题不成立。
【解析】
1. 拆分原命题：原命题“垂直于同一直线的两条直线平行”可改写为“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，其中题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”。
2. 写逆命题：将题设和结论互换，调整语句通顺后得到逆命题：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线”。
3. 判断真假：当两条平行直线被一条不垂直于它们的直线所截时，这两条平行直线都不垂直于该截线，所以该逆命题不符合所有情况，因此不成立。
【答案】
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线；不成立
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 真假命题判断
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法，解题的关键是准确区分原命题的题设和结论，同时要掌握通过举反例判断命题真假的方法，是对命题相关基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换得到的命题。解题步骤分为三步：第一步先把原命题改写为“如果……那么……”的形式，准确拆分出题设和结论；第二步将题设和结论互换，调整语句通顺后得到逆命题；第三步通过举反例判断逆命题是否成立，若存在不符合命题描述的情况，说明命题不成立。
【解析】
1. 拆分原命题：原命题“垂直于同一直线的两条直线平行”可改写为“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，其中题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”。
2. 写逆命题：将题设和结论互换，调整语句通顺后得到逆命题：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线”。
3. 判断真假：当两条平行直线被一条不垂直于它们的直线所截时，这两条平行直线都不垂直于该截线，所以该逆命题不符合所有情况，因此不成立。
【答案】
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直于第三条直线；不成立
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 真假命题判断
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法，解题的关键是准确区分原命题的题设和结论，同时要掌握通过举反例判断命题真假的方法，是对命题相关基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
