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7. 提升题▶图①是一个三棱柱，其高为7 cm，底面是边长为5 cm的等边三角形。
(1)该三棱柱有条棱，有个面。
(2)图②方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请补全该展开图。
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需要剪开条棱，这些被剪开的棱的长度之和的最大值为cm。
(1)该三棱柱有条棱，有个面。
(2)图②方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请补全该展开图。
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需要剪开条棱，这些被剪开的棱的长度之和的最大值为cm。
答案
解：
(1) 三棱柱上下底面各有3条棱，侧棱共3条，总棱数为9；面包含2个底面和3个侧面，总面数为5。
答案依次为$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 补全方式：在现有两个相连矩形的左侧补画一个长7cm、宽5cm的长方形，再在新增图形的对应边上补画一个边长为5cm的等边三角形，保证所有面折叠后可围成原三棱柱（画法不唯一，符合三棱柱展开图规则即可）。
(3) 该三棱柱总共有9条棱，展开为连通的平面图形时，5个面仅需保留4条未剪开的公共棱，因此需要剪开的棱数为$9-4=5$。
该三棱柱所有棱的总长度为：$6×5 + 3×7 = 51\ \mathrm{cm}$。
要使被剪开的棱的长度之和最大，需让未剪开的4条棱的长度之和最小，未剪开的棱最小均为底面边长5cm，此时未剪开棱总长度为$4×5=20\ \mathrm{cm}$，因此被剪开的棱的长度之和最大值为$51-20=31\ \mathrm{cm}$。
答案依次为$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{31}$。
(1) 三棱柱上下底面各有3条棱，侧棱共3条，总棱数为9；面包含2个底面和3个侧面，总面数为5。
答案依次为$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 补全方式：在现有两个相连矩形的左侧补画一个长7cm、宽5cm的长方形，再在新增图形的对应边上补画一个边长为5cm的等边三角形，保证所有面折叠后可围成原三棱柱（画法不唯一，符合三棱柱展开图规则即可）。
(3) 该三棱柱总共有9条棱，展开为连通的平面图形时，5个面仅需保留4条未剪开的公共棱，因此需要剪开的棱数为$9-4=5$。
该三棱柱所有棱的总长度为：$6×5 + 3×7 = 51\ \mathrm{cm}$。
要使被剪开的棱的长度之和最大，需让未剪开的4条棱的长度之和最小，未剪开的棱最小均为底面边长5cm，此时未剪开棱总长度为$4×5=20\ \mathrm{cm}$，因此被剪开的棱的长度之和最大值为$51-20=31\ \mathrm{cm}$。
答案依次为$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{31}$。
解析
【分析】
(1) 第一问可结合三棱柱的结构特征求解：三棱柱有2个平行的三角形底面、3个矩形侧面，数棱时先算上下底面的棱数再加侧棱数，数面时将底面和侧面数量相加即可。
(2) 第二问补全展开图，先明确三棱柱展开图包含2个等边三角形底面和3个矩形侧面，观察现有图形缺少1个矩形和1个三角形，补画时保证各边长度对应，折叠后可围成原三棱柱即可。
(3) 第三问第一空：展开成连通的平面图形时，5个面需要保留4条未剪开的连接棱（n个面的展开图有n-1条连接棱），用总棱数减去未剪开的棱数就是剪开的棱数。第二空求剪开棱的长度和最大值，可逆向思考：总棱长固定，要让剪开的长度和最大，需让未剪开的棱的长度和最小，用总棱长减去未剪开的最小长度和即可得到结果。
【解析】
(1) 三棱柱上下两个等边三角形底面各有3条棱，另有3条侧棱，总棱数为$3×2+3=9$条；面包含2个底面和3个侧面，总面数为$2+3=5$个。
(2) 补全方法：在现有两个相连矩形的左侧补画一个长7cm、宽5cm的长方形，再在新增长方形的对应边上补画一个边长为5cm的等边三角形，保证折叠后各边完全重合，可围成原三棱柱即可（画法不唯一，符合展开图规则均正确）。
(3) ①三棱柱总共有9条棱，展开为平面图形时，5个面只需保留4条未剪开的连接棱，因此需要剪开的棱数为$9-4=5$条。
②先计算所有棱的总长度：底面共有6条长5cm的棱，侧棱共有3条长7cm的棱，总长度为$6×5+3×7=51\ \mathrm{cm}$。要使剪开的棱长度和最大，需让未剪开的4条棱长度和最小，未剪开的棱均取长5cm的底面棱时，长度和最小为$4×5=20\ \mathrm{cm}$，因此剪开的棱长度和最大值为$51-20=31\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{5}$
(2) 补图略（画法不唯一，符合三棱柱展开图要求即可）
(3) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{31}$
【知识点】
三棱柱的结构，几何体展开图，棱长计算
【点评】
本题围绕三棱柱的性质设置问题，既考查了对立体图形基本结构的识记，又需要结合空间想象能力处理展开图相关问题，第三问采用逆向思维求解，能够有效锻炼逻辑推理能力和空间观念。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问可结合三棱柱的结构特征求解：三棱柱有2个平行的三角形底面、3个矩形侧面，数棱时先算上下底面的棱数再加侧棱数，数面时将底面和侧面数量相加即可。
(2) 第二问补全展开图，先明确三棱柱展开图包含2个等边三角形底面和3个矩形侧面，观察现有图形缺少1个矩形和1个三角形，补画时保证各边长度对应，折叠后可围成原三棱柱即可。
(3) 第三问第一空：展开成连通的平面图形时，5个面需要保留4条未剪开的连接棱（n个面的展开图有n-1条连接棱），用总棱数减去未剪开的棱数就是剪开的棱数。第二空求剪开棱的长度和最大值，可逆向思考：总棱长固定，要让剪开的长度和最大，需让未剪开的棱的长度和最小，用总棱长减去未剪开的最小长度和即可得到结果。
【解析】
(1) 三棱柱上下两个等边三角形底面各有3条棱，另有3条侧棱，总棱数为$3×2+3=9$条；面包含2个底面和3个侧面，总面数为$2+3=5$个。
(2) 补全方法：在现有两个相连矩形的左侧补画一个长7cm、宽5cm的长方形，再在新增长方形的对应边上补画一个边长为5cm的等边三角形，保证折叠后各边完全重合，可围成原三棱柱即可（画法不唯一，符合展开图规则均正确）。
(3) ①三棱柱总共有9条棱，展开为平面图形时，5个面只需保留4条未剪开的连接棱，因此需要剪开的棱数为$9-4=5$条。
②先计算所有棱的总长度：底面共有6条长5cm的棱，侧棱共有3条长7cm的棱，总长度为$6×5+3×7=51\ \mathrm{cm}$。要使剪开的棱长度和最大，需让未剪开的4条棱长度和最小，未剪开的棱均取长5cm的底面棱时，长度和最小为$4×5=20\ \mathrm{cm}$，因此剪开的棱长度和最大值为$51-20=31\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{5}$
(2) 补图略（画法不唯一，符合三棱柱展开图要求即可）
(3) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{31}$
【知识点】
三棱柱的结构，几何体展开图，棱长计算
【点评】
本题围绕三棱柱的性质设置问题，既考查了对立体图形基本结构的识记，又需要结合空间想象能力处理展开图相关问题，第三问采用逆向思维求解，能够有效锻炼逻辑推理能力和空间观念。
【难度系数】
0.6
8. 提升题 观察下图，回答下列问题。
(1)把圆柱侧面展开后，得到（填图形名称），这个图形的长等于圆柱底面圆的，宽等于圆柱的，其中运用了的数学思想方法。
(2)观察上图，圆柱的表面是由个和个组成的。
(3)圆柱的表面积计算公式是（S表示表面积，r表示底面半径，h表示圆柱的高）。
(1)把圆柱侧面展开后，得到（填图形名称），这个图形的长等于圆柱底面圆的，宽等于圆柱的，其中运用了的数学思想方法。
(2)观察上图，圆柱的表面是由个和个组成的。
(3)圆柱的表面积计算公式是（S表示表面积，r表示底面半径，h表示圆柱的高）。
答案
解：
(1) 长方形；周长；高；转化
(2) 2；圆；1；长方形
(3) $S=2π r^2 + 2π rh$
(1) 长方形；周长；高；转化
(2) 2；圆；1；长方形
(3) $S=2π r^2 + 2π rh$
解析
【分析】
这道题围绕圆柱的展开图、组成和表面积公式展开，解题时可结合图示一步步推导：
1. 解决第(1)问时，回忆圆柱侧面展开的操作：将圆柱侧面沿高剪开，把曲面转化为平面图形，观察得到的平面图形的边长和圆柱各部分的对应关系即可，这里把未知的曲面问题转化为熟悉的平面图形问题，用到转化思想。
2. 解决第(2)问时，观察展开后的所有图形，数清楚不同形状的数量，就能得到圆柱表面的组成。
3. 解决第(3)问时，圆柱表面积是所有面的面积和，即两个底面圆的面积加上侧面长方形的面积，把对应的公式代入合并即可得到表面积计算公式。
【解析】
(1) 把圆柱侧面沿高剪开展开后，得到的是长方形。观察图形可知，这个长方形的长和圆柱底面圆一周的长度相等，即长等于底面圆的周长；长方形的宽和圆柱竖直方向的长度相等，即宽等于圆柱的高。这里将曲面的侧面转化为平面的长方形研究，运用了转化的数学思想。
(2) 观察展开后的图形，有2个圆形的底面，还有1个展开后为长方形的侧面，因此圆柱的表面由2个圆和1个长方形组成。
(3) 圆柱的表面积=2个底面圆的面积+侧面积。其中底面圆的面积为$π r^2$，2个底面面积就是$2π r^2$；侧面积=底面周长×高=$2π r × h=2π rh$，因此合并可得表面积公式为$S=2π r^2 + 2π rh$。
【答案】
(1) 长方形；周长；高；转化
(2) 2；圆；1；长方形
(3) $S=2π r^2 + 2π rh$
【知识点】
圆柱展开图特征；圆柱的组成；圆柱表面积计算
【点评】
本题考查圆柱的基础概念，需要结合展开图建立平面图形和立体图形各部分的对应关系，是学习立体图形表面积计算的基础，掌握展开图的对应规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这道题围绕圆柱的展开图、组成和表面积公式展开，解题时可结合图示一步步推导：
1. 解决第(1)问时，回忆圆柱侧面展开的操作：将圆柱侧面沿高剪开，把曲面转化为平面图形，观察得到的平面图形的边长和圆柱各部分的对应关系即可，这里把未知的曲面问题转化为熟悉的平面图形问题，用到转化思想。
2. 解决第(2)问时，观察展开后的所有图形，数清楚不同形状的数量，就能得到圆柱表面的组成。
3. 解决第(3)问时，圆柱表面积是所有面的面积和，即两个底面圆的面积加上侧面长方形的面积，把对应的公式代入合并即可得到表面积计算公式。
【解析】
(1) 把圆柱侧面沿高剪开展开后，得到的是长方形。观察图形可知，这个长方形的长和圆柱底面圆一周的长度相等，即长等于底面圆的周长；长方形的宽和圆柱竖直方向的长度相等，即宽等于圆柱的高。这里将曲面的侧面转化为平面的长方形研究，运用了转化的数学思想。
(2) 观察展开后的图形，有2个圆形的底面，还有1个展开后为长方形的侧面，因此圆柱的表面由2个圆和1个长方形组成。
(3) 圆柱的表面积=2个底面圆的面积+侧面积。其中底面圆的面积为$π r^2$，2个底面面积就是$2π r^2$；侧面积=底面周长×高=$2π r × h=2π rh$，因此合并可得表面积公式为$S=2π r^2 + 2π rh$。
【答案】
(1) 长方形；周长；高；转化
(2) 2；圆；1；长方形
(3) $S=2π r^2 + 2π rh$
【知识点】
圆柱展开图特征；圆柱的组成；圆柱表面积计算
【点评】
本题考查圆柱的基础概念，需要结合展开图建立平面图形和立体图形各部分的对应关系，是学习立体图形表面积计算的基础，掌握展开图的对应规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
